1、第一章 命题逻辑基本概念课后练习题答案1.将下列命题符号化，并指出真值：（1）pq,其中，p:2 是素数，q:5 是素数,真值为 1；（2）pq,其中，p: 是无理数， q:自然对数的底 e 是无理数,真值为 1；（3）pq,其中，p:2 是最小的素数，q:2 是最小的自然数,真值为 1；（4）pq,其中，p:3 是素数，q:3 是偶数,真值为 0；（5）pq,其中，p:4 是素数，q:4 是偶数,真值为 0.2.将下列命题符号化，并指出真值：（1）pq,其中，p:2 是偶数，q:3 是偶数,真值为 1；（2）pq,其中，p:2 是偶数，q:4 是偶数,真值为 1；（3）pq,其中，p:3 是
2、偶数，q:4 是偶数,真值为 0；（4）pq,其中，p:3 是偶数，q:4 是偶数,真值为 1；（5）pq,其中，p:3 是偶数，q:4 是偶数,真值为 0；3.（1）(pq)(pq),其中，小丽从筐里拿一个苹果，q：小丽从筐里拿一个梨；（2）(pq)(pq),其中，p：刘晓月选学英语，q：刘晓月选学日语；.4.因为 p 与 q 不能同时为真.5.设 p:今天是星期一，q:明天是星期二，r:明天是星期三：（1）pq，真值为 1（不会出现前件为真，后件为假的情况）；（2）qp，真值为 1（也不会出现前件为真，后件为假的情况）；（3）p q，真值为 1；（4）pr，若 p 为真，则 pr 真值为
3、0，否则，pr 真值为 1.4. .将下列命题符号化，并指出真值：（1）pq,其中，p:2 是素数，q:5 是素数,真值为 1；（2）pq,其中，p: 是无理数， q:自然对数的底 e 是无理数,真值为 1；（3）pq,其中，p:2 是最小的素数，q:2 是最小的自然数,真值为 1；（4）pq,其中，p:3 是素数，q:3 是偶数,真值为 0；（5）pq,其中，p:4 是素数，q:4 是偶数,真值为 0.5.将下列命题符号化，并指出真值：（1）pq,其中，p:2 是偶数，q:3 是偶数,真值为 1；（2）pq,其中，p:2 是偶数，q:4 是偶数,真值为 1；（3）pq,其中，p:3 是偶数，
4、q:4 是偶数,真值为 0；（4）pq,其中，p:3 是偶数，q:4 是偶数,真值为 1；（5）pq,其中，p:3 是偶数，q:4 是偶数,真值为 0；6.（1）(pq)(pq),其中，小丽从筐里拿一个苹果，q：小丽从筐里拿一个梨；（2）(pq)(pq),其中，p：刘晓月选学英语，q：刘晓月选学日语；.7.因为 p 与 q 不能同时为真.13.设 p:今天是星期一，q:明天是星期二，r:明天是星期三：（1）pq，真值为 1（不会出现前件为真，后件为假的情况）；（2）qp，真值为 1（也不会出现前件为真，后件为假的情况）；（3）p q，真值为 1；（4）pr，若 p 为真，则 pr 真值为 0，
5、否则，pr 真值为 1.16 设 p、q 的真值为 0；r、s 的真值为 1，求下列各命题公式的真值。（1）p(qr) 0(01) 0 （2） （pr）(qs) （01）(11) 01 0.（3） （ p qr）(pqr) （111） (000) 0(4)（ rs）(p q) （01）(10) 00 117判断下面一段论述是否为真：“ 是无理数。并且，如果 3 是无理数，则 也是无理数。另外 6 能被 2 整除，6 才能被 4 整除。 ”2答：p: 是无理数 1q: 3 是无理数 0r: 是无理数 1 s: 6 能被 2 整除 1t: 6 能被 4 整除 0命题符号化为： p(qr) (ts)
6、的真值为 1，所以这一段的论述为真。19用真值表判断下列公式的类型：（4）(p q) ( q p)（5）(p r) ( p q)（6）(p q) (qr) (pr)答： （4）p q pq q p q p (pq)( q p)0 0 1 1 1 1 10 1 1 0 1 1 11 0 0 1 0 0 11 1 1 0 0 1 1所以公式类型为永真式 /最后一列全为 1（5）公式类型为可满足式（方法如上例）/ 最后一列至少有一个 1（6）公式类型为永真式（方法如上例）/返回第二章 命题逻辑等值演算本章自测答案5.(1)： ,成真赋值为 00、10、11；(2)：0，矛盾式，无成真赋值；(3)：
7、,重言式，000、001、010、011、100、101、110、111 全部为成真赋值；7.(1)： ；(2)： ；8.(1)：1 ,重言式；(2)： ；(3)： 0，矛盾式. 11.(1)： ；(2)： 1；(3)：0 . 12.A .3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.(1) (pqq)(2)(p(p q)(pr)(3)(pq) (pr)答：(2) （p (pq)）(pr) ( p(pq) ( pr) ppq r 1所以公式类型为永真式(3) P q r pq pr （pq）(pr)0 0 0 0 0 10 0 1 0 0 10 1 0
8、1 0 00 1 1 1 0 01 0 0 1 0 01 0 1 1 1 11 1 0 1 0 01 1 1 1 1 1所以公式类型为可满足式4.用等值演算法证明下面等值式：(2)(pq)(pr) (p(qr)(4)(p q)( pq) (pq) (pq)证明（2）(pq)(pr)( pq)( pr)p(qr)p(qr)（4）(p q)( pq) (p( pq) ( q( pq)(p p)(pq)( q p) ( qq)1(pq) (pq)1(pq) (pq)5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值(1)( pq)( qp)(2) (pq)qr(3)(p(qr)(pqr)解：（1）
9、主析取范式( pq)( q p) (p q) ( q p) ( p q) ( q p) ( p q) ( q p) ( q p) (p q) (p q)( p q) (p q) (p q)320m(0,2,3) 主合取范式：( pq)( q p) (p q) ( q p) ( p q) ( q p)( p ( q p) ( q ( q p)1 (p q)(p q) M1(1)(2) 主合取范式为：(pq) q r ( p q) q r(p q) q r 0所以该式为矛盾式.主合取范式为(0,1,2,3,4,5,6,7)矛盾式的主析取范式为 0(3)主合取范式为：(p (q r)(p q r)(
10、p (q r)(p q r)( p ( q r) (p q r)( p (p q r) ( q r) (p q r)1 11所以该式为永真式.永真式的主合取范式为 1主析取范式为(0,1,2,3,4,5,6,7)7.(1)： ；(2)： ；8.(1)：1 ,重言式；(2)： ；(3)： 0，矛盾式. 11.(1)： ；(2)： 1；(3)：0 . 12.A .第三章 命题逻辑的推理理论本章自测答案6.在解本题时，应首先将简单陈述语句符号化，然后写出推理的形式结构*，其次就是判断*是否为重言式，若*是重言式，推理就正确，否则推理就不正确，这里不考虑简单语句之间的内在联系(1)、(3)、(6)推理
11、正确，其余的均不正确，下面以(1)、(2)为例，证明(1)推理正确，(2)推理不正确(1)设 p:今天是星期一，q:明天是星期三，推理的形式结构为(pq)pq(记作*1)在本推理中，从 p 与 q 的内在联系可以知道，p 与 q 的内在联系可以知道，p 与 q 不可能同时为真，但在证明时，不考虑这一点，而只考虑*1是否为重言式.可以用多种方法（如真值法、等值演算法、主析取式）证明*1 为重言式，特别是，不难看出，当取 A 为 p,B 为 q 时，*1 为假言推理定律，即(pq)pq q(2)设 p:今天是星期一，q:明天是星期三，推理的形式结构为(pq)pq(记作*2) 可以用多种方法证明*2
12、 不是重言式，比如，等值演算法、主析取范式（主和取范式法也可以）等(pq)qp(pq) q pq ppq 从而可知，*2 不是重言式，故推理不正确，注意，虽然这里的 p 与 q 同时为真或同时为假，但不考虑内在联系时，*2 不是重言式，就认为推理不正确.9.设 p:a 是奇数，q:a 能被 2 整除，r:a：是偶数推理的形式结构为 (pq)(rq)(rp) (记为*)可以用多种方法证明*为重言式，下面用等值演算法证明：(pq)(rq)(rp)(pq) (qr)(qr) (使用了交换律)(pq)(pr)qr(pq)(qr)p(qq)r110.设 p:a,b 两数之积为负数，q:a,b 两数种恰有
13、一个负数，r：a，b 都是负数.推理的形式结构为(pq)p(qr)(pq) p(qr)p(qr) (使用了吸收律)p(qr) 由于主析取范式中只含有 5 个 W 极小项，故推理不正确.11.略14.证明的命题序列可不惟一，下面对每一小题各给出一个证明 p(qr) 前提引入 P 前提引入 qr 假言推理 q 前提引入 r 假言推理 rs 前提引入（2）证明： (pr) 前提引入 qr 置换 r 前提引入 q 析取三段论 pq 前提引入 p 拒取式（3）证明： pq 前提引入 qq 置换 (pq)(pp) 置换 p(qp 置换 p(pq) 置换15.(1)证明： S 结论否定引入 SP 前提引入
14、P 假言推理 P(qr) 前提引入 qr 假言推论 q 前提引入 r 假言推理（2）证明： p 附加前提引入 pq 附加 (pq)(rs) 前提引入 rs 假言推理 s 化简 st 附加 (st)u 前提引入 u 拒取式16.(1)证明： p 结论否定引入 p q 前提引入 q 假言推理 rq 前提引入 r 析取三段论 rs 前提引入 r 化简 rr 合取（2）证明： (rs) 结论否定引入 rs 置换 r 化简 s 化简 pr 前提引入 p 拒取式 qs 前提引入 q 拒取式 pq 合取 (pq) 置换口 pq 前提引入口 (pq) (pq) 口合取17设 p：A 到过受害者房间，q: A
15、在 11 点以前离开，r：A 犯谋杀罪，s：看门人看见过 A。前提：(pq) r , p ,q s , s结论：r证明： qs 前提引入 s 前提引入 q 拒取式 p 前提引入 pq 合取（pq）r 前提引入 r 假言推理18（1）设 p：今天是星期六，q：我们要到颐和园玩，s：颐和园游人太多。前提：p(pr) , sq , p , s结论：r证明： sq 前提引入 s 前提引入 q 假言推理 p 前提引入 p(qr) 前提引入 qr 假言推理r 析取三段论（2）设 p:小王是理科学生，q：小王数学成绩好，r：小王是文科学生。前提：pq ,rp ,q结论：r证明： pq 前提引入 q 前提引入
16、 p 拒取式 rp 前提引入 r 拒取式6.在解本题时，应首先将简单陈述语句符号化，然后写出推理的形式结构*，其次就是判断*是否为重言式，若*是重言式，推理就正确，否则推理就不正确，这里不考虑简单语句之间的内在联系(1)、(3)、(6)推理正确，其余的均不正确，下面以(1)、(2)为例，证明(1)推理正确，(2)推理不正确(1)设 p:今天是星期一，q:明天是星期三，推理的形式结构为(pq)pq(记作*1)在本推理中，从 p 与 q 的内在联系可以知道，p 与 q 的内在联系可以知道，p 与 q 不可能同时为真，但在证明时，不考虑这一点，而只考虑*1是否为重言式.可以用多种方法（如真值法、等值
17、演算法、主析取式）证明*1 为重言式，特别是，不难看出，当取 A 为 p,B 为 q 时，*1 为假言推理定律，即(pq)pq q(2)设 p:今天是星期一，q:明天是星期三，推理的形式结构为(pq)pq(记作*2) 可以用多种方法证明*2 不是重言式，比如，等值演算法、主析取范式（主和取范式法也可以）等(pq)qp(pq) q pq ppq 从而可知，*2 不是重言式，故推理不正确，注意，虽然这里的 p 与 q 同时为真或同时为假，但不考虑内在联系时，*2 不是重言式，就认为推理不正确.9.设 p:a 是奇数，q:a 能被 2 整除，r:a：是偶数推理的形式结构为 (pq)(rq)(rp)
18、(记为*)可以用多种方法证明*为重言式，下面用等值演算法证明：(pq)(rq)(rp)(pq) (qr)(qr) (使用了交换律)(pq)(pr)qr(pq)(qr)p(qq)r110.设 p:a,b 两数之积为负数，q:a,b 两数种恰有一个负数，r：a，b 都是负数.推理的形式结构为(pq)p(qr)(pq) p(qr)p(qr) (使用了吸收律)p(qr) 由于主析取范式中只含有 5 个 W 极小项，故推理不正确.11.略14.证明的命题序列可不惟一，下面对每一小题各给出一个证明 p(qr) 前提引入 P 前提引入 qr 假言推理 q 前提引入 r 假言推理 rs 前提引入（2）证明：
19、(pr) 前提引入 qr 置换 r 前提引入 q 析取三段论 pq 前提引入 p 拒取式（3）证明： pq 前提引入 qq 置换 (pq)(pp) 置换 p(qp 置换 p(pq) 置换15.(1)证明： S 结论否定引入 SP 前提引入 P 假言推理 P(qr) 前提引入 qr 假言推论 q 前提引入 r 假言推理（2）证明： p 附加前提引入 pq 附加 (pq)(rs) 前提引入 rs 假言推理 s 化简 st 附加 (st)u 前提引入 u 拒取式16.(1)证明： p 结论否定引入 p q 前提引入 q 假言推理 rq 前提引入 r 析取三段论 rs 前提引入 r 化简 rr 合取（
20、2）证明： (rs) 结论否定引入 rs 置换 r 化简 s 化简 pr 前提引入 p 拒取式 qs 前提引入 q 拒取式 pq 合取 (pq) 置换口 pq 前提引入口 (pq) (pq) 口合取16 在自然推理系统 P 中用归谬法证明下面各推理：(1)前提：p q, r q,r s结论： p证明：p 结论的否定引入p q 前提引入q 假言推理r q 前提引入r 化简律r s 前提引入r 化简律r r 合取由于最后一步 r r 是矛盾式,所以推理正确.17设 p：A 到过受害者房间，q: A 在 11 点以前离开，r：A 犯谋杀罪，s：看门人看见过 A。前提：(pq) r , p ,q s
21、, s结论：r证明： qs 前提引入 s 前提引入 q 拒取式 p 前提引入 pq 合取（pq）r 前提引入 r 假言推理18（1）设 p：今天是星期六，q：我们要到颐和园玩，s：颐和园游人太多。前提：p(pr) , sq , p , s结论：r证明： sq 前提引入 s 前提引入 q 假言推理 p 前提引入 p(qr) 前提引入 qr 假言推理r 析取三段论（2）设 p:小王是理科学生，q：小王数学成绩好，r：小王是文科学生。前提：pq ,rp ,q结论：r证明： pq 前提引入 q 前提引入 p 拒取式 rp 前提引入 r 拒取式返回第四章 (一阶)谓词逻辑基本概念本章自测答案本章自测答案
22、 3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值:(1) 对于任意 x,均有 2=(x+ )(x ).(2) 存在 x,使得 x+5=9.其中(a)个体域为自然数集合.(b)个体域为实数集合.解：F(x): 2=(x+ )(x ).G(x): x+5=9.(1)在两个个体域中都解释为 ，在（a）中为假命题，在(b)中为真命题。)(xF(2)在两个个体域中都解释为 ，在（a）(b)中均为真命题。G4.(1) x(F(x) G(x) x( F (x) G (x) ),其中,F(x)：x 是有理数,G(x) ：x 能表示成分数；(2) x( F (x)
23、 G (x) ) x(F(x) G(x),其中,F (x)：x 在北京卖菜,G (x) ：x 是外地人；(3) x( F (x) G (x) ),其中,F (x)：x 是乌鸦,G (x) ：x 是黑色的；(4) xF(x) G(x),其中,F (x)：x 是人,G (x) ：x 天天锻炼身体。因为本题中没有指明个体域,因而使用全总个体域。5.(1) x y (F(x) G( y ) H(x,y),其中,F(x)：x 是火车,G(y) ：y 是轮船,H(x,y)：x 比 y 快；(2) x y (F(x) G( y ) H(x,y),其中,F(x)：x 是火车,G(y) ：y 是汽车,H(x,y
24、)：x 比 y 快；(3) x(F(x) y(G (y) H (x,y) x(F(x) y(G(y) H(x,y),其中,F(x)：x 是汽车,G (y) ：y 是火车,H(x,y)：x 比 y 快；(4) x(F(x) y(G(y) H(x,y) x y(F(x)G(y)H(x,y),其中,F(x)：x 是汽车,G(y) ：y 是火车,H(x,y)：x 比 y 慢。6.各命题符号化形式如下：(1) x y (x y = 0)；(2) x y (x y = 0)；(3) x y (y =x+1)(4) x y(x y = yx)(5) x y(x y =x+ y)(6) x y (x + y
25、0 )9.(1)对任意数的实数 x 和 y,若 x y,则 x y；(2)对任意数的实数 x 和 y,若 xy = 0,则 xy；(3)对任意数的实数 x 和 y,若 xy,则 xy0；(4)对任意数的实数 x 和 y,若 xy 0,则 x=y.其中,(1)(3)真值为 1(2)与(4)真值为 0.11.(1)、(4)为永真式,(2)、(6)为永假式,(3)、(5)为可满足式。这里仅对(3)、(4)、(5)给出证明。(3)取解释 I 为：个体域为自然数集合 N,F(x,y)：x y,在 下, x y F(x,y)为真,而 x y F(x,y)也为真(只需取 x =0 即可),于是(3)中公式为
26、真,取解释 为：个体域仍为自然数集合 N,而 F(x,y)：x = y。此时, x yF(x,y)为真(取 y 为 x 即可),可是 x yF(x,y)为假,于是(3)中公式在 下为假,这说明(3)中公式为可满足式。(4)设 I 为任意一个解释,若在 I 下,蕴涵式前件 xy F(x,y)为假,则x yF(x,y) y xF(x,y)为真,若前件 x yF(x,y)为真,必存在 I 的个体域 D1 中的个体常项 x0,使 yF(x0,y)为真,并且对于任意y ,F(x0,y)为真,由于有 x0 ,F(x0,y)为真,所以 xF(x,y)为真,又其中 y 是任意个体变项,所以 y xF(x,y
27、)为真,由于 I 的任意性,所以(4)中公式为永真式(其实,次永真式可用第五章的构造证明法证明之)。(5)取解释 为：个体域为自然数集合,F(x,y)：x = y 在 下,(5)中公式为真,而将 F(x,y)改为 F(x,y)：x y,(5)中公式就为假了,所以它为可满足式。10. 给定解释 I 如下：（a） 个体域 D=N(N 为自然数集合).（b） D 中特定元素 =2.（c） D 上函数 =x+y, (x,y)=xy.（d） D 上谓词 (x,y):x=y.说明下列各式在 I 下的含义，并讨论其真值.(1) xF(g(x,a),x)(2) x y(F(f(x,a),y)F(f(y,a),
28、x)答:(1) 对于任意自然数 x, 都有 2x=x, 真值 0.(2) 对于任意两个自然数 x,y,使得如果 x+2=y, 那么 y+2=x. 真值 0.11. 判断下列各式的类型:(1) (3) yF(x,y).解:(1)因为 为永真式；1)()( pqpq所以 为永真式；(3)取解释 I 个体域为全体实数F(x,y)：x+y=5所以,前件为任意实数 x 存在实数 y 使 x+y=5，前件真；后件为存在实数 x 对任意实数 y 都有 x+y=5，后件假，此时为假命题再取解释 I 个体域为自然数 N，F(x,y)：:x+y=5所以,前件为任意自然数 x 存在自然数 y 使 x+y=5，前件假
29、。此时为假命题。此公式为非永真式的可满足式。13（1）取解释 为：个体域为自然数集合 N，F（x）：x 为奇数，G（x ）：x 为偶数，在 下， x（F（x）G（x）为真命题。取解释 为：个体域为整数集合 Z，F（x）：x 为正整数，G（x）：x 为为负整数，在 下， x（F（x）G（x）为假命题。（2）与（3）可类似解答。14提示：对每个公式分别找个成真的解释，一个成假的解释。第五章 谓词逻辑等值演算与推理本章自测答案2.(1) (F(a) F(b) F (c) (G (a )G (b)G (c)(2) (F(a) F(b) F (c) (G (a)G (b)G (c)(3) (F(a) F(b) F (c) (G (a)G (b)G (c)
