1、-_2012 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）试卷解析一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1方程 26130x的一个根是A i B 32i C 23i D 23i考点分析：本题考察复数的一元二次方程求根. 难易度：解析：根据复数求根公式：2614x32i，所以方程的一个根为 32i答案为 A.2命题“ 0xRQ， 30x”的否定是A ， B 0xRQ， 30xC xR， 3 D ，考点分析：本题主要考察常用逻辑用语，考察对命题的否定和否命题的区别.难易度：解析：根据对命题的否定知，是把谓词取
2、否定，然后把结论否定。因此选D3已知二次函数 ()yfx的图象如图所示，则它与 x轴所围图形的面积为A 25 B 43 C 3 D 2 考点分析：本题考察利用定积分求面积. 难易度：解析：根据图像可得： 2()1yfx，再由定积分的几何意义，可求得面积为 12314()Sdx .4已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A 83 B 3 俯视图侧视图2正视图第 4 题图42421y xO第 3 题图-_C 103 D 6考点分析：本题考察空间几何体的三视图.难易度：解析：显然有三视图我们易知原几何体为 一个圆柱体的一部分，并且有正视图知是一个 1/2 的圆柱体，底面圆的半径为 1，圆柱
3、体的高为 6，则知所求几何体体积为原体积的一半为 3.选 B.5设 aZ，且 03a，若 2015a能被13 整除，则 A0 B1 C11 D12考点分析：本题考察二项展开式的系数.难易度：解析：由于51=52-1， 152.52)152( 0012010 CC,又由于 13|52,所以只需 13|1+a，0a13,所以 a=12 选 D.6设 ,abcxyz是正数，且 221abc，2240， xyz，则 z A 14 B 13 C 2 D 4 考点分析：本题主要考察了柯西不等式的使用以及其取等条件.难易度：解析：由于 2222 )()( czbyaxzyxcba 等号成立当且仅当 ,t则
4、a=t x b=t y c=t z ， 10)(22zyxt所以由题知 2/1t,又 /,zcyx所 以 ，答案选 C.7定义在 (,0)(,)上的函数 ()f，如果对于任意给定的等比数列 na， ()nf仍是等比数列，则称 fx为“保等比数列函数”. 现有定义在 (,0)(,上的如下函数： 2()fx； ()2xf； ()|fx； ()ln|fx.-_则其中是“保等比数列函数”的 ()fx的序号为 A B C D 考点分析：本题考察等比数列性质及函数计算.难易度：解析：等比数列性质， 21nna， 12212nnnn afaf ； 12222anfan； 12122 nnaff ； 1ll
5、nnf.选 C8如图，在圆心角为直角的扇形 OAB 中，分别以 OA， OB 为直径作两个半圆. 在扇形 OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是A 21 B 12C D考点分析：本题考察几何概型及平面图形面积求法.难易度：解析：令 1OA，扇形 OAB 为对称图形，ACBD 围成面积为 1S，围成 OC 为 2S，作对称轴 OD，则过 C 点。 2S即为以 OA 为直径的半圆面积减去三角形 OAC 的面积， 8112S。在扇形 OAD 中 21S为扇形面积减去三角形 OAC 面积和 2， 6221SS， 41，扇形 OAB 面积 4，选 A.9函数 2()cosfx在区间 0,4上的零
6、点个数为A4 B5 C6 D7考点分析：本题考察三角函数的周期性以及零点的概念.难易度：解析： 0)(xf，则 或 0cos2x， Zk,22，又 4,0x， 4,321k所以共有 6 个解.选 C.10我国古代数学名著九章算术中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，第 8 题图-_即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积 V，求其直径 d的一个近似公式 3169dV. 人们还用过一些类似的近似公式. 根据 =3.1459 判断，下列近似公式中最精确的一个是A 3169dV B 2dV C 30157d D 321考点分析：考察球的体积公式以及估算.难易度：解析
7、： 3466b69()d, ,=3.752 116157=3.4, .4280VaV AB D 由 ， 得 设 选 项 中 常 数 为 则 ； 中 代 入 得 ，中 代 入 得 ， C中 代 入 得 中 代 入 得 ，由 于 D中 值 最 接 近 的 真 实 值 ， 故 选 择 。二、填空题：本大题共 6 小题，考生共需作答 5 小题，每小题 5 分，共 25 分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. （一）必考题（1114 题）11设 ABC的内角 ， B， C所对的边分别为 a， b， c. 若 ()()abcab，则角 C 考点分析：考察余弦定理
8、的运用.难易度：解析：222a =-ab12cos ,3acbCC由 （ +b-） (-)=,得 到根 据 余 弦 定 理 故12阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果 s .第 12 题图-_考点分析：本题考查程序框图.难易度：解析：程序在运行过程中各变量的值如下表示： 第一圈循环：当 n=1 时，得 s=1，a=3. 第二圈循环: 当 n=2 时，得 s=4，a=5第三圈循环：当 n=3 时，得 s=9，a=7此时 n=3，不再循环，所以解 s=9 . 13回 文 数 是 指 从 左 到 右 读 与 从 右 到 左 读 都 一 样 的 正 整 数 如 22， 121， 3443
9、， 94249 等 显 然 2 位 回 文 数 有 9 个 ：11， 22， 33， ， 99 3 位 回 文 数 有 90 个 ： 101， 111， 121， ， 191， 202， ， 999 则（）4 位 回 文 数 有 个 ；（） 1()nN位 回 文 数 有 个 考点分析：本题考查排列、组合的应用.难易度：解析：（）4 位回文数只用排列前面两位数字，后面数字就可以确定，但是第一位不能为 0，有 9（19）种情况，第二位有 10（09）种情况，所以 4 位回文数有 901种。答案：90（）法一、由上面多组数据研究发现，2n+1 位回文数和 2n+2 位回文数的个数相同，所以可以算出2
10、n+2 位回文数的个数。2n+2 位回文数只用看前 n+1 位的排列情况，第一位不能为 0 有 9 种情况，后面 n 项每项有 10 种情况，所以个数为 n109.法二、可以看出 2 位数有 9 个回文数，3 位数 90 个回文数。计算四位数的回文数是可以看出在 2 位数的中间添加成对的“00,11,22,99” ，因此四位数的回文数有 90 个按此规律推导 ,而当奇数位时，可以看成在偶数位的最中间添加 09 这十个数，因此 ,则答 案 为 n109.14如图，双曲线21 (,0)xyab的两顶点为 1A， 2，虚轴两端点为 1B， 2，两焦点为 1F， 2. 若以12A为直径的圆内切于菱形
11、2FB，切点分别为 ,BCD. 则A1 A2 yB2B1AO BC DF1 F2 x-_（）双曲线的离心率 e ；（）菱形 12FB的面积 1S与矩形 ABCD的面积 2S的比值 12 .考点分析：本题考察双曲线中离心率及实轴虚轴的相关定义，以及一般平面几何图形的面积计算.难易度：解析：（）由于以 12A为直径的圆内切于菱形 12F，因此点 O到直线 2BF的距离为 a，又由于虚轴两端点为 1B， 2，因此 O的长为 b，那么在 B中，由三角形的面积公式知，2)(| caFbc，又由双曲线中存在关系 22bac联立可得出 22)1(e，根据),1(e解出 ;15e（）设 2OBF,很显然知道
12、22AOBF, 因此 )2sin(2aS.在 2OBF中求得,cos,sin22cbb故 24cosin4cbaS；菱形 12FB的面积 S1，再根据第一问中求得的 e值可以解出 521S.（二）选考题（请考生在第 15、16 两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用 2B 铅笔涂黑. 如果全选，则按第 15 题作答结果计分.）15 （选修 4-1：几何证明选讲 ）如图，点 D 在 OA的弦 AB 上移动， 4AB，连接 OD，过点 D 作 的垂线交 于点 C，则 CD 的最大值为 . 考点分析：本题考察直线与圆的位置关系难易度：解析：（由于 ,因此 2O,线段 C
13、长为定值，即需求解线段 长度的最小值，根据弦中点到圆心的距离最短，此时 D为 AB的中点，点 C与点 B重合，因此 |1|ABD.16 （选修 4-4：坐标系与参数方程 ）在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知射线 4与曲线 21,()ty（t 为参数）CBADO.第 15 题图-_相交于 A，B 两点，则线段 AB 的中点的直角坐标为 .考点分析：本题考察平面直角坐标与极坐标系下的曲线方程交点.难易度：解析： 4在直角坐标系下的一般方程为 )(Rxy，将参数方程 21,()xty（t 为参数）转化为直角坐标系下的一般方程为 222)1()(xt
14、y表示一条抛物线，联立上面两个方程消去 y有0452x，设 BA、两点及其中点 P的横坐标分别为 0xBA、，则有韦达定理 250BAx,又由于点 P点在直线 xy上，因此 的中点 )25,(.三、解答题17 （本小题满分 12 分）已知向量 (cosin,si)xxa， (cosin,23cos)xxb，设函数 ()fxab()xR的图象关于直线 对称，其中 ， 为常数，且 1(). （）求函数 ()fx的最小正周期； （）若 y的图象经过点 (,0)4，求函数 ()fx在区间 30,5上的取值范围.考点分析：本题考察三角恒等变化，三角函数的图像与性质。难易度：解析：（）因为 22()sin
15、cos3sincofxxxcos23i()6. 由直线 x是 ()yfx图象 的一条对称轴，可得 si(2)16， 所以 262kZ，即 1)23kZ 又 1(,)， ，所以 ，故 56. 所以 fx的最小正周期是 65. （）由 ()y的图象过点 (,0)4，得 ()04f，即 52sin2sin6，即 2. 故 ()()3fx， 由 05，有 566x，-_所以 15sin()1236x，得 52sin()236x，故函数 )f在 0,上的取值范围为 1,. 18 （本小题满分 12 分）已知等差数列 na前三项的和为 3，前三项的积为 8.（）求等差数列 的通项公式；（）若 2， 3，
16、1成等比数列，求数列 |na的前 项和.考点分析：考察等差等比数列的通项公式，和前 n 项和公式及基本运算。难易度：解析：（）设等差数列 na的公差为 d，则 21d， 312ad，由题意得 113,()2)8.d 解得 ,a或 4,. 所以由等差数列通项公式可得 25nan，或 43(1)7nn.故 3，或 37a. （）当 n时， 2， ， 1分别为 ， ， 2，不成等比数列；当 7时， ， 3， 分别为 ， ， 4，成等比数列，满足条件 .故 ,|3| .nna 记数列 |的前 项和为 nS.当 1时， 1|4Sa；当 2时， 212|5a；当 3n时，24|n 5(37)(4)(37)
17、n2()(37)50. 当 n时，满足此式.综上， 2,1,10,.nSn19 （本小题满分 12 分）如图 1， 45ACB， 3，过动点 A 作 DBC，垂足 D 在线段 BC 上且异于点 B，连接 AB，沿D将 折起，使 90D（如图 2 所示） （）当 的长为多少时，三棱锥 的体积最大；（）当三棱锥 的体积最大时，设点 E， M分别为棱 ， AC的中点，试在棱 上确定一点 N，使得 B，并求 N与平面 B所成角的大小DAB CACDB图 2图 1ME.-_第 19 题图考点分析：本题考察立体几何线面的基本关系，考察如何取到最值，用均值不等式和导数均可求最值。同时考察直线与平面所成角。本
18、题可用综合法和空间向量法都可以。运用空间向量法对计算的要求要高些。难易度：解析：（）解法 1：在如图 1 所示的 ABC中，设 (03)Dx，则 3CDx由 ADBC， 45知， 为等腰直角三角形，所以 A.由折起前 知，折起后（如图 2） ， A， B，且 ，所以 平面 又 90，所以 1()2BCDSx于是11(3)()(3)32ABCDBCDVSxx2x，当且仅当 ，即 1x时，等号成立，故当 1，即 时, 三棱锥 ABCD的体积最大 解法 2：同解法 1，得 321(3)()(69)32ABCDVSxxx 令 32()69)fxx，由 0f ，且 ，解得 1当 0,时， (0f；当 (
19、1,)x时， ()fx 所以当 1时， )取得最大值故当 BD时, 三棱锥 ABCD的体积最大 （）解法 1：以 为原点，建立如图 a 所示的空间直角坐标系 Dxyz由（）知，当三棱锥 的体积最大时， 1B， 2AC于是可得 (0,)， (1,0)， (,20)， (,2)， (0,)M， 1(,0)E，且 1BM设 (,)N，则 (,)2E. 因为 ENB等价于 NB，即1,0(,)02，故 12， (0,).所以当 D（即 N是 CD的靠近点 的一个四等分点）时， EM 设平面 BM的一个法向量为 (,)xyzn，由 ,BNn及 1(,0)2，-_得 2,.yxz 可取 (1,2)n 设
20、EN与平面 BM所成角的大小为 ，则由 1(,0)2EN， (1,2)n，可得1|32sinco(90)|6ENn，即 6故 E与平面 B所成角的大小为 0. 解法 2：由（）知，当三棱锥 ABCD的体积最大时， 1BD， 2AC如图 b，取 CD的中点 F，连结 M， F， E，则 MF .由（）知 A平面 ，所以 平面 .如图 c，延长 E至 P 点使得 ，连 P， ，则四边形 P为正方形，所以 B. 取 的中点 N，连结 ，又 为 的中点，则 EN ，所以 N. 因为 平面 BC，又 面 BC，所以 . 又 MF，所以 面 F. 又 面 F，所以 B.因为 当且仅当 ，而点 F 是唯一的，所以点 是唯一的.即当 12D（即 是 D的靠近点 的一个四等分点） ， EM 连接 N， E，由计算得 52NBME，所以 B与 是两个共底边的全等的等腰三角形，如图 d 所示，取 的中点 G，连接 ， ，则 M平面 在平面 中，过点 作 HGN于 ，则 H平面 故 H是 与平面 B所成的角 在 EGN中，易得 2NE，所以 E是正三角形，CADB图 aEMxyz图 bCADB EFMN 图 cBDPCFNEBGMNEH图 d第 19 题解答图N
