1、1带电粒子在电场和磁场中的运动一、不计重力的带电粒子在电场中的运动1带电粒子在电场中加速当电荷量为 q、质量为 m、初速度为 v0 的带电粒子经电压 U 加速后，速度变为 vt，由动能定理得：qU mvt2 mv02若 v00，则有 vt ，这个关系式对任意静电场都是适用的12 12 2qUm对于带电粒子在电场中的加速问题，应突出动能定理的应用2带电粒子在匀强电场中的偏转电荷量为 q、质量为 m 的带电粒子由静止开始经电压 U1 加速后，以速度 v1 垂直进入由两带电平行金属板产生的匀强电场中，则带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，其轨迹是一条抛物线(如图所示) qU1 mv1212设两平行金属
2、板间的电压为 U2，板间距离为 d，板长为 L(1)带电粒子进入两板间后粒子在垂直于电场的方向上做匀速直线运动，有：vxv 1， Lv 1t粒子在平行于电场的方向上做初速度为零的匀加速直线运动，有：vyat， y at2，a 12 qEm qU2md(2)带电粒子离开极板时侧移距离 y at2 12 qU2L22mdv12 U2L24dU1轨迹方程为：y (与 m、q 无关)U2x24dU1偏转角度 的正切值 tan atv1 qU2Lmdv12 U2L2dU1若在偏转极板右侧 D 距离处有一竖立的屏，在求电子射到屏上的侧移距离时有一个很有用的推论，即：所有离开偏转电场的运动电荷好像都是从极板
3、的中心沿中心与射出点的连线射出的这样很容易得到电荷在屏上的侧移距离 y 以上公式要求在能够证明的前提下熟记，并能通过以上式子分析、讨论侧移距离和偏转角度与带电粒子的速度、动能、比荷等物理量的关系二、不计重力的带电粒子在磁场中的运动1匀速直线运动：若带电粒子的速度方向与匀强磁场的方向平行，则粒子做匀速直线运动2匀速圆周运动：若带电粒子的速度方向与匀强磁场的方向垂直，则粒子做匀速圆周运动2质量为 m、电荷量为 q 的带电粒子以初速度 v 垂直进入匀强磁场 B 中做匀速圆周运动，其角速度为，轨道半径为 R，运动的周期为 T，则有：qvBm mR 2mvmR( )2mR(2f) 2v2R 2TRmvq
4、BT (与 v、R 无关)，f 2mqB 1T qB2m3对于带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的问题，应注意把握以下几点(1)粒子圆轨迹的圆心的确定若已知粒子在圆周运动中的两个具体位置及通过某一位置时的速度方向，可在已知的速度方向的位置作速度的垂线，同时作两位置连线的中垂线，两垂线的交点为圆轨迹的圆心，如图 2 所示；若已知做圆周运动的粒子通过某两个具体位置的速度方向，可在两位置上分别作两速度的垂线，两垂线的交点为圆轨迹的圆心，如图 3 所示；若已知做圆周运动的粒子通过某一具体位置的速度方向及圆轨迹的半径 R，可在该位置上作速度的垂线，垂线上距该位置 R 处的点为圆轨迹的圆心(利用左手定则判
5、断圆心在已知位置的哪一侧) ，如图 4 所示。图 2 图 3 图 4(2)粒子圆轨迹的半径的确定可直接运用公式 R 来确定；mvqB画出几何图形，利用半径 R 与题中已知长度的几何关系来确定在利用几何关系时，要注意一个重要的几何特点，即：粒子速度的偏向角 等于对应轨迹圆弧的圆心角 ，并等于弦切角 的 2 倍，如图45 所示；图 5(3)粒子做圆周运动的周期的确定可直接运用公式 T 来确定；2mqB利用周期 T 与题中已知时间 t 的关系来确定若粒子在时间 t 内通过的圆弧所对应的圆心角为 ，则有：t T(或 t T)。360 2(4)圆周运动中有关对称的规律从磁场的直边界射入的粒子，若再从此边
6、界射出，则速度方向与边界的夹角相等，如图 46 所3示在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子必沿径向射出，如图 47 所示图 6 图 7(5)带电粒子在有界磁场中运动的极值问题刚好穿出磁场边界的条件通常是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切三、带电粒子在复合场中的运动1高中阶段所涉及的复合场有四种组合形式，即：电场与磁场的复合场；磁场与重力场的复合场；电场与重力场的复合场；电场、磁场与重力场的复合场2带电粒子在复合场中的运动性质取决于带电粒子所受的合外力及初速度，因此应把带电粒子的运动情况和受力情况结合起来进行分析当带电粒子在复合场中所受的合外力为零时，带电粒子做匀速直线运动( 如速度选择器)；当
7、带电粒子所受的重力与电场力等值、反向，由洛伦兹力提供向心力时，带电粒子在垂直磁场的平面内做匀速圆周运动；当带电粒子所受的合外力是变力，且与初速度的方向不在一条直线上时，粒子做非匀变速曲线运动，运动轨迹也随之不规范地变化因此，要确定粒子的运动情况，必须明确有几种场，粒子受几种力，重力是否可以忽略3带电粒子所受三种场力的特征(1)洛伦兹力的大小跟速度方向与磁场方向的夹角有关当带电粒子的速度方向与磁场方向平行时，f洛 0；当带电粒子的速度方向与磁场方向垂直时，f 洛 q vB当洛伦兹力的方向垂直于速度 v 和磁感应强度 B 所决定的平面时，无论带电粒子做什么运动，洛伦兹力都不做功(2)电场力的大小为
8、 qE，方向与电场强度 E 的方向及带电粒子所带电荷的性质有关电场力做功与路径无关，其数值除与带电粒子的电荷量有关外，还与其始末位置的电势差有关(3)重力的大小为 mg，方向竖直向下重力做功与路径无关，其数值除与带电粒子的质量有关外，还与其始末位置的高度差有关注意：微观粒子(如电子、质子、离子 )一般都不计重力； 对带电小球、液滴、金属块等实际的物体没有特殊交代时，应当考虑其重力；对未知名的、题中又未明确交代的带电粒子，是否考虑其重力，则应根据题给的物理过程及隐含条件具体分析后作出符合实际的决定4带电粒子在复合场中的运动的分析方法(1)当带电粒子在复合场中做匀速运动时，应根据平衡条件列方程求解
9、(2)当带电粒子在复合场中做匀速圆周运动时，往往应用牛顿第二定律和平衡条件列方程联立求解(3)当带电粒子在复合场中做非匀速曲线运动时，应选用动能定理或动量守恒定律列方程求解注意：如果涉及两个带电粒子的碰撞问题，要根据动量守恒定律列方程，再与其他方程联立求解由于带电粒子在复合场中的受力情况复杂，运动情况多变，往往出现临界问题，这时应以题目中的“恰好” 、 “最大” 、 “最高” 、 “至少”等词语为突破口，挖掘隐含条件，并根据临界条件列出辅助方程，再与其他方程联立求解重点、难点分析一、根据带电粒子的运动轨迹进行分析推理【例题 1】如图 8 所示，MN 是一正点电荷产生的电场中的一条电场线一个带负
10、电的粒子(不计重力)从 a 到 b 穿越这条电场线的轨迹如图中虚线所示下列结论正确的是( )A带电粒子从 a 到 b 的过程中动能逐渐减小B正点电荷一定位于 M 点的左侧C带电粒子在 a 点时具有的电势能大于在 b 点时具有的电势能 图 8D带电粒子在 a 点的加速度大于在 b 点的加速度4二、带电粒子在电场中的加速与偏转【例题 2】喷墨打印机的结构简图如图 49 所示，其中墨盒可以发出墨汁微滴，其半径约为 1105 m，此微滴经过带电室时被带上负电，带电荷量的多少由计算机按字体笔画的高低位置输入信号加以控制带电后的微滴以一定的初速度进入偏转电场，带电微滴经过偏转电场发生偏转后打到纸上，显示出
11、字体无信号输入时，墨汁微滴不带电，径直通过偏转板而注入回流槽流回墨盒偏转板长 1.6 cm，两板间的距离为 0.50 cm，偏转板的右端距纸 3.2 cm若墨汁微滴的质量为 1.61010 kg，以 20 m/s 的初速度垂直于电场方向进入偏转电场，两偏转板间的电压是 8.0103 V，其打到纸上的点距原射入方向的距离是 2.0 mm求这个墨汁微滴通过带电室所带的电荷量的多少(不计空气阻力和重力，可以认为偏转电场只局限于平行板电容器的内部，忽略边缘电场的不均匀性)为了使纸上的字放大 10%，请你分析并提出一个可行的方法 图 9 【同步训练 1】如图 10 甲所示，在真空中，有一半径为 R 的圆
12、形区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外在磁场右侧有一对平行金属板 M 和 N，两板间距为 R，板长为 2R，板间的中心线 O1O2 与磁场的圆心 O 在同一直线上有一电荷量为 q、质量为 m 的带正电的粒子以速度 v0 从圆周上的 a 点沿垂直于半径 OO1 并指向圆心 O 的方向进入磁场，当从圆周上的 O1 点水平飞出磁场时，给 M、N 两板加上如图410 乙所示的电压，最后粒子刚好以平行于 N 板的速度从 N 板的边缘飞出( 不计粒子所受到的重力、两板正对面之间为匀强电场，边缘电场不计)图 10(1)求磁场的磁感应强度 B；(2)求交变电压的周期 T 和电压 U0 的值；(3)当 t
13、时，该粒子从 M、 N 板右侧沿板的中心线仍以速度 v0 射入 M、N 之间，求粒子从磁场中射出的T2点到 a 点的距离。5三、带电粒子在有界磁场中(只受洛伦兹力) 的运动1带电粒子在磁场中的运动大体包含五种常见情境，即：无边界磁场、单边界磁场、双边界磁场、矩形边界磁场、圆形边界磁场带电粒子在磁场中的运动问题综合性较强，解这类问题往往要用到圆周运动的知识、洛伦兹力，还要牵涉到数学中的平面几何、解析几何等知识因此，解此类试题，除了运用常规的解题思路(画草图、找“ 圆心” 、定“半径”等) 之外，更应侧重于运用数学知识进行分析2带电粒子在有界匀强磁场中运动时，其轨迹为不完整的圆周，解决这类问题的关
14、键有以下三点确定圆周的圆心若已知入射点、出射点及入射方向、出射方向，可通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两直线的交点即为圆周的圆心；若已知入射点、出射点及入射方向，可通过入射点作入射线的垂线，连接入射点和出射点，作此连线的垂直平分线，两垂线的交点即为圆周的圆心确定圆的半径一般在圆上作图，由几何关系求出圆的半径求运动时间找到运动的圆弧所对应的圆心角 ，由公式 t T 求出运动时间23解析带电粒子穿过圆形区域磁场问题常可用到以下推论：沿半径方向入射的粒子一定沿另一半径方向射出同种带电粒子以相同的速率从同一点垂直射入圆形区域的匀强磁场时，若射出方向与射入方向在同一直径上，则轨迹的弧
15、长最长，偏转角有最大值且为 2arcsin 2arcsin Rr RBqmv在圆形区域边缘的某点向各方向以相同速率射出的某种带电粒子，如果粒子的轨迹半径与区域圆的半径相同，则穿过磁场后粒子的射出方向均平行(反之，平行入射的粒子也将汇聚于边缘一点) 【例题 3】如图 11 甲所示，空间存在匀强电场和匀强磁场，电场方向为 y 轴正方向，磁场方向垂直于 xy平面(纸面) 向外，电场和磁场都可以随意加上或撤除，重新加上的电场或磁场与撤除前的一样一带正电荷的粒子从 P(0，h) 点以一定的速度平行于 x 轴正向入射这时若只有磁场，粒子将做半径为 R0 的圆周运动；若同时存在电场和磁场，粒子恰好做直线运动
16、现在只加电场，当粒子从 P 点运动到 xR 0 平面( 图中虚线所示)时，立即撤除电场同时加上磁场，粒子继续运动，其轨迹与 x 轴交于 M 点，不计重力，求：图 11 甲(1)粒子到达 xR 0 平面时的速度方向与 x 轴的夹角以及粒子到 x 轴的距离(2)M 点的横坐标 xM6【例题 4】如图 12 甲所示，质量为 m、电荷量为 e 的电子从坐标原点 O 处沿 xOy 平面射入第一象限内，射入时的速度方向不同，但大小均为 v0现在某一区域内加一方向向外且垂直于 xOy 平面的匀强磁场，磁感应强度大小为 B，若这些电子穿过磁场后都能垂直地射到与 y 轴平行的荧光屏 MN 上，求：图 12 甲(
17、1)荧光屏上光斑的长度；(2)所加磁场范围的最小面积。 【同步训练 2】如图 13 甲所示，ABCD 是边长为 a 的正方形质量为 m、电荷量为 e 的电子以大小为 v0的初速度沿纸面垂直于 BC 边射入正方形区域在正方形内适当区域中有匀强磁场电子从 BC 边上的任意点入射，都只能从 A 点射出磁场不计重力，求：图 13 甲(1)此匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小(2)此匀强磁场区域的最小面积7四、带电粒子在复合场、组合场中的运动问题【例题 5】在地面附近的真空中，存在着竖直向上的匀强电场和垂直电场方向水平向里的匀强磁场，如图14 甲所示磁场的磁感应强度 B 随时间 t 的变化情况如图 1
18、4 乙所示该区域中有一条水平直线 MN，D是 MN 上的一点在 t0 时刻，有一个质量为 m、电荷量为q 的小球(可看做质点) ，从 M 点开始沿着水平直线以速度 v0 做匀速直线运动，t 0 时刻恰好到达 N 点经观测发现，小球在 t2t 0 至 t3t 0 时间内的某一时刻，又竖直向下经过直线 MN 上的 D 点，并且以后小球多次水平向右或竖直向下经过 D 点求：图 14(1)电场强度 E 的大小(2)小球从 M 点开始运动到第二次经过 D 点所用的时间(3)小球运动的周期，并画出运动轨迹( 只画一个周期)8五、常见的、在科学技术中的应用带电粒子在电场、磁场中的运动规律在科学技术中有广泛的
19、应用，高中物理中常碰到的有：示波器(显像管 )、速度选择器、质谱仪、回旋加速器、霍耳效应传感器、电磁流量计等【例题 6】一导体材料的样品的体积为 abc，A、C、A、C为其四个侧面，如图 15 所示已知导体样品中载流子是自由电子，且单位体积中的自由电子数为 n，电阻率为 ，电子的电荷量为 e，沿 x 方向通有电流 I图 15(1)导体样品 A、A 两个侧面之间的电压是_，导体样品中自由电子定向移动的速率是_(2)将该导体样品放在匀强磁场中，磁场方向沿 z 轴正方向，则导体侧面 C 的电势_(填“高于”、 “低于”或“等于”)侧面 C的电势(3)在(2)中，达到稳定状态时，沿 x 方向的电流仍为
20、 I，若测得 C、C两侧面的电势差为 U，试计算匀强磁场的磁感应强度 B 的大小【同步训练 3】如图 16 甲所示，离子源 A 产生的初速度为零、带电荷量均为 e、质量不同的正离子被电压为 U0 的加速电场加速后匀速通过准直管，垂直射入匀强偏转电场，偏转后通过极板 HM 上的小孔 S 离开电场，经过一段匀速直线运动，垂直于边界 MN 进入磁感应强度为 B 的匀强磁场已知HOd，HS2d，MNQ90(忽略离子所受重力)(1)求偏转电场场强 E0 的大小以及 HM 与 MN 的夹角 (2)求质量为 m 的离子在磁场中做圆周运动的半径(3)若质量为 4m 的离子垂直打在 NQ 的中点 S1 处，质量
21、为 16m 的离子打在 S2 处求 S1 和 S2 之间的距离以及能打在 NQ 上的正离子的质量范围图 16 甲9专题训练一、选择题(104 分)1如图所示，真空中 O 点有一点电荷，在它产生的电场中有 a、b 两点，a 点的场强大小为 Ea，方向与 ab 连线成 60角，b 点的场强大小为 Eb，方向与 ab 连线成 30角关于 a、b 两点的场强大小 Ea、E b及电势 a、 b的关系，以下结论正确的是( )AE a ， a bEb3BE a Eb， a b3CE a3E b， a bDE a3E b， a b2一正电荷处于电场中，在只受电场力作用下从 A 点沿直线运动到 B 点，其速度随
22、时间变化的图象如图所示，t A、t B分别对应电荷在 A、B 两点的时刻，则下列说法中正确的有( )AA 处的场强一定大于 B 处的场强BA 处的电势一定低于 B 处的电势C正电荷在 A 处的电势能一定大于 B 处的电势能D由 A 至 B 的过程中，电场力一定对正电荷做负功3如图所示，带正电的粒子以一定的初速度 v0 沿中线进入水平放置的平行金属板内，恰好沿下板的边缘飞出，已知板长为 L，板间的电压为 U，带电粒子所带电荷量为 q，粒子通过平行金属板的时间为 t，不计粒子的重力，则 ( )A粒子在前 时间内，电场力对粒子做的功为t2 qU4B粒子在后 时间内，电场力对粒子做的功为t2 3qU8
23、C粒子在竖直方向的前 和后 位移内，电场力做的功之比为 12d4 d4D粒子在竖直方向的前 和后 位移内，电场力的速度之比为 11d4 d44如图所示，在一正交的电场和磁场中，一带电荷量为q、质量为 m 的金属块沿倾角为 的粗糙绝缘斜面由静止开始下滑已知电场强度为 E，方向竖直向下；磁感应强度为 B，方向垂直纸面向里；斜面的高度为 h金属块滑到斜面底端时恰好离开斜面，设此时的速度为 v，则( )A金属块从斜面顶端滑到底端的过程中，做的是加速度逐渐减小的加速运动B金属块从斜面顶端滑到底端的过程中，机械能增加了 qEhC金属块从斜面顶端滑到底端的过程中，机械能增加了 mv2mgh12D金属块离开斜
24、面后将做匀速圆周运动5如图所示，充电的两平行金属板间有场强为 E 的匀强电场和方向与电场垂直(垂直纸面向里)的匀强磁场，磁感应强度为 B，构成了速度选择器氕核、氘核、氚核以相同的动能(E k)从两极板中间垂直于电场和磁场射入速度选择器，且氘核沿直线射出不计粒子的重力，则射出时( )A动能增加的是氚核B动能增加的是氕核C偏向正极板的是氚核D偏向正极板的是氕核106如图所示，竖直放置的两个平行金属板间有匀强电场，在两板之间等高处有两个质量相同的带电小球，P 小球从紧靠左极板处由静止开始释放，Q 小球从两板正中央由静止开始释放，两小球最后都能打在右极板上的同一点则从开始释放到打到右极板的过程中( )
25、A它们的运行时间 tPt QB它们的电荷量之比 qPq Q21C它们的动能增加量之比 EkPE kQ41D它们的电势能减少量之比 EPE Q217均匀分布着等量异种电荷的半径相等的半圆形绝缘杆被正对着固定在同一平面上，如图所示AB 是两种绝缘杆所在圆圆心连线的中垂线而且与二者共面，该平面与纸面平行，有一磁场方向垂直于纸面，一带电粒子(重力不计) 以初速度 v0 一直沿直线AB 运动则( )A磁场是匀强磁场B磁场是非匀强磁场C带电粒子做匀变速直线运动D带电粒子做变加速运动8如图所示，带电粒子在没有电场和磁场的空间内以速度 v0 从坐标原点 O沿 x 轴方向做匀速直线运动若空间只存在垂直于 xOy
26、 平面的匀强磁场时，粒子通过 P 点时的动能为 Ek；当空间只存在平行于 y 轴的匀强电场时，则粒子通过 P 点时的动能为( )AE k B 2Ek C4E k D5E k9如图所示，一个带电荷量为Q 的点电荷甲固定在绝缘平面上的O 点；另一个带电荷量为q 、质量为 m 的点电荷乙，从 A 点以初速度 v0 沿它们的连线向甲滑行运动，运动到 B 点静止已知静电力常量为 k，点电荷乙与水平面的动摩擦因数为 ，A、B 间的距离为s下列说法正确的是( )AO、B 间的距离为kQqmgB点电荷乙从 A 运动到 B 的运动过程中，中间时刻的速度小于v02C点电荷乙从 A 运动到 B 的过程中，产生的内能为 mv0212D在点电荷甲产生的电场中， A、B 两点间的电势差 UABm(v02 2gs)2q10如图甲所示，在第象限内有水平向右的匀强电场，电场强度为 E，在第、象限内分别存在如图所示的匀强磁场，磁感应强度大小相等有一个带电粒子以垂直于 x 轴的初速度v0 从 x 轴上的 P 点进入匀强电场中，并且恰好与 y 轴的正方向成 45角进入磁场，又恰好垂直进入第象限的磁场已知 OP之间的距离为 d，则带电粒子在磁场中第二次经过 x 轴时，在电场和磁场中运动的总时间为( )A B (25)7d2v0 dv0C (2 ) D (2 )dv0 32 dv0 72
