1、#*第 3 课时 (小专题)带电粒子在匀强磁场中运动的临界及多解问题 基本技能练 1. (多选)如图 1 所示，虚线 MN 将平面分成和两个区域，两个区域都存在与纸面垂直的匀强磁场。一带电粒子仅在磁场力作用下由区运动到区，弧线 aPb 为运动过程中的一段轨迹，其中弧 aP 与弧 Pb 的弧长之比为 21，下列判断一定正确的是( )图 1A两个磁场的磁感应强度方向相反，大小之比为 21B粒子在两个磁场中的运动速度大小之比为 11C粒子通过 aP、Pb 两段弧的时间之比为 21D弧 aP 与弧 Pb 对应的圆心角之比为 21解析 粒子在磁场中所受的洛伦兹力指向运动轨迹的凹侧，结合左手定则可知，两个
2、磁场的磁感应强度方向相反，根据题中信息无法求得粒子在两个磁场中运动轨迹所在圆周的半径之比，所以无法求出两个磁场的磁感应强度之比，选项 A 错误；运动轨迹粒子只受洛伦兹力的作用，而洛伦兹力不做功，所以粒子的动能不变，速度大小不变，选项 B 正确；已知粒子通过 aP、Pb 两段弧的速度大小不变，而路程之比为 21，可求出运动时间之比为 21，选#*项 C 正确；由图知两个磁场的磁感应强度大小不等，粒子在两个磁场中做圆周运动时的周期 T 也不等，粒子通过弧 aP 与弧 Pb 的运动时间之比并不2mBq等于弧 aP 与弧 Pb 对应的圆心角之比，选项 D 错误。答案 BC2. (多选 )如图 2 所示
3、，边界 OA 与 OC 之间分布有垂直纸面向里的匀强磁场，边界OA 上有一粒子源 S。某一时刻，从 S 平行于纸面向各个方向发射出大量带正电的同种粒子(不计粒子的重力及粒子间的相互作用)，所有粒子的初速度大小相同，经过一段时间后有大量粒子从边界 OC 射出磁场。已知AOC60 ，从边界 OC 射出的粒子在磁场中运动的最长时间等于 (T 为粒子在磁场中运动T2的周期) ，则从边界 OC 射出的粒子在磁场中运动的时间可能为( )图 2A. B. C. D.T3 T4 T6 T8解析 粒子在磁场中做逆时针方向的圆周运动，由于所有粒子的速度大小相同，故弧长越小，粒子在磁场中运动的时间就越短，由于粒子在
4、磁场中运动的最长时间为 ，沿 SA 方向射出的粒子在T2磁场中运动时间最长，如图所示，作出粒子运动#*轨迹图，由几何关系可知当粒子在磁场中做圆周运动绕过的弧所对应的弦垂直边界 OC 时，粒子在磁场中运动时间最短，由于 SDOC，则 SD ES，即12弦 SD 等于半径 OD、OS，相应DOS60，即最短时间为 t T60360。T6答案 ABC3. (多选)在 xOy 平面上以 O 为圆心，半径为 r 的圆形区域内，存在磁感应强度为B 的匀强磁场，磁场方向垂直于 xOy 平面。一个质量为 m、电荷量为 q 的带电粒子，从原点 O 以初速度 v 沿 y 轴正方向开始运动，经时间 t 后经过 x
5、轴上的 P 点，此时速度与 x 轴正方向成 角，如图 3 所示。不计重力的影响，则下列关系一定成立的是( )图 3A若 r ，则 0902mvqBB若 r ，则 t2mvqB mqBC若 t ，则 rmqB 2mvqBD若 r ，则 r2mvqB mqB解析 带电粒子在磁场中从 O 点沿 y 轴正方向开始运动，圆心一定在垂直于速度的方向上，即在#*x 轴上，轨道半径 R 。当 r 时，P 点在磁场内，粒子不能射出磁场mvqB 2mvqB区，所以垂直于 x 轴过 P 点， 最大且为 90，运动时间为半个周期，即 t；当 r 时，粒子在到达 P 点之前射出圆形磁场区，速度偏转角 在大mqB 2mv
6、qB于 0、小于 180范围内，如图所示，能过 x 轴的粒子的速度偏转角 90，所以过 x 轴时 090，A 对，B 错；同理，若 t ，则 r ，若 rmqB 2mvqB，则 t ，C 错，D 对。2mvqB mqB答案 AD(多选 )如图所示， MN、PQ 之间存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁场区域水平方向足够长，MN、PQ 间距为 L，现用电子枪将电子从 O 点垂直边界 MN 射入磁场区域，调整电子枪中的加速电压可使电子从磁场边界不同位置射出。a、b、c 为磁场边界上的三点，下列分析正确的是( )A从 a、b、c 三点射出的电子速率关系为 vav bv cB从 a、b、c 三点射出的电子速
7、率关系为 vav cv bC若从边界 MN 射出的电子出射点与 O 点的距离为 s，则无论怎样调整加速电压，必有 0s2LD若从边界 PQ 射出的电子出射点与 O 点的距离为 s，则无论怎样调整加速电压，必有 Ls2L解析 画出轨迹圆可知，从 a、b、c 三点射出的电子的半径关系为RaR bR c，由 R ，知 vav bv c，A 对，B 错；电子垂直于边界 MN 射mvBq#*入磁场，能从边界 MN 射出，其轨迹的最大圆与边界 PQ 相切，则无论怎样调整加速电压，必有 0s2L，C 对；若电子从边界 PQ 射出，其轨迹的最小圆也与边界 PQ 相切，则无论怎样调整加速电压，必有 Ls L，D
8、 错。2答案 AC能力提高练4.如图 4 所示，两个同心圆，半径分别为 r 和 2r，在两圆之间的环形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为 B。圆心 O 处有一放射源，放出粒子的质量为 m、带电量为 q，假设粒子速度方向都和纸面平行。图 4(1)图中箭头表示某一粒子初速度的方向，OA 与初速度方向夹角为 60，要想使该粒子经过磁场后第一次通过 A 点，则初速度的大小是多少？(2)要使粒子不穿出环形区域，则粒子的初速度不能超过多少？解析 甲(1)如图甲所示，设粒子在磁场中的轨道半径为 R1，则由几何关系得 R13r3#*又 qv1Bmv21R1得 v1 。3Bqr3m(2)如图乙所示，
9、设粒子轨迹与磁场外边界相切时，粒子在磁场中的轨道半径为 R2，则由几何关系有乙(2rR 2)2R r 22可得 R23r4又 qv2Bmv2R2可得 v23Bqr4m故要使粒子不穿出环形区域，粒子的初速度不能超过 。3Bqr4m答案 (1) (2)3Bqr3m 3Bqr4m5(2014广东卷， 36)如图 5 所示，足够大的平行挡板 A1、A 2 竖直放置，间距 6 L，两板间存在两个方向相反的匀强磁场区域 和，以水平面 MN 为理想分界面。区的磁感应强度为 B0，方向垂直纸面向外。A 1、A 2 上各有位置正对的小孔 S1、S 2，两孔与分界面 MN 的距离为 L、质量为 m、电量为q 的粒
10、子经宽度为 d 的匀强电场由静止加速后，沿水平方向从 S1 进入区，并直接偏转到 MN 上的 P 点，再进入 区、P 点与 A1 板的距离是 L 的 k 倍。不计重力，碰到挡板的粒子不予考虑。#*图 5(1)若 k1，求匀强电场的电场强度 E; (2)若 2k3，且粒子沿水平方向从 S2 射出，求出粒子在磁场中的速度大小 v与 k 的关系式和 区的磁感应强度 B 与 k 的关系式。解析 (1)若 k1，则有 MPL，即该情况粒子的轨迹半径为 RL，粒子做匀速圆周运动，其向心力由洛伦兹力提供：qvB0mv2RvqB0Rm粒子在匀强电场中，据动能定理有：qEd mv212#*解得：EqB20L22
11、dm(2)由于 P 距离 A1为 kL，且 2k3，粒子从 S2水平飞出，该粒子运动轨迹如图所示，则根据从 S1到 P 处的轨迹由几何关系得R 2(kL) 2(RL )2又由 qvB0mv2R则整理得 vqB0L1 k22m又由题意及轨迹图得 6L 2kLPQ据几何关系，由相似三角形得 kLPQ2 Rr又有 qvBmv2r#*解得区磁场与 k 关系为 BkB03 k答案 (1) (2)v BqB20L22dm qB0L k2L2m kB03 k如图甲所示，一个质量为 m、电荷量为q 的微粒 (不计重力)，初速度为零，经两金属板间电场加速后，沿 y 轴射入一个边界为矩形的匀强磁场中，磁场方向垂直
12、纸面向里。磁场的四条边界分别是 y0，ya，x1.5a，x1.5a。两金属板间电压随时间均匀增加，如图乙所示。由于两金属板间距很小，微粒在电场中运动，时间极短，可认为微粒加速运动过程中电场恒定。(1)求微粒分别从磁场上、下边界射出时对应的电压范围；(2)微粒从磁场左侧边界射出时，求微粒的射出速度相对进入磁场时初速度偏转角度的范围，并确定在左边界上出射范围的宽度 d。解析 (1)当微粒运动轨迹与上边界相切时，由图甲中几何关系可知 R1a微粒做圆周运动，有 qv1Bmv21R1微粒在电场中加速 qU1 mv12 21由以上各式可得 U1qB2a22m所以微粒从上边界射出的电压范围为 U1qB2a2
13、2m#*当微粒由磁场区域左下角射出时，由图乙中几何关系可知 R20.75a微粒做圆周运动，有 qv2Bmv2R2微粒在电场中加速 qU2 mv12 2由以上各式可得 U29qB2a232m所以微粒从下边界射出的电压范围为 0U 29qB2a232m(2)当微粒运动轨迹与上边界相切时，如图丙所示，sinAO1C ，所以 AO1C30ACAO1 0.5aa 12由图丙中几何关系可知此时速度方向偏转 120，微粒由左下角射出磁场时，速度方向偏转 180，所以微粒的速度偏转角度范围为 120180，左边界上出射范围宽度 dR 1cos 30 a。32答案 (1)从上边界射出的电压范围为 U1 从下边界射出的电压范qB2a22m
