1、 数学问题解决的思维策略模式的认识和实践杭州二中 尚 可摘要 ：在策略层次上的思维能力的培养和水平的提高是易被忽视或乏力的问题。本文对解题系统及目前的研究现状和学生学习中存在的问题作了分析和概述，认为思维策略是解题系统的核心，藉此提出了一个四环节数学问题解决的思维策略模式，并从实践、理论两个层面上对其内容、结构、涵义及实践要点作了分析论述。一、问题的提出策略，字面意为“计谋” ，英文的“Strategy“一词可释为策略，也可解释为战略，是指一种总体的行动方针，而非具体方法(战术) 。心理学认为，在问题解决过程中，若主体所接触的是非标准化了的问题，则就需进行创造性思维，需要一种问题解决的思维策略
2、。因而，策略的产生及其正确性被证实的过程常被认为是创造的、解决问题的过程。对问题解决的策略，心理学家曾提出一些模式，尤其是认知心理学家们通过“河内塔问题”这类极其简单而典型问题的研究提出了四种不同的策略，但远未进入解决复杂问题的思维过程的透析。我国是一个数学解题大国，产生了浩如烟海的数学的奇思妙解、技巧技法。近几年对数学思维模式的研究颇有建树，提出了等价与非等价转化、类比与归纳、移植与杂交以及升格、降格、缩格、更格、分格的五格思维模式，凡此等等，都极大地推动了数学教学的改革。但数学问题解决的思维策略，是指在数学问题解决过程中，主体所采取的总体思路，它是数学思想、观点在解决问题时思维决策的选择。
3、它和作为数学问题解决过程中操作方向、信息处理程序和方式相对稳定的数学思维模式有所相同也有所不同。而且，数学解题是一种复杂的、呈现多种思维特征而且其特征充满各个环节的思维过程。实践中学生急需要的并非是一般的数学思维模式，缺的是具体问题如何设计解题策略的能力，即何时使用何种数学思维模式的能力，所以更需要研究针对中学生实际的、普遍适用的、实用的数学问题解决的思维策略模式。本文对此作一番认识和实践上的探讨，并藉此在实践的基础上提出一个四环节数学解题的思维策略模式。二、思维策略是数学解题系统的核心解题是系统工程，可划分为四个模块，由知识、方法(狭义、具体的) 、能力(基本能力)、经验等本质因素构成解题基
4、础模块；由兴趣、爱好、态度、习惯、情绪、意志等构成解题的主观状态模块；由时空、环境、工具等约束构成解题的客观条件模块；还有一部分就是思维策略模块， “是什么促使你这样想、这样做的？” ， “是怎样想到这个解法的？”等层面的问题都属于思维策略模块。显然，思维策略模块是其核心。光有基础知识，具体方法和经验是不够的，为判断用什么方法、用什么知识必须对问题解剖、识别、加工、组织并创造条件，即必须具有定的思维策略水平。如：设 A、B（0，）且 cosA+cosB-cos(A-B)=3/2,求 A，B 的值。误解 1无法求 A、B.sincos)cos(sco1co22812 41222232 BAB B
5、A8122 812222 21sincos )sinco(in44 )1)(s1(sii BABA ABBABA误解 2.原式= 纵观上述过程可知：解题受阻的原因非知识缺乏，而在于没有正确的解题策略，导致盲目变形，见了和差就化积， “和角”化“单角” ，根本未考虑变形的目的和意义，致使解题陷入混乱招致失败。实际上本题实质是解三角方程，一个方程二个未知数，一般情况无法确定解，只有在一种极端情形(如非负数和为 0，二次方程0，基本不等式中等号成立等) 方可获解，所以要求发掘这种极端情况，可配方为： 1cos1cos1cos 04cos4022 . sin)s(s 2222 3211 BABABA
6、BABABA， 又 知， 由 或 整 理 为， 便 知 学生对上述解法涉及的基础知识(三角恒等变形) 和基本方法 (配方法、判别式法)是熟悉的，关键是不知如何为己所用，表明思维策略水平的低下，数学元认知能力尤其是元认知监控能力的缺乏。在中学数学教学中波利亚就曾指出“解题的价值不是答案本身，而是在于弄清是怎样想到这个解法的” 。虽然大家都在喊要培养思维能力，但对策略层次上的能力培养仍是忽视或乏力的。不少老师和学生往往多就各种类型就题论题地给出解答并演练，而少展现思路尤其是思路的寻找过程且津津乐道于技巧技法。课堂上的学生除了对老师的神机妙算叹服外，思维策略得不到学习和提高，依然停留在“套题型、背题
7、解，依样画葫芦”的层次，常导致今天做过的题，明大仍然做不出，这题会做了，题目背景稍加改造又筹莫展、手足无措，只有胡猜乱碰来代替有根据有目的的探索，脚踩西瓜皮滑到哪儿算哪儿，即使东碰西撞、曲里拐弯算出了答案，心中也无数，只有靠对答案来检验自己解题思路的正误。部分师生只得把各种各样的非质的、庞杂凌乩的具体解题技巧概视为规律，成为谆谆告诫的重点，也只有企图通过大量的机械重复、模仿、记忆来补偿思维策略水平的低下，能力的不足。长期以往，不仅高负担低效率，还必将造成思维的萎缩利退化，对认知结构的构建、对数学思维的发展都是极其不利的。提高学生的思维策略水平，当然可以有利于解决考试中的综合题，也更有利地构建自
8、己的认知结构。这当然是很功利、现实的目标。然而认识其实应远远不止于此。数学教育的主要目的在于为所有人的未来发展打下基础，在于培养人的数感、数学观念和数学思想方法，概括地说是为了扩展人脑十的数学空间。中学里、现实的数学的材料是有限的，所以个人已有的数学空间是很小的，然而所可能具有的数学空间是可以很大的，问题在于我们有没有使学生学会思考，对所学的数学知识有所领悟，这个领悟就是扩展数学空间的手段。数学空间不仅靠些既得知识而构成，还靠思维链建立起有血有肉的生机勃勃的知识方法体系，而且更重要的是借助于所学知识的生长点和开放面及思维过程，获得一种与数学相关的能力、进而使数学空间具有某种开放性，所以思维策略
9、水平的提高也是体现主体性培养培养现代人之必需。三、四环节数学问题解决的思维策略模式K 邓克尔曾提出一个范围渐趋缩小的汇综模式，分为般解决思维策略水平的解决；功能解决思维模式水平的解决；特殊解决运算技能水平的解决三个层次。G.波利亚曾给出著名的“解题表” ，把数学问题解决过程分为 4 个阶段，在思维层次上可概括为理解、转换、实施、反思，这都是具有普遍意义和数学一般特点的解题模式。笔者受此二种模式的启发，针对中学数学教育实际和学生的思维特征，经过一定的探索和实践，提出一种更具实用性易为中学生掌握的四环节解题思维策略模式(以下简称四环节解题法) 。(一) 四环节解题法的内容可把数学问题解决的思维策略
10、过程划分为四个环节：1明确目标、寻找条件；2发现差异、揭示本质；3构造相同、联想相似；4抉择通道、转化矛盾。完成此四个步骤，称为一个解题循环，通过多次循环，最终使问题获解。它脱胎于前面述及的汇综模式和解题表。汇综模式和解题表更注重普遍性，而四环节模式更注重于中学生的针对性、解决中学数学问题的实用性和操作性。解题表视解题为一次性过程，从总体上设计出解题的程序，而四环节法则视解题为一个反复循环的过程，在单个循环上理出解题策略。若将数学问题的解决过程视作一个攀登到螺旋式台阶的顶端的过程，那么四环节法的每一次循环，就是攀登台阶的一级阶梯。反复循环，反复攀越，最终登顶。台阶有多有少，循环也就有多有少。台
11、阶有高有低，所以单个循环也有大有小；登低台阶的循环中可能某些环节会产生一些跳跃，并非一定都要经过四环节；而登高台阶的循环中还可能会嵌入一些子循环。由此可得出模式的操作程序如下：解题准备明确目标，寻找条件Y 找到解题途径否？N发现差异，揭示本质Y找到解题途径否？N构造相同，联想相识抉择通道，转化矛盾新问题问题解决否？Y结束四环节解题法的实质是把数学解题过程看作一个信息交往的控制过程。它的每一次循环都是通过由初始状态(条件 )到目标状态(结论) 的逐步转化来实现的。环节 1：即是控制过程中信息的整理与编码，其它环节均是对信息的识别、加工与变换，通过信息的不断反馈与调控，使控制过程反复循环，即将系统
12、输出的“现实状态”与预期的控制“目标状态”出现的差异，反馈到施控系统的输入端，作为下一步施控作用的依据，使受控系统的施控结果向控制目标逼近、这一控制过程可表示如下：初始状态（条件） 中间状态（信息 目标状态识别、加工、变换） （ 结论） 反馈差异差异图中的中间状态即后三个环节，它是核心环节，所以简单地说，四步解题法的主要内容、就是关于解题信息的利用与反馈的一种固定的处理模式。现举两例，分析如下：例 1：ABC 中，A= ，a=1,求 b+c 最大值60初始状态 A= ，a=1 目标状态 b+c常数 发现差异 初始状态含 A，a,目标状态含 b,c揭示本质 建立 b,c 与 A,a 的联系。联想
13、相似 用正弦定理： 及 等 比 定 理转化矛盾 1新目标 sinB+sinC常数 发现差异 的左边为两个变量，右边为常数揭示本质 消去一变量，变为一元函数求最值寻找条件 12060=ACB转化矛盾 )60cos(in2)sin(sin BB时 取 到 等 号 ）63)co(3转化矛盾 2 用余弦定理 bcAbca222s1发现差异 中有 b+c,而中有 b2+c2 、bc构造相同 b2+c2=(b+c)2-2bc转化矛盾 上式代入得 即 c3)(12bcb31)(2发现差异 目标中有 b+c,而中有 bc揭示本质 bc 用 b+c 代换（放缩代换）联想相似 bc2转化矛盾 由得 2)(31)(
14、 cb)sin(i,32sini32isinsi CBcbCBcba ，得 时取等号）cbc(2或直接用 ，2)(b2)(cb例 2：ABC 中，tgA,tgB,tgC 成等差数列，且 f (cos2C)=cos(B+CA)求 f (x) 的解析式。初始状态 f (cos2C)=cos(B+C-A) 目标状态 f(x)的解析式差 异 中有三个变元，目标解析式中只允许有一个变元。本 质 消元 转化矛盾 ,CBA ACf 2cos)cos()2(新目标 使中左右两边所含变元一致。差 异 中左边含 C，右边含 A。本 质 消去一个参数，建立 A、C 间的等量关系 g(A，C)=0 （子目标 1）联想
15、相似 tgA+tgC=2tgB 转化矛盾 A+B+C=, 3)-2tg(ttgA12tgACtgACt为使中右边 A 用含 C 的式子代换，需寻找中的 cos2C 和中的 tgA的关系。 （子目标 2）差 异 函数名差异：余弦和正切；角度差异：倍角和单角。联想相似 Atg21cos转化矛盾 f(cos2C)= , f(cos2C)= 12Atg Ctg29已知式，求 f(x)的解析式。本 质 统一中两边的函数名。构造相同 cos2C= ，由 至此，问题转化Atg21 CtgCtgf2291)(为新目标 由求 f(x)，这是一个标准化了的问题。令 = x 代入xCt12xf54)(之所以对并不很
16、复杂的两个题，如此详尽地分段叙述，旨在说明四环节模式的内容和方法。事实上把解题思维策略模式化不会禁锢人的思维。因为按定势和模式思维它表现出一种思维的准备状态，并能随时扩大已有经验的应用范围，定势的不断熟练和完善可使思维更加深入与灵活，同时思维的发散常常表现为对定势的调节与变异，发散不是目的，发Atg21散后必将形成新的定势，使解题通向目标，而四环节这种策略模式可帮助学生在解题时从记忆库里提取所需的具体知识和具体解题方法，通过问题本身的启示，把已有的知识、方法和要解决的问题联系起来，建立良好的信息交往，使解题通向目标。(二)四环节中各环节的涵义I.明确目标、寻找条件即人们通常所说的“审题” ，而
17、这里不过是将此划分为二个具体的阶段。构成题目的主要材料是其已知条件和解题目标，审题即是弄清题目的构成，为解题者提供问题结构的基本影象，而其它的诸如问题研究的范围、解题方法的限制等一些次要成分在最初阶段是无关紧要的。当然审题是一反复过程，是逐步深入、逐步完成的，可以说四环节法的整个过程都在审题，但各环节各有侧重，在此狭义地划分为二个主要阶段，目的是突出本环节思维的基本方向。1明确目标即明确题目要求、把握问题的最后结果即目标状态，目标越明确，思维就越具体，变形或推理便越具目的性和针对性。数学解题中，目标意识并没有得到人们的足够重视。有的学生甚至连题目都没有读完就忙于解答，有的虽然也了解一下结论，但
18、不能从结论中充分获取有关信息去指导解题。总习惯于从条件出发，盲目进行各种推理或演算，这无异于瞎碰乱撞，到头来密密麻麻一大片，仍不得要领。比如椭圆的一个焦点分其长轴的比为，求离心率这一小题，学生在得出 后抓不住变形方向，而是见右边根2:3 23ca号就平方，误认为可使运算简单，而使解题中途而废。事实上，倘若一开始就抓住目标是要求出 c：a，那么胜利的火花便已点燃。又如设 abc=(a+b+c)(ab+bc+ca) 求证(a+b) (b+c) (c+a)= 0 这一条件恒等式的证明，有的学生无法从目标信息中去监控自己的思维方向，而只是怀着侥幸的心理去盲目地演算，将右边展开，运算很繁。倘若注意到解题
19、目标是要凑出 a+b、b+c、c+a 因子。那么实际上只要能分离出因式 a+b，剩下的因式的产生便会水到渠成。所以只需集中精力思考如何产生因式 a+b，从而自觉挖掘中已有的 a+b结构，在保留这一结构的基础上逐步分离出因式 a+b 来。即：abc=(a+b+c)(ab+bc+ca)=(a+b)+cab+c(a+b)=(a+b)ab+(a+b)2c+abc+c2(a+b)=(a+b)(ab+ac+bc+c2)+abc=(a+b)(b+c)(c+a)+abc明确目标不是简单重复题中的结论，重要的是要明确题中的结论是怎样一种的表现形式，呈现何种数学结构，如求 f(x)的最大值，其目标表现形式为不等式
20、 f(x)A 且等号成立，其数学结构主要是函数 f(x)的结构，需据 f(x)的不同结构选取不同的数学方法求解。对不同的目标要用不同的方式来明确。如对解析式表示的目标，只须弄清式子的结构、字母个数、函数种类、数学特征就可有清楚的认识，象证恒等式、不等式、解方程都属此类；对用数学概念表示的目标，应借助数学定义或题目规定的意义，用熟悉的形式来表示。如上文的离心率，又如证 f(x)为周期函数，即证 ；对于用普遍语言叙述)0,)(TAxfTxf的的目标，则应由实际意义，用数学语言等价翻译出来，使之易于计算推理，即先要数学化。如 a、b、c 中至少一个为 k，可表述为(a-k)(b-k)(c-k)=0；
21、如 a、b 中至少有一不为零，可表述为 a2+b20(a、b R)数学问题的目标有时也是可选择的，如已知 a+b=l，a0、b0，求证(a+la)2+(b+1b) 2252既可选择(a+1/a) 2+(b+1/b)225/2 为目标态，此时视 a+b=l，a0、b0 为初始态，从此入手，直接推出目标，或从目标入手，不断变形使之易用条件。也可选(a+la)2+(b+1b) 2为初始态，252 为目标态，则从初始态入手，不断改造条件，向常数(目标) 转化。因此目标选择不同，解题策略也不同。如何恰当选择? 需依赖于学生对问题的直觉认识及一些必要的尝试和推测，一般宜选较复杂的结构为初始态，较简单的为目
22、标态。这样，解题方向在整体上便呈现由复杂到简单的趋势。明确目标并不是一次性完成的，一方面，有些目标有多种含义，需从不同角度认识，另一方面，有些目标含义深刻，须逐步认识，逐步深入。因而当解题遭遇困难，甚至发现在“绕圈”时，要指导学生问自己“我究竟在干什么?”目标是否正确，能否更换目标?一旦发现自己的行为与目标的差距时，便会恍然大悟，找到正确的解题途径了。2寻找条件寻找条件就是根据已确立的解题目标或子目标特征，通过对实现其目标的途径作一审视后，察觉所需的条件，然后从题目的条件系统中依次找到所需的条件。学生常会对题设条件掉以轻心，一眼扫过去便急急忙忙解题，有时甚至错看、漏看题目的条件，导致失误。这不
23、仅暴露对条件的粗心大意，更重要的是反映出解题者不善于从目标去把握和利用条件。寻找条件是明确目标的必然结果、必然需求。条件和结论的联系、条件的作用有明显、直接的，有隐蔽、间接的，当一旦明确了目标，有了途径设想后，就能由要求去寻找与之有直接联系的条件。由此发挥条件的作用，这便是寻找条件的含义。如 f(x)在(0，+)上递增，f(xy)=f(x)+f(y)且 f(2)=1，求集合 P=x | f (x )+f ( x-3 ) 2。条件和目标相距甚远，很难想象在没有把握目标之前，能预测条件有什么用，能推出何样的结果。反之，若抓住目标是解f(x )+f (x-3 ) 2 便会设想脱掉式中的 f 。由此寻
24、找条件，猜想 f(x)递增可能用上。f(x)递增 由此知道中要脱掉 f 须变成 f ( x1 )f (x2 ) ，而要将)(211xffx化为的形式，又需寻找条件，因为式左有两个 f，而式左只一个 f，从而应把式左两个 f 合并，而 f(x)+f(y)=f(xy)符合这一要求；最后式右的常数亦应换成 f(a)形式，而1=f(2)可以实现这一转化：2=2f(2)=f(2)+f(2)=f(4)，于是思路终于接通。当然，也可直接从条件入手导出结论，如由 x0，yO 可导出 x+y，xy0 等等。然而这些结果是否有用，其推理有无必要等等就需据目标采判断，所以这种发散也以明确目标为前提。寻找条件可分为四
25、个层次：对题目条件系统有一个整体印象，将条件分类组合，整理分序，尽可能使之具有相同的表现形式，从而易于提取、利用以及启迪解题途径。因为信息的表现形式对识别、运用信息的速度影响巨大，信息的有序化、可使信息一目了然，利于发现各元素的关系。理解条件的实际意义，把握条件的本质特征。要透过数字、符号、语言的表象，弄清条件的信息，必要时可借助图表和模型。如 A_=x | x=t，tR、B=x| x = l-t2tR求 AB ，学生常误认为 AB 的元素为 x=t 和 x=lt2 组成的方程组的解，即把 x、t理解为取相同的值。其实若理解 A、B 两集合即为两函数的值域：便易知集合 A=x|x0B=x|x1
26、) 。 将题设条件的原始条件用我们所熟悉的数学形式来表达，或用与目标相接近的形式表达，必要时还可引入有关记号，借以形成有关对象及性质的某种表示，甚至通过适当的假设使条件在具体模型上得到体现。如有关排列组合题。又如 Z1、Z 2、Z 3 对应复平面内单位圆周上的三等分点，求(Z 1+Z2)(Z2+Z3)(Z3+Z1)Z l Z 2 Z 3 值。这里 Zl，Z 2、Z 3是变化的要达到常数的目标，Z 1、Z 2、Z 3 须满足某种和目标接近的特殊条件，由加法几何意义知 Z1 十 Z 2 十 Z3=0。于是，原式 =(Z1)(Z 2)(Z3)Z l Z 2 Z 3 =1，如此出人意料的简捷的关键在于
27、对条件表现形式的改造。要全方位审视条件，发掘其多重含义。有些条件不只是在解题的某一处运用，而是要系统运用。甚至在各次运用中还会分别利用其不同的含义。此外，如给出一个确定的函数。它可能是奇或偶函数、周期或单调函数。又如条件 x2+y2=1 就隐含着|x| 1、|y|1 等等隐含条件都需要解题者自己去发掘。明确目标，寻找条件仅是开始，它只是确立了问题系统，寻找途径的大量工作仍需要后面环节进行，而且寻找条件需要随时进行，常与其它环节交错进行。、发现差异，揭示本质环节 1 使我们掌握了一定的解题信息量，但还必须对信息进行识别、筛选、酝酿探索，使解题思维沿着正确的航道前进。发现差异、揭示本质，实质上就是
28、处理信息的一种手段，透过对题中差异的发现，本质特点的认识，进一步认识问题系统，使之从感性认识上升到理性认识，从而在较高的层次上把握题目的条件与目标，对解题方向作出直觉判断与认定，这一过程如下：条件、结论、知识间的差异 本质认识 解题方向的认定子目标 1发现差异。任何数学问题都存在不同形式的差异，没有差异就无须解题，解题过程实质上就是不 断消除差异、逐步达到条件与结论和谐统一的转化过程。实践告诉我们，学生解题失败的一个重要原因，就是碰到一个问题时不知从何处着手，实质是找不到题中应消除的差异，使思维无法展开。反之若发现了题中隐含的主要差异，思维就有了起点，解题就可找到突破口。例：求证 1+2sin
29、cos / (cos2-sin 2)=1+tg/(1-tg) 若将右边视为问题的目标状 态，左端视为初始状态，则二状态中所含的角相同，运算结构整体均呈现分式结构，其差异是函数名不同，所以只需将左边分子分母同除以 cos2 及利用 Sec2=1+tg 2 即可转化。当然通常将 1 换作 sin2+cos 2，这是因为学生熟悉 1+2sincos 是一种固定的平方结构 (sin+cos) 2，更易于发现分子分母中的公因式，最终实现函数的转化到达目标状态。这一特殊技巧的应用的目的仍是为了消除差异。又如设 asin2+bcos 2=c acsc 2+bsec 2=d 求证 。若将要证的等式为目标状态，
30、则初0dcbabd始和目标两种状态的结构均较复杂，学生常被“大容量” 、 “多参数”形式所迷惑。其实若立足于寻找差异：目标状态中不含 ，从而消去 解题途径就清晰可辨。若把数学问题系统的各个部分，如初始状态、目标状态、题设条件、相关知识、基本方法等称为问题系统的子系统，那么子系统中各元素间的差异可称为内部差异，如条件间的差异，结论中各元素间的差异；子系统之间的差异可称之为外部差异，如条件和结论间的差异、问题与相关知识的差异、当前问题与常见问题之间的差异等等。消除内部差异可减少研究对象或研究对象的不同表现形式，协调各元素间的相互关系，从而简化问题，促进问题转化；消除外部差异则是运用知识的前提， 是
31、实现转化的必要条件。如求证4sin3A+54cosA+5sinA， 目标状态内部有角和函数名的差异，可用三角公式消除：4(3sinA-4sin3A)+54(1-2sin 2A)+5sinA 16sin3A-8sin2A-7sinA-10。至此，消除内部差异转化为单一的关于SinA 的不等式，因式分解即可证。又如已知 a+b-c=0，求证 ax+by+c=0 恒过一定点。目标状态为 ax0+by0+c=0 和初始状态 a+b-c=0 结构极相似，其差异是中 c 为正号，中的 c 带负号，为此 ax0by 0c=0 a（x 0）b（y 0）c=0 x 0=，y 0=1 这里通过初始和目标态间的外部
32、差异的发现，然后变形消除差异，使两种状态一致而获解。差异的发现，来源于对问题系统的全面深入的观察，把获取的信息与原有的(在学习过程中积累的)信息相比较，形成对差异的认识。当然，数学的观察是以特定分式，对数学对象(图、式等) 的认识与辨析，而且是以发现差异为目的。如已知 tgA、tgB 是 x2+6x+7=0 的两个根，求证 sin(A+B)=cos(A+B)。从整体上观察表现形式，发现结论是一等式，而条件是方程的根，为消除差异，条件改成等式形式：tgA+tgB=6、tgAtgB=7 ，再观察，主要是角A、B和 A+B 的差异，可联想 tg(A+B) ，由此得 tg(A+B)=1。最后观察知，可用同角tgAB1关系获证，所以这里是不断观察，不断发现差异，消除差异，最终获解。为使观察深入，解题中可自我设计一些启发性问号。如“某个特殊未知(分子、分母、指数等)有差异否?” ， “问题的表现形式与过去熟知结构的差异如何 ?”， “各子系统所含字母，
