1、#*第一章有理数总复习一 、 本 章 知 识 结 构 图正 整 数0负 整 数整 数正 分 数负 分 数 分 数有 理 数数 轴比 较 大 小有 理 数 的 运 算加 法 减 法交 换 律结 合 律 分 配 律乘 法 除 法乘 方点 与 数 的 对 应一、基本概念1、正数与负数表示大小在实际中表示意义相反的量带“-”号的数并不都是负数1正数、负数和零的概念正数 负数 零象 1、2.5、 、48等大于零的数叫正数 象-1、-2.5， ，-48 等小于零的数叫负数0 叫做零，0 既不是正数也不是负数1对于正数和负数的概念，不能简单的理解为：带“”号的数是正数，带“”号的数是负数。2引入负数后，数的
2、范围扩大为有理数，奇数和偶数的外延也由自然数扩大为整数，整数也可以分为奇数和偶数两类，能被 2 整除的数是偶数，不能被 2 整除的数是奇数， 3到现在为止，我们学过的数细分有五类：正整数、正分数、0、负整数、负分数，但研究问题时，通常把有理数分为三类：正数、0、负数，进行讨论。4通常把正数和 0 统称为非负数，负数和 0 统称为非正数，正整数和 0 称为非负整数；负整数和 0 统称为非正整数。分数和小数的区别：分数（既约分数）都可表示成小数，但不是所有的小数都能表示成分数的。如圆周率 就不能表示成分数。#*5. 数 0 既不是正数，也不是负数，0 是正数与负数的分界。0 的意义已不仅是表示“没
3、有”.2、数轴原点三要素 正方向单位长度应用定义 三要素数形结合规定了原点、正方向、单位长度的直线叫数轴原 点正方向单位长度帮助理解有理数的概念，每个有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上的点并非都是有理数比较有理数大小，数轴上右边的数总比左边的数要大1数轴的概念（1）规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴这里包含两个内容：一是数轴的三要素：原点、正方向、单位长度缺一不可二是这三个要素都是规定的（2）数轴能形象地表示数，所有的有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的数并不都是有理数2数轴的画法（1）画直线（一般画成水平的）、定原点，标出原点“O”（2）取原点向右方向为正方向，并标出箭
4、头（3）选适当的长度作为单位长度，各点。 （4）标注数字时，负数的次序不能写错， 3用数轴比较有理数的大小（1）在数轴上表示的两数，右边的数总比左边的数大。（2）由正、负数在数轴上的位置可知：正数都有大于 0，负数都小于 0，正数大于一切负数。（3）比较大小时，用不等号顺次连接三个数。正数都大于 0，负数都小于 0，正数大于一切负数因为正数都大于 0，反过来，大于 0 的数都是正数，所以，我们可以用 ，表示 是正数；反之，知道 是正数也可以表示为 。同理， ，表示 是负数；反之 是负数也可以表示为 。3正数轴常见几种错误1)没有方向#*2)没有原点3)单位长度不统一数轴上的点与有理数3、相反数
5、只有符号不同的两个数，叫做互为相反数，0 的相反数是 0a 的相反数-aa 与 b 互为相反数 a+b=0相反数的意义（1）只有符号不同的两个数叫做互为相反数 （2）从数轴上看，位于原点两旁，且与原点距离相等的两点所表示的两个数叫做互为相反数。（3）0 的相反数是 0。也只有 0 的相反数是它的本身。（4）相反数是表示两个数的相互关系，不能单独存在。相反数的表示在一个数的前面添上“”号就成为原数的相反数。若 表示一个有理数，则 的相反数表示为 。在一个数的前面添上“+”号仍与原数相联系同。例如，7=7，特别地，0=0，0=0。相反数的特性若 互为相反数，则 ，反之若 ，则 互为相反数。相反数是
6、它本身的数是 04多重符号化简（1）相反数的意义是简化多重符号的依据。如 是1 的相反数，而1 的相反数为+1，所以。（2）多重符号化简的结果是由“”号的个数决定的。如果“”号是奇数个，则结果为负；如果是偶然数个，则结果为正。可简写为“奇负偶正”。化简一个数就是把多重符号化成单一符号，若结果是“+”号，一般省略不写。 5、绝对值一般地，数轴上表示数 a 的点与原点距离，表示成a。a （a0）#*a= -a （a0）1绝对值的代数定义一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零2绝对值的几何定义在数轴上表示一个数的点离开原点的距离，叫做这个数的绝对值3绝对值的主要性质(
7、2)一个实数的绝对值是一个非负数，即|a|0，因此，在实数范围内，绝对值最小的数是零(4)两个相反数的绝对值相等运用绝对值比较有理数的大小1两个负数大小的比较,因为两个负数在数轴上的位置关系是：绝对值较大的负数一定在绝对值较小的负数左边，所以，两个负数，绝对值大的反而小.比较两个负数的方法步骤是：（1）先分别求出两个负数的绝对值；（2）比较这两个绝对值的大小；（3）根据“两个负数，绝对值大的反而小”作出正确的判断2两个正数大小的比较，与小学学习的方法一致，绝对值大的较大 6、倒数: 知识结构#*乘积是 1 的两个数叫作互为倒数。即： ，则 互为倒数。a 的倒数是 （a0）aa 与 b 互为倒数
8、 ab=1关于倒数的求法要注意：（1）求分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母颠倒位置即可（2）正数的倒数是正数，负数的倒数仍是负数（3）负倒数的定义：乘积是1 的两个数互为负倒数(4) 0 没有倒数倒数是它本身的数是1 绝对值是它本身的数是非负数平方等于它本身的数是 0，1 立方等于经本身的数是1，0数轴上表示相反数的两个点和原点的关系：关于原点对称7、乘方1求 个相同因数的积的运算，叫做乘方乘方的结果叫做幂，相同的因数叫做底数，相同的因数的个数叫做指数一般地，在 中， 取任意有理数，取正整数注意：乘方是一种运算，幂是乘方运算的结果 看作是 的 次方的结果时，也可读作 的 次幂（1）当 时，
9、 （ 为正整数）；（2）当（3）当 时， （ 为正整数）；（4） （ 为正整数）；（ 为正整数）；（ 为正整数， 为有理数）乘方和幂的区别#* 与 的区别乘方符号法则负数的积次幂是负数，负数的偶次幂是正数，正数的任何次幂都是正数，0 的任何正整数次幂都是 08、科学记数法把一个绝对值大于 10 的数表示成 a10n（其中 1a10，n 为正整数）指数 n 与原数的整数位数之间的关系。9、近似数与有效数字准确数、近似数、精确度精确到万位精确度 精确到 0.001保留三个有效数字近似数的最后一位是什么位，这个数就精确到哪位。有效数字如何求较大数的近似数，有两种方法，一种用单位，一种用科学记数法10
10、、有效数字：一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个数精确到哪一位，这时，从左边第一个不是 0 的数字起，到精确的数位止，所有的数字，都叫做这个数的有效数字明确近似数的有效数字需注意的两点：一是从左边第一个不是零的数起；二是从左边第一个不是零的数起，到精确的位数止，所有的数字，如果是整数有效数字是构成整数的个数如果是小数，有效数字是这个小数从左边的第一个非 0 的数字数起到未位为止二、有理数的分类1、按整数与分数分正整数整数 0负整数有理数正分数分数负分数2、按正负分正整数正有理数正分数有理数 0负整数负有理数负分数三、有理数的运算知识结构#*1 有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相
11、同符号，并把绝对值相加.（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得 0.（3）一个数同 0 相加，仍得这个数如果是同号相加，取相同的符号，并把绝对值相加。如果是异号两数相加，应先判别绝对值的大小关系，如果绝对值相等，则和为 0；如果绝对值不相等，则和的符号取绝对值较大的加数的符号，和的绝对值就是较大的绝对值与较小的绝对值的差。一个数与 0 相加，仍得这个数。加法交换律： a+b=b+a加法结合律: （ a+b）+ c=a+(b+c)2 有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数. a b=a+( b)引入相反数后
12、，加减混合运算可以统一为加法运算a+b c=a+b+(-c)知识结构知识结构3 有理数乘法法则两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘任何数同 0 相乘，都得 0.方 法 规 律先确定积的符号，再把各个乘数的绝对值相乘，作为积的绝对值1有理数乘法法则，实际上是一种规定。行程问题是为了了解这种规定的合理性。#*2两数相乘时，确定符号的依据是“同号得正，异号得负”绝对值相乘也就是小学学过的算术乘法3基础较差的同学，要注意乘法求积的符号法则与加法求和的符号法则的区别。4几个数相乘，如果有一个因数为 0，那么积就等于 0反之，如果积为 0，那么，至少有一个因数为 05小学学过的乘法交换律、结合律、
13、分配律对有理数乘法仍适用，需注意的是这里的字母 a、b、c 既可以是正有理数、0，也可以是负有理数。6如果因数是带分数，一般要将它化为假分数，以便于约分。乘法交换律： ab=ba乘法结合律：（ ab） c=a(bc)分配律： a（ b+c）=ab+ac4 有理数除法法则：1 除以一个不等于 0 的数，等于乘以这个数的倒数.2 两数相除，同号得+，异号得-，并把绝对值相加。0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0.有理数除法有两种法则。法则 1：除以一个数等于乘以这个数的倒数。是把除法转化为乘法来解决问题。法则 2 是把有理数除法纳入有理数运算的统一程序：一确定符号；二计算绝对值。5 乘方符号
14、法则：负数的积次幂是负数，负数的偶次幂是正数，正数的任何次幂都是正数，0 的任何正整数次幂都是 0五种运算：运算： 加、减、乘、除、乘方；运算结果：和、差、积、商、幂；混合运算顺序：三级（乘方）二级（乘除）一级（加减） ；同一级运算应从左到右进行；有括号的先做括号内的运算；能简便运算的应尽量简便。第二章一元一次方程总复习一、主要概念1、方程：含有未知数的等式叫做方程。2、一元一次方程：只含有一个未知数，未知数的指数是 1 的方程叫做一元一次方程。一元一次方程具有以下几个特点：1、必须是等式的形式；2、只含一个未知数；3、未知数的次数是 1 次；4、分母中不含未知数因此只有同时满足以上四个特点的
15、等式叫一元一次方程3、方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。4、解方程：求方程的解的过程叫做解方程。二、等式的性质等式的性质 1：等式两边都加（或减）同一个数（或式子） ，结果仍相等。等式的性质 2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等。这两个分别是移项和去分母的依据三、解一元一次方程的一般步骤及根据1、去分母-等式的性质 2#*2、去括号-分配律3、移项-等式的性质 14、合并-分配律5、系数化为 1-等式的性质 26、验根-把根分别代入方程的左右边看求得的值是否相等四、解一元一次方程的注意事项1、分母是小数时，根据分数的基本性质，把分母转化为整数；2、
16、去分母时，方程两边各项都乘各分母的最小公倍数，此时不含分母的项切勿漏乘，分数线相当于括号，去分母后分子各项应加括号；3、去括号时，不要漏乘括号内的项，不要弄错符号；4、移项时，切记要变号，不要丢项，有时先合并再移项，以免丢项；5、系数化为 1 时，方程两边同乘以系数的倒数或同除以系数，不要弄错符号；6、不要生搬硬套解方程的步骤，具体问题具体分析，找到最佳解法。7 要注意所求得的解是否为原方程的解即解完方程后，应将所求得的解分别代入方程的左右两边，如果左边右边，说明所求的解是原方程的解；如果左边右边，说明求解过程有错误，应认真检查看是哪一步计算出了错这一步可以不写在书面上，但是不可疏漏五、列方程
17、解应用题的一般步骤1、审题2、设未数3、找相等关系4、列方程5、解方程6、检验7、写出答案等式方程方程的解1等式与方程的区别表示相等关系的式子叫做等式含有未知数的等式叫做方程，可见方程必须具备两个条件：一是必须含有未知数，二是必须是一个等式2等式性质的应用应用等式的性质对等式进行变形时，必须注意：（1）强调一个“都”字性质 1 告诉我们，等式两边都加上（或减去）同一个数，所得的结果仍然是等式；性质 2 也有个“都”字，要求对等式进行变形的方式要保持对等，也就是说，变形必须两边同时进行3方程的解与解方程方程是一个有待于研究的等式，即研究这个等式中的未知数取什么确定数值时等式才成立解方程的任务就是
18、“确定使方程左右两边相等的未知数所取的数值” ，我们把这个值叫做方程的解（一元方程的解又叫做“根” ） 这样的值可能有一个或多个，也可能没有，所以方程可能有一解、多解，也可能无解如 3x-5=4x+3 的解只有一个 x -8，方程 2x-75x-（3x+7）的解就有无数个，而方程 2x-32x+2 则无解求方程的解或判定方程无解的过程叫做解方程利用等式的性质，通过一定的变形，就可以求出方程的解4方程解的检验方法要检验一个数是不是方程的解，其方法是：将这个数代入方程的左边和右边，计算其左、右两边的值，如果左、右两边的值相等，那么这个数就是方程的解；如果左、右两边的值不等，那么这个数就不是方程的解#*第三章图形初步认识总复习（一） 多姿多彩的图形一、常见的立体图形（1）柱体：棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每两个相邻的四边形的公共边互相平行，由这些面围成的几何体叫棱柱。如三棱柱、四棱柱、五棱柱等。圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边围绕它旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱（2）锥体：
