1、 1 / 15数字信号处理考试题一：试求如下序列的傅里叶变换(1) )1(2)(1(2)(2 nnx解： cos1)e(21 e)e(jj jjjj2 nnxX(2) x3(n)=anu(n) 0a1解：二：设系统的单位脉冲响应 h(n)=anu(n), 0a1， 输入序列为x(n)=(n )+2(n2)完成下面各题：(1) 求出系统输出序列 y(n)； (2) 分别求出 x(n)、 h(n)和 y(n)的傅里叶变换。 解 (1) j0jjj3 e1e )()e( aanuXnnn)2(2)( )2()( uaua nynn 2jjj e1e)2()()e( n nnX2 / 15（2 ）三：
2、 已知 x(n)=anu(n), 0a1。 分别求： (1) x(n)的 Z 变换；(2) nx(n)的 Z 变换；(3) an u(n)的 Z 变换。解： (1)（2 ）（3 ）四： 已知线性因果网络用下面差分方程描述： j0jjj e1ee)()e( aanuaHnnn j2jjjj e1)e()e()e( aXHYazazznuazXnn 1)()(T)( zazzXnx )1()d)( Z 2100 1)(ZT azazzzanuann3 / 15y(n)=0.9y(n1)+x(n)+0.9x(n1)（1） 求网络的系统函数 H(z)及单位脉冲响应 h(n)； （2） 写出网络频率响应
3、函数 H(ej)的表达式， 并定性画出其幅频特性曲线； （3） 设输入 x(n)=ej0n， 求输出 y(n)。 解：（1） y(n)=0.9y(n1)+ x(n)+0.9x(n1)Y(z)=0.9 Y(z)z1+X( z)+0.9X(z)z1令n1时，c 内有极点 0.9，n=0 时， c 内有极点 0.9 ， 0，最后得到 h(n)=2 0.9nu(n1)+( n)（2）19.01( HcnzzHnhd)(j2)( 1119.0)()( nnzzHzF nznzzzFh 9.02)9.0(9.09.0),(sRe)( .01),(sRe9.0),(sRe)( ZFzFh29.0).(.,s
4、 .zzz 1)9.0(0),(sRe 0zzzF je1e9.09.0)FT)e j zH4 / 15极点为 z1=0.9,零点为 z2=0.9。极零点图如题 24 解图(a)所示。 按照极零点图定性画出的幅度特性如题 24 解图(b)所示。 （3）1 计算以下序列的 N 点 DFT， 在变换区间 0nN1 内， 序列定义为(3) x(n)=(nn 0) 0n0N解：(4) x(n)=Rm(n) 0mN解：nnx0je)(0000 jjjj e9.1e)()( njnHy001) () ,1NknNknXW1j(1)0sin()e()kkknNNWXRk 5 / 15(8) x(n)=sin
5、(0n)RN(n)8） 解法一 直接计算： 解法二 由 DFT 的共轭对称性求解。因为所以 所以即(10) x(n)=nRN(n)解： 解法一：上式直接计算较难,可根据循环移位性质来求解 X(k)。因为 x(n)=nRN(n)， 所以 x(n)x( n1) NRN(n)+N(n)=RN(n)(ej21)()sin()( 00j0 nRnx NnN knNnnnNnkWxX 2j10jj1088 eej)()( 00002211j()j()eNNkknn00j j22j(-k)j()Ne1eNk)(sin(j)cos()(e)(00j70 nRnRnx NNImsi 708 x)()(IjDFT
6、)(jFTo778 kXnxnx21)( *o78 NkkXk 10 1,0NnknNWkX6 / 15等式两边进行 DFT， 得到 X(k)X( k)WkN+N=N(k)故当 k=0 时， 可直接计算得出 X(0)为这样， X(k)可写成如下形式： 解法二 k=0 时， k0时， 所以，1,2 1)()( WkNX10102)()(NnNn1,2,102)( NkWNk102)()(NnX kNkNkkN WW)1(32(0)( )()2)1(432 XkkkkkN 1()()mN10)(nkW,1)(kkXN7 / 15即4 证明 DFT 的对称定理， 即假设 X(k)=DFTx (n)
7、， 证明 DFTX (n)=N x(Nk)证： 因为所以由于所以DFTX (n)=N x(Nk) k=0, 1, , N1例 4.4.2 假设系统函数如下式， 画出它的并联型结构。解： 上式的分子分母是因式分解形式， 再写成下式:上式的第二项已是真分式， 可以进行因式分解。1,2 102)() NkWNkXk 10)(nknNWX1010)()()(DFTNnnknNmmkNx1010)()(mNnkW 1 , 010)( kNWNnkm )5.01)(5.0( 264.43792)(1zzzH)5.01)(5.0(62816)( 2zzz )5.01)(5.01(628) 21 zzzH8
8、/ 15再根据等式两边同次项系数必须相等的法则确定系数 B 和 C， 得到B16， C20最后得到：1. 已知系统用下面差分方程描述: )1(3)()2(81)(43)( nxxnynyy 试分别画出系统的直接型、 级联型和并联型结构。 式中 x(n)和 y(n)分别表示系统的输入和输出信号。解： 将原式移项得 )1(3)()2(81)(43)( nxxnynyy)5.0()5.0().)(5.0628)( 21 zCBzAzzH8).(.,sRe 5.011 zzHzA)5.0()5.0(8)21 zCBzH)5.01(26)5.01(8) 1zzzH).().()( 211zz9 / 15
9、将上式进行 Z 变换， 得到 121 )(31)()(8)(43)( zXzzYzYz 21843)( zzzH(1) 按照系统函数 H(z)， 根据 Masson 公式， 画出直接型结构如题1 解图（一）所示。(2) 将 H(z)的分母进行因式分解： )41)(21(38431)( 121 zzzz按照上式可以有两种级联型结构画出级联型结构如题 1 解图（二） （a)所示。 画出级联型结构如题 1 解图（二） （b) 所示。 114 23)(zzzH1143 2)(zzH10 / 15(3) 将 H(z)进行部分分式展开 )41)(21(3)( zzz 4121)41)(2(3)( zBzAzzzH 30)()41)(2(321zzzzA 37)41()(21(3zzzzB413720)(zzzH114372304137)2(10) zzzz根据上式画出并联型结构如题 1 解图（三）所示。
