1、 第二章习题解2-1.已知真空中有四个点电荷 ， ， ， ，分别位于(1,0,0)，(0,1,0)，(-qC12qC3481,0,0,)，(0,-1,0)点，求(0,0,1)点的电场强度。解：设 ,zr yrxyrx,321 zyrRzxrRzRzR ; 44332 84156)(4 0243210 xqqE2-2.已知线电荷密度为 的均匀线电荷围成如图所示的几种形状，求 P 点的电场强度。l(a) (b) (c)题 2-2 图解：(a) 由对称性 04321EE(b) 由对称性(c) 两条半无限长线电荷产生的电场为yayxalla 2)()(40021 半径为 a 的半圆环线电荷产生的电场为
2、yElb0总电场为 ba2-3.真空中无限长的半径为 a 的半边圆筒上电荷密度为 ，求轴线上的电场强度。s解:在无限长的半边圆筒上取宽度为 的窄条,此窄条可看作无限长的线电荷,电荷线密度为d,对 积分,可得真空中无限长的半径为 a 的半边圆筒在轴线上的电场强度为adslydxyarE sss )cosin(20 00 题 2-3 图 题 2-4 图2-4.真空中无限长的宽度为 a 的平板上电荷密度为 ，求空间任一点上的电场强度。s解: 在平板上 处取宽度为 的无限长窄条，可看成无限长的线电荷，电荷线密度为 ，在xdx dxsl点 处产生的电场为),(yx21),(0dxyxEds其中 ；2)(
3、yx对 积分可得无限长的宽度为 a 的平板上的电荷在点 处产生的电场为x ,)2/()2/(ln4),(0 yaxrctgarctgyxyEs 2-5.已知电荷分布为ra2;sb;r 为场点到坐标原点的距离，a，b 为常数。求电场强度。解： 由于电荷分布具有球对称性，电场分布也具有球对称性，取一半径为 r 的球面，利用高斯定理sqSdE0等式左边为 rsE24半径为 r 的球面内的电量为 arbaq;54;235因此，电场强度为arbaEr;52032-6.在圆柱坐标系中电荷分布为ra;0r 为场点到 z 轴的距离，a 为常数。求电场强度。解: 由于电荷分布具有轴对称性，电场分布也具有轴对称性
4、，取一半径为 r ,单位长度的圆柱面，利用高斯定理sqSdE0等式左边为 rs2半径为 r 的圆柱面内的电量为 arq;323因此，电场强度为arEr;3022-7. 在直角坐标系中电荷分布为(,);xyzx求电场强度。解: 由于电荷分布具有面对称性，电场分布也具有面对称性，取一对称的方形封闭面,利用高斯定理,穿过面积为 S 的电通量为 ,方形封闭面内的电量为 SEx2axSq;20因此，电场强度为 题 2-9 图axEx;00题 2-7 图 2-8. 在直角坐标系中电荷分布为(,);xyzxa0求电场强度。解: 由于电荷分布具有面对称性，电场分布也具有面对称性，取一对称的方形封闭面,利用高斯
5、定理,穿过面积为 S 的电通量为 ,方形封闭面内的电量为 SEx2axSq;2因此，电场强度为 axEx;2002axEx;20022-9.在电荷密度为 （常数）半径为 a 的带电球中挖一个半径为 b 的球形空腔，空腔中心到带电球中心的距离为 c(b+car rbaba02320355)(对于 ra204202203203 555)( arbadrarbar 2-15.半径为 a，长度为 L 的圆柱介质棒均匀极化，极化方向为轴向，极化强度为 ( 为常数）。Pz0求介质中的束缚电荷以及束缚电荷在轴线上产生的电场。解: (1)介质中的束缚电荷体密度为 P(2) 介质表面的束缚电荷面密度为 ns在圆
6、柱介质棒的侧面上束缚电荷面密度为零;在上下端面上束缚电荷面密度分别为 .0s(3) 上下端面上束缚电荷产生的电场 由例题 2.2, 圆盘形电荷产生的电场为0);1(2)(20zazEss式中 a 为圆盘半径。将坐标原点放在圆柱介质棒中心。对上式做变换, , ,可上端面上束缚电荷产生的电场为/LzPs2/);2/(12/()(0201 LzaLzzEz同理,做变换, , ,可下端面上束缚电荷产生的电场为/ 0Ps2/);2/(12/()(0202 LzaLzzE上下端面上束缚电荷产生的总电场为 2/);2/()2/(2/( 2/);2()(020 LzaLzaLzPzz zaEz2-16.半径为
7、 a 的介质球均匀极化， ，求束缚电荷分布及束缚电荷在球中心产生的电场。Pz0解: (1)介质中的束缚电荷体密度为 (2) 介质表面的束缚电荷面密度为 题 2-16 图cos 0Przns(3) 介质表面的束缚电荷在球心产生的电场在介质球表面取半径为 宽度为 的环带,可看成iaradl半径为 , ,电荷线密度为 的线电荷圆环,例 2.1 给出了线电荷圆环sinarcosz0的电场,对 积分得0020 2/323 3cos)s()si(n2 PPaPEz 2-17.无限长的线电荷位于介电常数为 的均匀介质中，线电荷密度 为常数，求介质中的电场强度。l解: 设无限长的线电荷沿 z 轴放置, 利用高
8、斯定理,容易求得介质中的电场强度为为场点到线电荷的距离.2lE2-18. 半径为 a 的均匀带电球壳，电荷面密度 为常数，外包一层厚度为 d、介电常数为 的介质，求s 介质内外的电场强度。解:由于电荷与介质分布具有球对称性，取半径为 r 的球面，利用高斯定理SqdD上式左右两边分别为 sra224由此得 sr因为 ，所 以 EDdarssr;2022-19.两同心导体球壳半径分别为 a、b，两导体之间介质的介电常数为 ，求两导体球壳之间的电容。解：设内导体带电荷为 q，由于电荷与介质分布具有球对称性，取半径为 r 的球面，采用高斯定理，两导体球壳之间的电场为24rEr两导体球壳之间的电压为)1
9、(baqdVbar两导体球壳之间的电容为 abVqC42-20. 两同心导体球壳半径分别为 a、b，两导体之间有两层介质，介电常数为 、 ，介质界面半径为12c，求两导体球壳之间的电容。解：设内导体带电荷为 q，由于电荷与介质分布具有球对称性，取半径为 r 的球面，采用高斯定理可得，24rqDr两导体球壳之间的电场为brcqaEr;421两导体球壳之间的电压为)1(adrVba两导体球壳之间的电容为 bVqC42-21. 圆柱形电容器，内外导体半径分别为 a、b，两导体之间介质的介电常数为 ，介质的击穿场强为，求此电容器的耐压。Eb解：设内导体带电荷为 q，由于电荷与介质分布具有轴对称性，取半
10、径为 r 的柱面，忽略边缘效应，采用高斯定理，两导体球壳之间的电场为rlr2内导体表面上的电场最强，设等于击穿场强 ，则 。两导体球壳之间的电场用击穿场强bEalqb2表示为bEraEb两导体球壳之间的耐压为abdVbarlnmx2-22.已知电场强度为 ，试求点(0,0,0) 与点(1,2,1)之间的电压。Eyz345解：由于 ，从而 ，即对 的线积分与路径无关，因此从点(0,0,0)到点(1,2,1) 之间对0l0E的线积分的路径可取沿如图所示的路径，点(0,0,0)与点 (1,2,1)之间的电压为E题 2-22 图 102010 6dzEydxEV2-23.已知在球坐标中电场强度为 ，试
11、求点 与点 之间的电压。Er32(,)a1(,)b2解：由于 ，从而 ，即对 的线积分与路径无关，因此从点 到点0Eld0(,)a1之间对 的线积分的路径可取从 沿径向到点 ，再从 沿球面到(,)b2 (,)1 ),(1b点 的路径，而第二条路径的切向与 垂直，线积分为零，因此lbaadrV)322-24.已知在圆柱坐标中电场强度为 ，试求点 与点 之间的电压。E(,)a10(,)b20解：由于 ，从而 ，即对 的线积分与路径无关，因此从点 到点0El0 (,)a1之间对 的线积分的路径可取从 沿径向到点 ，再从 沿柱面到点(,)b2 (,)1),(1的路径，而第二条路径的切向与 垂直，线积分
12、为零，因此lbadVln22-25 已知真空中一内外半径分别为 a、b 的介质球壳，介电常数为 ，在球心放一电量为 q 的点电荷，求电场强度。解：由题意，电场具有球对称结构。利用高斯定理 ，在半径为 r 的球面上SqdD24rqDr由 得Ebraqr;4,202-26.有三层均匀介质，介电常数分别为 ,取坐标系使分界均平行于 xy 面。已知三层介质中均为123,匀强场，且 ，求 。Exz13E23,解：因为三层介质中均为匀强场， ，设第二、三层介质中的电场强度分别为xz； yzx22 zEy33由边界条件 可得tt1， 33xx 012yy由边界条件 ， 可得nD2，即 ；12zzz 2/zE
13、313/z所以 ，E/21x13题 2-27 图 题 2-28 图2-27.半径为 a 的导体球中有两个半径均为 b 的球形腔，在其中一个空腔中心有一个电量为 q 的点电荷，如图所示，求导体球腔中及球外的电场强度。解：（1）在有点电荷的空腔中，由于对称性，电场强度为 ， 为从空腔中心指向该空腔21014RqE中场点的位置矢量。（2）在另一没有点电荷的空腔中，由于静电屏蔽，该空腔中的电场强度为零。（3）在导体球外，由于导体球为等位体，除了导体球面上外，导体球外没有电荷，因此导体球外电场具有球对称性，且导体球上的电量为 q,所以导体球外的电场强度为r 为导体球心到场点的距离。204qEr2-28.同轴圆柱形电容器内外半径分别为 a、b，导体之间一半填充介电常数为 的介质，另一半填充介电1常数为 的介质。当电压为 V 时，求电容器中的电场、电容及电荷分布。2解：设内导体上的电量为 q,在内外导体之间取半径为 r 的圆柱面，利用高斯定理SqdD在两个半柱面上，电场强度分别相等，上式变为Erlrr)(221由介质边界条件 ，可得rlqr)(21内外导体之间的电压为 ablqdrEVbaln)(221由此得 ；从而得lqn)(21abrElVqCln)(221由 ，电荷分布为nDs
