1、【1.1】将锂在火焰上燃烧，放出红光，波长 =670.8nm，这是 Li原子由电子组态 (1s)2(2p)1(1s) 2(2s)1跃迁时产生的，试计算该红光的频率、波数以及以 kJmol-1为单位的能量。解：8114.90ms.690s67.c1.c.c34142-1 -0Js 6.ol78.kJmolAEhNs【1.3】金属钾的临阈频率为 5.46410-14s-1，如用它作为光电极的阴极当用波长为 300nm的紫外光照射该电池时，发射光电子的最大速度是多少？解：201hvmv2 181234 493.026.105.60.sJs smkg ?1344215126.0.5909.8.Jssk
2、m ?【1.4】计算下列粒子的德布罗意波的波长：（a） 质量为 10-10kg，运动速度为 0.01ms-1的尘埃；（b） 动能为 0.1eV的中子；（c） 动能为 300eV的自由电子。解：根据关系式：(1)3421016.2Js6.0mkg.mhmv3412719-1 (2)6.10Js.5kgeV.2JeV 9403mhpT343119()6.20Js 29.0kg.C078hpe【1.5】用透射电子显微镜摄取某化合物的选区电子衍射图，加速电压为 20kV，计算电子加速后运动时的波长。解：根据 de Broglie关系式： 343119526.09.02074hhpmeVJskgCV?【
3、1.8】电视机显象管中运动的电子，假定加速电压为 1000 ，电子运动速度的不确定度为 的 10%，判断电子的波性对荧光屏上成像有无影响？解：在给定加速电压下，由不确定度关系所决定的电子坐标的不确定度为： 34119302/0%6.29.3.8hhxmeVJskgCV?这坐标不确定度对于电视机（即使目前世界上最小尺寸最小的袖珍电视机）荧光屏的大小来说，完全可以忽略。人的眼睛分辨不出电子运动中的波性。因此，电子的波性对电视机荧光屏上成像无影响。【1.9】用不确定度关系说明光学光栅（周期约 610m）观察不到电子衍射（用10V电压加速电子） 。解：解法一：根据不确定度关系，电子位置的不确定度为：9
4、911.260/.260xhmpVm?这不确定度约为光学光栅周期的 105 倍，即在此加速电压条件下电子波的波长约为光学光栅周期的 105 倍，用光学光栅观察不到电子衍射。解法二：若电子位置的不确定度为 106 m，则由不确定关系决定的动量不确定度为： 346281.0.xhJsp?在 104V的加速电压下，电子的动量为： 3119429.0.602054xeVkgCVJsm?由 p x和 px估算出现第一衍射极小值的偏离角为： 28135arcinri6.0si4arcn10xopJs?这说明电子通过光栅狭缝后沿直线前进，落到同一个点上。因此，用光学光栅观察不到电子衍射【1.11】2axe是
5、算符224dax的本征函数，求其本征值。解：应用量子力学基本假设（算符）和（本征函数，本征值和本征方程）得： 22224axdexdx22axaee2222222334xaxaxa axdeee6因此，本征值为 6。【1.12】下列函数中，哪几个是算符2dx的本征函数？若是，求出本征值。3,sinco,sincoxex 解：2xd， 是2d的本征函数，本征值为 1。2sin1i,xsn是 2的本征函数，本征值为 1。2d(co)x【1.15】已知在一维势箱中粒子的归一化波函数为2sinnxl1,23n式中 l是势箱的长度， x是粒子的坐标 0，求粒子的能量，以及坐标、动量的平均值。解：（1）将
6、能量算符直接作用于波函数，所得常数即为粒子的能量： 2 2nhdnhdnxH(x)-(si)-(cos)8mxl8mxll2ill22sn()88nhhxl 即：2nEml（2）由于 x()(),xnc无本征值，只能求粒子坐标的平均值： xlnsixlnsil*lnl* d22d000 lcolxlsixl 120020001 2sinsindll l x 2（3）由于 p,pxnnxc无本征值。按下式计算 px的平均值:1*0dx22sisidihnlxl20sincosd0lhxl1】函数 /i(/)32/sin(/)aax是否是一维势箱中粒子的一种可能状态？若是，其能量有无确定值？若有，
7、其值为多少？若无，求其平均值。 解：该函数是长度为 的一维势箱中粒子的一种可能状态。因为函数12/sin(/)xx和 2/si(/)x都是一维势箱中粒子的可能状态（本征态） ，根据量子力学基本假设（态叠加原理） ，它们的线性组合也是该体系的一种可能状态。因为 123Hxx2Hx21488hhmaa常数所以， x不是的本征函数，即其能量无确定值，可按下述步骤计算其平均值。将 归一化：设 x=c，即：22 2000aaaddcxd220sin3sinacxa132x所代表的状态的能量平均值为：0aExHdx 2022sin3sin8a mxhdccaxiix22 23300 0159sinsins
8、inaa achchxchxdddm a225也可先将 1x和 归一化，求出相应的能量，再利用式2iEc求出所代表的状态的能量平均值：222404988hhcEccmama213h25ma【2.3】对于氢原子：(a)分别计算从第一激发态和第六激发态跃迁到基态所产生的光谱线的波长，说明这些谱线所属的线系及所处的光谱范围。(b)上述两谱线产生的光子能否使：（i）处于基态的另一氢原子电离？（ii）金属铜中的铜原子电离（铜的功函数为 197.40J）？(c)若上述两谱线所产生的光子能使金属铜晶体的电子电离，请计算出从金属铜晶体表面发射出的光电子的德补罗意波的波长。解：(a)氢原子的稳态能量由下式给出：
9、1822.0nEJn式中 n是主量子数。 第一激发态(n2)和基态(n1)之间的能量差为： 18181812122(.0)(.0).640JJJ原子从第一激发态跃迁到基态所发射出的谱线的波长为： 81341 8.976.4chmssnmE 第六激发态(n7)和基态(n1)之间的能量差为： 18181867122(2.0)(.0).407JJJ所以原子从第六激发态跃迁到基态所发射出的谱线的波长为： 81346 8.96.9.4chmssnmE 这两条谱线皆属 Lyman系，处于紫外光区。（b）使处于基态的氢原子电离所得要的最小能量为：E =E -E1=-E1=2.1810-18J而 E 1=1.
10、6410-18J Cu=7.4410-19JE 6 Cu=7.4410-19J所以，两条谱线产生的光子均能使铜晶体电离。（c）根据德布罗意关系式和爱因斯坦光子学说，铜晶体发射出的光电子的波长为：2hhpmvE式中 E 为照射到晶体上的光子的能量和 Cu之差。应用上式，分别计算出两条原子光谱线照射到铜晶体上后铜晶体所发射出的光电子的波长：341 13118926.05(29.05)(7.0)JspmkgJ 346 1311892.24(.)(0.)J 【2.6】计算氢原子的 1s电子出现在 rpm的球形界面内的概率。 1naxnaxnaxededc 解：根据波函数、概率密度和电子的概率分布等概念
11、的物理意义，氢原子的 1s电子出现在 r=100pm的球形界面内的概率为： 1021pmsPd0 02 210 102 23 3 0insinr rp pma aededd 00 12210 200444prrpmaa0 1220pmrare.78那么，氢原子的 1s电子出现在 r=100pm的球形界面之外的概率为 1-0.728=0.272。【2.8】已知氢原子的归一化基态波函数为 1/23100exp/sara(a)利用量子力学基本假设求该基态的能量和角动量；(b)利用维里定理求该基态的平均势能和零点能。解：（a）根据量子力学关于“本征函数、本征值和本征方程”的假设，当用Hamilton算
12、符作用于 1s时，若所得结果等于一常数乘以此 1s,则该常数即氢原子的基态能量 E1s。氢原子的 Hamiltton算符为：22084heHmr由于 1s的角度部分是常数，因而 H与 ， 无关：22201rr将 H作用于 1s，有：2221 10184s shermr2 22110ss222111084sssherrr0 0057222 210aasem012084shrar21200se（r=a 0）所以1220084hEma=-2.1810-18J也可用*1sHd进行计算，所得结果与上法结果相同。注意：此式中 24r。将角动量平方算符作用于氢原子的 1s，有： 1202 22 31 1 s
13、inisirashMe =0 1s所以M2=0|M|=0此结果是显而易见的： 2不含 r项，而 1s不含 和 ，角动量平方当然为 0，角动量也就为 0。通常，在计算原子轨道能等物理量时，不必一定按上述作法、只需将量子数等参数代人简单计算公式，如： *1822.0nZEJnhMl即可。（b）对氢原子， 1Vr，故：2T11122sETVV(3.6)7.see36此即氢原子的零点能。【2.9】已知氢原子的23001exp4zprracos，试回答下列问题：(a)原子轨道能 E=?(b)轨道角动量|M|=?轨道磁矩|=?(c)轨道角动量 M和 z轴的夹角是多少度？(d)列出计算电子离核平均距离的公式
14、（不算出具体的数值） 。(e)节面的个数、位置和形状怎么样？(f)概率密度极大值的位置在何处？(g)画出径向分布示意图。解：（a）原子的轨道能： 181922.0J5.40JE（b）轨道角动量： ()hMl轨道磁矩： 1el（c）轨道角动量和 z轴的夹角：02oszh， 90（d）电子离核的平均距离的表达式为： *2zzprd0sinzrr（e）令 2zp，得：r=0，r=，=90 0节面或节点通常不包括 r=0和 r=，故 2zp的节面只有一个，即 xy平面（当然，坐标原点也包含在 xy平面内）。亦可直接令函数的角度部分 3/4cos0Y，求得=90 0。（f）几率密度为：022 2301c
15、osrazpe由式可见，若 r相同，则当 =0 0或 =180 0时 最大（亦可令sin0，=0 0或 =180 0），以 0表示，即： 02301(,8)rae将 0对 r微分并使之为 0，有：0230rade50012ra解之得：r=2a 0（r=0 和 r=舍去）又因：02|rad所以，当 =0 0或 =180 0，r=2a 0时，2zp有极大值。此极大值为：02330128ame6.4n（g）002522 450116z rraapDrRee根据此式列出 D-r数据表：r/a0 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0D/1a0 0.015 0.090 0.169 0.195 0.175 0.134r/a0 7.0 8.0 9.0 10.0 11.0 12.0D/10.091 0.057 0.034 0.019 1.0210-2 5.310-3按表中数据作出 D-r图如下：
