1、高等数学课程教学辅导函数辅导学习要求1 理解函数的概念及基本性质。2 掌握函数的四则运算，理解复合函数的概念。3 了解反函数的概念及互为反函数的函数图像之间的关系。4 了解初等函数的概念及基本初等函数，如：多项式、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的图像和性质。内容指导1 函数概念函数概念是微积分的基础，也是本章的重点。理解函数概念需要把握以下几个方面：（1）对应法则（规律）和定义域是函数定义中的两个要素。在函数的定义中，包含这三个因素，即定义域、对应法则和值域，当定义域和对应法则确定后，对于定义域中每一个数 ，都可得到对x应的函数值 ，从而函数值的范围（值域）就完全确定了，所以)(xf定义
2、域和对应规律是两个要素。因此，两个函数仅当它们的对应规律和定义域都相同时，才是两个相同的函数。（2）关于由解析表达式给出的函数的定义域，分两种情况：在不考虑函数的实际意义时，约定函数的定义域是使函数的解析表达式有意义的一切实数所构成的数集；在实际问题中，还需根据问题的实际意义来确定。（3）记号 和 ，有着本质的区别。 表示对应规律（也f)(xf可以用 ，表示） ，而 ， 是表示根据对应规律 所取得对应()ff于值 的数 ，即 处的函数值。由于历史的原因，习惯上把“定xy义域 上的函数 ”说成是“ 是 的函数”或“函数 ， ”。教Dfyx)(xf材与本书下面的叙述中，也沿用习惯上的说法。2. 函
3、数的性质理解函数的基本性质是本章的另一个重点。（1）奇偶性奇函数、偶函数的定义中要求定义域 关于原点对称。它们的D图像特点是：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于 轴x对称。按函数的奇偶性对函数进行分类，可分为四类：既奇又偶的函数，只有 ；奇函数，如 等；偶函数，如 等；0yxysinxycos非奇非偶函数，如 等。53x判断函数的奇偶性大致有下列三种方法：（）用奇、偶函数的定义，主要考察 是否与- ，)(xf)(xf，相等。例如， = )(xf )(xf由于 = = = ，故它是偶函数。)(f)(f（）利用一些已知函数的奇偶性及下列准则：两个奇函数的代数和是奇函数；两个偶函数的代数和是
4、偶函数；奇函数与偶函数的和既非奇函数，也非偶函数；两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；奇函数与偶函数的乘积是奇函数。例如，我们已经知道 （常数函数） ， 是偶函数， 是cyxycostgxy奇函数，则用上列准则就容易得到 是偶函数，1是非奇非偶函数，而 是奇函数。tgxy1xtgcs（2）单调性在函数单调性的定义中，需要注意:()在讨论的区间 应当含在函数 的定义域 中，),(ba)(xfD可能在其定义域内的不同区间内有不同的单调性。)(xf（） ， 是 应内任意两个数，且 ( )(严格单调递减)12相应的区间 成为 的单调递增（或严格单调递增、或,baxf单调递减、或严格单调
5、递减）区间。（） 在 内单调递增（严格单调递增） ，其图像特)(xf,点是：沿 的正向观察时，曲线不下降（上升） ， 在 内单)(xf,ba调递减（严格单调递减）时，沿 正向观察，曲线不上升（下降） 。x（） 在定义域内单调递增（单调递减） ，则称 为单)(xf )(f调递增（单调递减）函数。单调递增、单调递减函数统称为单调函数。例如， ， 都是单调函数；而 不是单调3xyxalog2xy函数，因为它在区间（- ，0）内单调递减，在（0，+ ）内单调递增。讨论一个具体函数，特别是基本初等函数的单调性，可以借助于图像，依据图像的特点来判断、理解其单调性。为此，要求学员熟记主要的几种基本初等函数的
6、图像。3. 反函数反函数的实质是它所表示的对应规律，至于用什么字母来表示反函数中的自变量与因变量是无关紧要的。我们习惯于自变量用表示，因变量用 表示，因此函数 的反函数xy)(xfy通常表示成 。)(1f)(1f求反函数的步骤是：先从函数 中解出 ，再)(f)(1yf置换 与 ，就得反函数 。xy1xfy函数 的图像和它的反函数 的图像关于直线)(f )(1xfy是对称的。但要注意， 与 是同一条曲线。)(f用这个结论可帮助我们记忆一些函数的图像。如， 和xe互为反函数，它们的图像是关于 对称的。xylny4. 基本初等函数（1） 幂函数： 为实数axy()幂函数的定义域与 的取值有关，例如，
7、 的定义域是 2xy， 的定义域是 0 0, ，）， (1x，()()的定义域是 0， 等等。但不管 取什么实数，不21xy)a同的幂函数的定义域都有一个公共部分： 0， ，函数值域也有()公共部分 0， ，且所有幂函数的图像都过点（1，1） 。()读者应熟记经常遇到的幂函数 1232xxy，的图像，并能借助于图像理解他们的奇偶性、单调性和有界性等性质。对于其他幂函数，可先讨论每个幂函数的定义域及性质，再大致做出图像。（2） 指数和对数函数指数函数： xay)10(，对数函数： loga，只要 ，且 ，指数函数的定义域都是 ；对0 )(，数函数的定义域都是 ；指数函数的图像都过点（0，1） ，
8、对)(，数函数的图像都过点（1，0） ；且对于同一个 ， 与axy互为反函数。xyalog指数函数与对数函数的图像都分成两类：一类是 ；另一类1是 .读者应熟记这两类图像的特点，并借助于图像理解它们10的单调性。在高等数学中，最常用的指数函数与对数函数是以 为底的，e即 与 。这里， 是一个无理数， =2.718 yxexelnloge281（3）三角函数正弦函数： 余弦函数：xysinxycos正切函数： 余切函数：tgt正割函数： 余割函数：ec它们统称三角函数。需要注意的是：（）自变量 用实数（理解为弧度） 。x（）在六个三角函数中，着重研究前四个。读者应理解并掌握这四个三角函数的定义域
9、，函数值域；周期与主值区间：函数 xysinxycostgxyxycot主值区间 2，0， )2,(),0(并熟练的做出它们的图像。（）除 是偶函数外，其余的 , , 都是奇xcosxsintgxcot函数；在主值区间上, , 单调递增， , 单调递intg减，从而在主值区间上，它们都有反函数，称为反三角函数。5 初等函数有常数与上述各类基本初等函数经过有限此次四则运算和有限次复合，并由一个式子表示的函数称为初等函数。6 四则运算和复合函数微积分主要研究的对象是初等函数，而初等函数是有基本初等函数经过四则运算和复合运算得到，因此，掌握函数的四则运算与复合运算是本章的又一个重点。（1）四则运算设
10、 , 的定义域分别是 与 ，若 非空，)(xfg1D221D则对于 ，称 , , D)(xf)(xgff)0(xg为 , 的和（差） 、积、商。)(xf对于商函数 的定义域，要附加条件 。例如：)(xgf )(x, 由 得 ，因此，其定义fxql1)(20lg)(1域应从 ，1中除去 ，即（0，1）是 的定义域。0)(xq（2）复合函数（复合运算）先看一个例子。设 , 。考察 , 时，ufy)( 2)(xag1a能否构成复合函数 。或者说，复合运算 是否f )(xgf有意义？时，有 ， 且 的定义域1auy21x)(uf，而 的值域 。由于 非,0fD)(g,gRgfRD空，所以 是复合函数，
11、其定义域为xf2，即-1,1。12x当 时，有 ， ， , 但auy21x)0f, 从而 为空集。所以(gRgfRD)(2不是复合函数。上例表明：函数 与函数 可以复xfy)(xgu合成为函数 ，或者说，能作复合运算 的前)(xgfyf提是， 的定义域 与 的值域 之交集要非空；否则)(uffD)(xggR不能成为复合函数，或运算 无意义。另外，在讨论复合函数时还要注意：1 两个以上函数的复合与两个函数复合过程相类似。2 分解一个复合函数，正好是将几个函数复合一个函数的相反过程。具体分解时，可以从复合函数的外层往里逐层分解。极限辅导学习要求1. 理解数列极限和函数极限的概念。2. 掌握极限的运
12、算法则，了解级数概念。3. 了解函数连续的概念，知道闭区间上连续函数的性质。4. 会求一些数列和函数的极限。内容指导极限概念是微积分学中最重要、最基本的概念之一，也是微积分学的基础。理解了数列极限与函数极限的概念，掌握了极限运算，本章的其它一些概念，如函数的连续性等概念，也就容易了解它们的实质。因此，本章的重点是：理解数列极限和函数极限的概念，掌握极限的运算法则，而前者又是本章的难点。1 数列极限（1）数列的一些概念依照某中对应法则排列着的一列数叫做数列，记作其中第 项 称为通项。知道了通项，该数列就容,21 nana易写出，所以数列也可简表为 如果与函数概念联系起来，那.么数列是一种特殊的函
13、数，即其自变量只取正整数的函数，称为整标函数。因此，又可以记为 将数列看成整标函数，.),(Nnfan有利于将数列极限的概念引申到函数极限的概念。与函数的单调性、有界性概念联系起来，容易得到数列的单调性，有界性概念。设数列 如果数列的项满足,),(Nnfan 121（即 ） )1()(nff就称 是单调递增数列；如果数列的项满足na 121na（即 ） )1()(ff就 称 是 单 调 递 减 数 列。这两种数列统称为单调数列。na如果数列 的所有项的绝对值都小于某一个)(Nnfn与 无关的正数 ，即 M（ ）)(fan或 ,321n就称 为有界数列；否则，称它为无界数列。n例如，数列 是有界
14、数列，因为对一切正整数 都有 2sin2sin又如，数列 是单调有界数列。n1容易想象，当单调递增数列有界，或单调递减数列有界时，则在数轴上表示数列各项的点都朝着一个方向移动，而又不能超过某一界限，终究要聚集在某一点附近。于是，单调有界数列必定有极限。（2）理解数列极限的概念，可以遵循“几何直观 描述定义精确定义”这样一个过程。例如，数列 借助于图 2.1 看出：当项数 无限增大,)1(nn时 无限接近于 1。我们就说，1 为数列 的极限，记作na )1(但是，观察的结果是否准确？需要用数量关系加以表达。否则，“ 无限增大” ， “ 无限接近于 1”都是含糊不清的。na所谓当 无限增大时 无限接近 1，无非是说，随着 无限制的n增大，距离 将任意地小。也就是说，无论你举出一个多么小1n的正数来（准备同距离 作比较） ，当 充分大时，距离一定会nan变得比你所举出的那个正数更小些。譬如，拿小正数 同距离01.比较吧，当 充分大时，例如当 时，就有不等式 1na
