1、- 1 -数学开放题的教学初探电白一中 邵广明数学素质教育呼唤问题解决，数学开放性题顺应问题解决。因为开放题可以使主体在解题过程中形成积极探索和创造的心理势态，对数学本质产生一种新的领悟，进而生动活泼地参与“做数学”的过程。此外随着数学教学改革的不断发展与高考改革的逐步深化，数学“开放题”已日益引起广大中学教师的兴趣与命题人员的青睐。在不断开展教学改革的今天，构建学生为主体的教学模式， “开放题”提供更大可能性。一、对数学开放题的认识数学开放题是相对于传统题条件完备、结论确定的封闭题而言的，是指那些条件不完备、结论不确定的数学问题。一些学者认为：数学题由条件、结论、解法及解题根据四个要素组成，
2、按照题目中已知要素的多少，数学题可分为四种类型：标准性题（已知四个要素） 、训练性题（已知三个要素） 、探索性题（已知两个要素） 、问题性题（已知一个要素） 。依此，开放题应包含探索性题或问题性题，同时他们又把开放题划分成条件开放题、策略开放题、结论开放题和综合开放题四种类型。这样划分方便于对开放题的研究，下面举一个开放题例子：例：给学生一张卡片，上面画有一个圆（没有标出圆心） ，问题是“我们是怎样确定这个圆的圆心” 。学生的解答可能有：两次对折确定圆心。- 2 -画一弦，在弦的一端画垂直弦，边相对顶点得直径，再找其中点。作两条弦，分别作它们的垂直平分线得交点。这道题的条件是一个没标出圆心的圆
3、，结论是找圆心，找圆心的具体策略和理论依据是不明确的，这样给学生留下很大的“自由度”，导致了解题方案的多样性。二、开放题对教学的影响1、开放性题能有效地扩展学生的学习空间因为开放题中对条件开放题而言，其条件可能是多种多样的；对结论开放题而言，其结论是不确定的；对于策略开放题而言，其解题策略或依据是不唯一的；对于综合开放题而言，它只是给出一定的问题情景，其条件、解题策略和结论均需要解题者在情景中去设定和寻找，因此在解答开放题时，必须打破原有的思维模式，展开联想和想象的翅膀，从多角度、多方位寻找答案。这就为学生创造一个发挥个性潜能的学习空间，在数学圈里如水中鱼，空中鸟，表现得自由和奔放。例：我国能
4、源生产自 1985 年以来，发展速度很快，十年来，能源生产总量（折合亿吨标准煤）统计如下表：年 份 1985 1990 1995能源生产总量（亿/吨） 8.6 10.4 12.9试根据上表预测 2000 年我国能源生产总量。- 3 -为预测 2000 年产量，首先应建立它的数学模型。于是表中的数据在坐标系中标出（如图 1） ，请同学生观摩分析图中折线 y 讨论建立数学模型。学生作出了如下解答：模型一：一次函数 f（x）=kx+b；模型二：二次函数 y（x）=ax+bx+c;模型三：指数函数型在 h（x）=b ；cax模型四：幂函数型 F（x） 。将三点从标分别代入，可得b21函数解析式。由于各
5、人所建立的数学模型不同，因此预测的结果也略有差异。该题解答能充分发挥自己，通过归纳类比、模拟、联想等合情推理的手段充分展现自己风采。很好地拓宽了学生的学习空间。2、开放题能有效地开展层次性教学开放题的解答的多样性，决定了它能够满足各种层次水平的学生需求，使他们都能在自己的能力范围内解决问题，从而体现出层次性。例如：在抛物线 y=2px（p0）中，过焦点的直线交抛物线于p1（x 1,y1）,p 2（x 2,y2）两点，求证，y 1y2=p（课本平面解析几何P 108） ，若隐去结论“y 1y2=p”,可到开放题：在抛物线 y=2px（p0）中，过焦点 F 倾斜角为 的直交抛物线于 p1（x 1,
6、y1）,p 2（x 2,y2）两点，你能得到哪些结论？教学中，引导学生利用代数、解几、平几等有关的知识，从思维层次得出多种结论。- 4 -基础层次：求 x1+x2，x 1x2，y 1+y2，y 1y2及弦长|P 1P2|。在这个层次上能适应全体学生。同时鼓励学生一题多证。应用层次：研究弦 p1p2的中点轨迹；P 1OP2的重心轨迹；P1OP2面积的最值等，这层次能使思维能力较强的学生得以充分表现。深化层次：如图 2，过程 P1P2引 X 轴的垂线及准线垂线，垂足分别为 M1，M2及 Q1，Q 2，由抛物线定义，性质和平几知识，可探索（1）线段|OM 1|、|OF|、|OM 2|之间的关系， （
7、|OF|是|OM 1|与|OM 2|的等比中项） ；（2）Q 1FQ2的大小与 的关系， （Q 1FQ2恒为直角） ；（3）以 P1P2为直径的圆与准线的位置关系， （相切） ；（4）以 Q1Q2为直径的圆与直线 P1P2的位置关系， （相切） 。这一层次使高水平的学生学以致用，提高应用知识能力，使他们得到一定成功感。通过对本题的探究，使各个层次学生都能有成功的体验，满足各层次学生的不同需求，体现出充分发挥以点带面的功能，培养学生的学习主动性，增强学生的自信心；使学生能自觉地运用自己知信息开展思维活动，对已掌握知识，方法的推广放拓展，对未知领域大胆探索和创新。3、开放题有利培养学生探索问题能力
8、开放题的解答没有固定的，现成的模式可循，解题者不能用常规方法去套用，必须经过主动的思索，自己来设计题方案，因而，开放题的解决需要具有大胆的开拓精神和一定的探索能力。- 5 -如：立体几何中异面直线上两点间的距离公式教学，传统的做法一般是给出已知条件，即 a、b 是两异面直线，AB 是它他的公垂线段，AB=d，a、b 所成角为 ，M、N 分别是 a、b 上的点，且AM=m，BN=n，求 MN 的长或证明 MN= 。把它改成cos22mnd如下开放题：已知 a、b 是两异面直线，M、N 分别是 a、b 上的点，问如何确定 MN 的长？有如下探索过程。要确定 MN 的长，首先要让两异面直线的位置确定
9、下来，异面直线的位置如何确定呢？（一是异面直线所成的角，二是异面直线的距离）添加这两个条件上去，即两异面直线 a、b 所成的角 ，公垂线段 AB 的长为 d，现在 MN 的长是否可以确定下来了？（还不能确定下来）那么 MN 的长还与什么有关？（与 M，N 在 a、b 上的位置有关）能否把这句话说得精确一点，或者用数学符号语言表述它？（与 M，N 分别到垂足 A，B 的距离有关，设 AM=m，BN=n）这样 MN 的长可以定下来了吗？（没有，应分两种情况）能过以上对开放题的解答过程，学生充当了探索者。4、开放题能很好地培养学生发散性思维解答开放题时必须打破原有的思维模式，展开联想和想象的翅膀，从
10、多角度、多方位寻找答案，因而思维方向和模式是发散性的。- 6 -例如：已知正方体的一个截面至少与正方体的两对相互异面的棱相交；且交点不与正方体的顶点重合，试设想这个截面的各种可能的形状。（答：六边形，五边形，矩形，正方形，梯形，等腰梯形） 。评述：这道题的条件是只给出一个正方形，截面形状是不确定的，而找截面的策略是不明确的。由于题目组成结构的不完备性，从而导致了解题方案的多样性，这就需要打破常规的思维定势进行发散思维。此外，在解答开放题的过程中，或可能引出新的问题，或可能引伸推广出更一般的问题，这些往往是意料之外的事情。因而，开放题有利学生创新意识和创造能力的培养。三、数学开放题对培养学生主体
11、意识的作用当前，建构理论是数学教育的一个热门话题，在人们普遍倾向于接受建构哲学观，对数学学习过程的解释和指导过程中，开放题被认为是最富有教育价值的一种数学问题，而数学教育建构观中最根本的问题就是认识主体的主体地位的确认问题，因此数学开放题在发挥学生主体性方面确实是有得天独厚的优势，它是培养学生主体意识的极好材料，具体讲，数学开放题及其教学对学生主体意识的形成具有很大作用，如下谈谈几点认识：（1）开放题极富有挑战性，因而有利激发学生的好奇心，增强学习兴趣，调动学习积极性，为他们在迫切要求下进行数学学习创造了有利条件。（2）没有学生的积极参与，不可能对开放题做出充分的解答，- 7 -没有学生积极参
12、与，不可能有真正意义的开放题教学，因而，开放题教学有利于学生在学习中主体作用的发挥。（3）开放题解答的层次性，使全体学生真正参与教学活动成为可能，有利于教学民主气氛形成，它使不同学习水平的学生均有所收获，从而增强了他们学习数学的自信心。（4）开放题教学打破了传统的，封闭的教学模式，使课堂教学充满生机和活力，在这种开放式的教学环境中，学生不再是知识的被动接受者，而是知识的主动发现者、探索者和研究者，学生不再是学数学，而是“做”数学。（5）开放题使学生形成原有认知结构和新知识的认知冲突，学生必须对原有认知结构进行重组和改造，即顺应来主动建构新的认知结构。因而，开放题教学在保障学生主体地拉的同时，培
13、养了学生的探索意识和创新精神，促进了他们综合能力的发展。（6）在开放题的解答过程中，往往没有固定的，现成的模式可循，仅靠死记硬背，机械模仿不可能找到问题的解答，学生必须充分调动自己的知识储备，积极开展智力活动，从多角度，多种思维方法（如联想，猜测等）进行思考和探索，所以，开放题是培养学生探索能力和创造能力，形成正确的科学态度的有效工具。（7）开放题可使学生真正体验探求数学真谛的乐趣，认识数学的本质和规律，有利学生形成全面、深刻的数学观。同时，开放题解答需要学生独立完成，从而有利学生自我意识，独立人格的形成。四、自己的几点看法1、数学开放题由于其答案的不确定性，应让学生对各种不同意- 8 -见以
14、充分的表达机会。因而很难在限定的时间内完成，应允许学生在学习过程中表现出一定的“时间差” ，然而在我们现在教学模式下，在广泛开展开放题教学，还要有待探索和研究。2、在开放题教学中不应追求一种强制的统一，更不能过分追求某种模式或某种规范，应让每个学生有自己的“自由度” ，即允许学生在学习的过程中存在一定的“路径差” 。3、数学的开放题在强调“开放”同时不能陷入“完全开放” ，即放弃教师的引导作用，形成“怎么样都行”的局面，这将会产生负面效果。因而应在教师引导下开展开放题的教学和研究。控制好问题的开放“度” ，不能一边倒。4、创设开放题的教学课堂。如：活动课程是一种探索的新型课程，具有综合性、实践性、自主性等特点。在活动课开展开放性教学，有很大可行性，可充分发挥开放题的教育价值。5、在学生做出多种不同的解答，教师应积极引导学生对各种不同的解答进行比较和评价，做出必要的修正和推广，并指导学生对自己的收获写总结，在适当时候写成小论文。6、开放题教学要进行整体规划，做到有目的、有计划，呈现系统性和连续性，循序渐进。参考文献：1郑毓信：开放题与开放式教学。中学教学教学参与，2001.32戴再平：数学习题理论。上海教育出版社，1996- 9 -3示邑：关于“ 开放题”的几点思考。试题研究，1999.20
