1、1第二章练习题（答案）一、单项选择题1已知连续型随机变量 X的分布函数为则常数 k和 b分别为 （ A ）xbkxF,10,)(（A） （B） （C） （D）,1,0bk0,21bk21,0bk2.下列函数哪个是某随机变量的分布函数 （ A ）A. f（x）= (a0); B. f（x）=22,01, 0, 求: (1) 常数 A、 B; (2) ; (3) 概率密度 f (x).2aP（1）A=1/2,B=1/; (2)1/3; (3) f(x)= 122, ,|0, |3. 若 U0,5, 求方程 +x+1=0 有实根的概率.24设连续型随机变量 的概率密度为 2,0;41,)(xkexf
2、x求（1）系数 ；（1） 的分布函数；（3） k 21,1PP5已知随机变量 X的概率密度为 求随机变量（1） ，0,)(xef XY（2） （3） 的概率分布Y2e2Y6.设 XN（0，1）求 Y=X2的概率密度。7.进行一系列独立试验，每次试验成功的概率均为 ，试求以下事件的概p率：（1）直到第 次才成功；r（2）第 次成功之前恰失败 次；k（3）在 次中取得 次成功；n)1(nr（4）直到第 次才取得 次成功。解：（1） （2）1)(rpPkrkpCP)1(（3） （4）rnrnCrnrn58.投掷 n次均匀硬币，求出现正反面次数相等的概率。解 若 为奇数, 显然, 出现正反面次数不可能
3、相等, 故所求概率为 0；若 为偶数,“出现正反面次数相等”等价于“出现正反面次数各 2/n次”， 投掷 n次均匀硬币，可以看作伯努里概型，故这时概率为：nC)21(/。故所求为： 分为 偶 数 分为 奇 数 12.,02/nn。9.某科统考成绩近似服从 N(70,10),在参加统考的人数中，及格者 100人（及格分数为 60分） ，计算（1）不及格人数；（2）成绩前 10名的人数在考生中所占的比例；（3）估计排名第 10名考生的成绩。解：设考生的统考成绩为 X,XN(70,10).设参加统考的人数为 n,则 Px60=1-( )=（1 ）=0.8413, =0.8413.607010 100
4、(1) 不及格人数占统考人数的 15.87%，不及格人数为 0.1587n19 人。(2) 前 10名考生所占比例为 8.4%10(3) 设第 10名考生成绩为 ,PX =0.08413,PX =0.915870分 0 0( )=0.91587, =1.37, =83.784 分。07010 07010 010.离散型随机变量 x 的分布函数 F(x)= ,且 p(x=2)= .0, 1, 1 1, 1 2+, 2 12求 a,b 及 x 的分布律.11.巴拿赫火柴盒问题：波兰数学家巴拿赫（Banach）随身带着两盒火柴，分别放在左右两个衣袋里，每盒各有 n 根火柴。每次使用时，他随机地6从其
5、中一盒中取出一根。试求他将其中一盒火柴用完，而另一盒中剩下k 根火柴的概率。解：A：“取左衣袋盒中火柴” ，B：“取右衣袋盒中火柴” 。P(A)=P(B)=1/2. 若 Banach 首次发现他左衣袋盒中火柴用完，这时事件 A 已经是第n+1 次发生了，而此时他右衣袋盒中火柴恰好剩 k 根相当于他在此前已在右衣袋中取走了 n-k 根火柴，即 B 发生了 n-k 次，即一共做了 n-k+n+1=2n-k+1 次随机试验，其中 A 发生了 n+1 次，B 发生了 n-k 次，在这 2n-k+1 次试验中，第 2n-k+1 次是 A 发生，前面的 2n-k 次试验中，A发生了 n 次， B 发生了
6、n-k 次，这时概率为 P(A)=2()() 122(12)2由对称性知，他右衣袋盒中火柴用完，而左衣袋盒中火柴恰好剩 k根的概率也是 。 122(12)2所以，将其中一盒火柴用完，而另一盒中剩下 k 根火柴的概率为。 2(12)2四、应用题1.某家电维修站保养本地区某品牌的 600台电视机，已知每台电视机的故障率为 0.005。（1）如果维修站有 4名维修工，每台只需 1人维修，求电视机能及时维修的概率。（2）维修站需配备多少维修工，才能使及时维修的概率不少于 96%。解：设同一时刻发生故障的电视机台数为 X, XB(600，0.005)，由于 n7很大，而 P较小，可以利用泊松定理计算。=
7、np=3,所以PX4=1-0.1847=0.8153（查表）PXn0.96,查表知 n=6,即需配备 6名维修工。2.人寿保险问题：某单位有 2500 个职工参加某保险公司的人寿保险。根据以前的统计资料，在 1 年内每个人死亡的概率为 0.0001。每个参保人1 年付给保险公司 120 元保险费，而在死亡时其家属从保险公司领取20000 元，求（不计利息）下列事件的概率。（A）保险公司亏本。（B ）保险公司 1 年获利不少于十万元。解：设这 2500 人中有 k 个人死亡。则保险公司亏本当且仅当20000k2500*120 ，即 k15.由二项概率公式知， 1 年中有 k 个人死亡的概率为 ,
8、2500 (0.0001) (0.9999)2500k=0,1,2, ,2500所以，保险公司亏本的概率P(A)=2500=162500 (0.0001) (0.9999)25000.000001 (由此可见保险公司亏本几乎不可能)保险公司 1 年获利不少于十万元等价于2500*120-20000k ,即 k10 105保险公司 1 年获利不少于十万元的概率为P(B)=10=02500 (0.0001) (0.9999)25000.999993662 (由此可见保险公司 1 年获利不少于十万元几乎是必然8的)对保险公司来说，保险费收太少了，获利将减少，保险费收太多了，参保人数将减少，获利也将减
9、少。因此在死亡率不变与参保对象已知的情况下，为了保证公司的利益，收多少保险费就是很重要的问题。（C）从而提出如下的问题：对 2500 个参保对象（每人死亡率为 0.0001）每人每年至少收多少保险费才能使公司以不低于 0.99 的概率每年获利不少于 10 万元？（赔偿费不变）由上面知，设 x 为每人每年所交保险费，由2500x-20000k ,得 x8k+40,这是一个不定方程。又因 105=0.997840.99，故 x56，即 25002=02500 (0.0001) (0.9999)2500个人每人每年交给公司 56 元保险费，就能使公司以不低于 0.99 的概率每年获利不少于 10 万
10、元。由于保险公司之间竞争激烈，为了吸引参保者，挤垮对手，保险费还可以再降低，比如 20 元，只要不亏本就行。因此保险公司将会考虑如下问题（D）在死亡率与赔偿费不变的情况下，每人每年交给保险公司 20 元保险费，保险公司至少需要吸引多少个参保者才能以不小于 0.99 的概率不亏本？解：设 y为参保人数，k 仍为参保者的死亡数，类似地有 20y-20000k0,即 y1000k, 此仍是一个不定方程。当 k=1,y1000,=0.0904911000 (0.0001)1 (0.9999)100019又 =0.90483，从而 (0.9999)1000=0.995321=01000 (0.0001)
11、 (0.9999)1000所以保险公司只需吸引 1000 个人参保就能以不小于 0.99 的概率不亏本。五、证明题1.设随机变量 具有对称的分布密度函数 )(xp，即 )(xp，记它的分布函数为 )(xF。证明对任意的 0a，有（1） dxpa0)(21；（2） )()|(P；（3） 1|aF。解（1）由于 )(xp, 故 adxp)(ax)(， aadxp00)()(，0,2)(dxp因而 1Fxdpaa ， aaa dxpdxpxdxpF 000 )(21)()()()(， 即证（1）式；（2）由（1）式， 1)(2)| aFFP ，即得（2）式； （3）由（2）式， )()1(2)|(1)|( aa 即得（3）式。
