电磁场与电磁波习题答案第9章.doc

1、1第 九 章 9-1 推 导 式 （ 9-1-4） 。解 已 知 在 理 想 介 质 中 ， 无 源 区 内 的 麦 克 斯 韦 旋 度 方 程 为， EHjHEj令 ， zyxeezyxee则 yxzzy xzxy eeex ExEExyzzyx将 上 式 代 入 旋 度 方 程 并 考 虑 到 ， 可 得zkjxyzHEkjjyzxzjjzxyHEjxyzkjjyzxzEHjjzxyj整 理 上 述 方 程 ， 即 可 获 得 式 （ 9-1-4） 。9-2 推 导 式 （ 9-2-17） 。解 对 于 波 ， 。 应 用 分 离 变 量 法 ， 令TEzkzzz yxHyxj0, ,02

2、yYxXyHz,0由 于 满 足 标 量 亥 姆 霍 兹 方 程 ， 得xz,0d1d1222 ckyYxX此 式 要 成 立 ， 左 端 每 项 必 须 等 于 常 数 ， 令；22d1xkx22d1yky显 然 ， 。 由 上 两 式 可 得 原 式 通 解 为cykykBykxAxxHz sincossino, 21210 根 据 横 向 场 与 纵 向 场 的 关 系 式 可 得ykykxkxkkyxEcy cossisij, 212120 BAyyxxcxy incosinj, 212120 因 为 管 壁 处 电 场 的 切 向 分 量 应 为 零 ， 那 么 ， TE 波 应 该

3、 满 足 下 述 边 界 条 件 ：；0,0byxE0,0axyE将 边 界 条 件 代 入 上 两 式 ， 得nkAy,2 ,21namBx00故 的 通 解 为zHzkz eybnxayx j0coss, 其 余 各 分 量 分 别 为 zkczx eybnxamkHy j20cossinj, zkczybj20ij, 3 zkcx eybnxambnkHzyE j20sioj, zkcy j20coij, 9-3 试 证 波 导 中 的 工 作 波 长 、 波 导 波 长 与 截 止 波 长 之 间 满 足 下 列 关 系gc221cg解 已 知 波 导 中 电 磁 波 的 波 长 为

4、22211cgcg 则 2221ccg 即 221cg9-4 已 知 空 气 填 充 的 矩 形 波 导 尺 寸 为 ， 若 工 作 频 率 ， 给cm48GHz735.f出 可 能 传 输 的 模 式 。 若 填 充 介 质 以 后 ， 传 输 模 式 有 无 变 化 ？ 为 什 么 ？解 当 内 部 为 空 气 时 ， 工 作 波 长 为 ， 则7.3f截 止 波 长 为 m25.0822nbnamc 那 么 ， 能 够 传 输 的 电 磁 波 波 长 应 满 足 ， 若 令 ， 则 k 应 满 足c25.0nk。 满 足 此 不 等 式 的 m， n 数 值 列 表 如 下 ：256.4

5、k01234mn0.25 1 2.25 441n1 1.25 2 3.2524 4.25由 此 可 见 ， 能 够 传 输 的 模 式 为1202 31211014301TM,E ,TME,T,E,填 充 介 质 以 后 ， 已 知 介 质 中 的 波 长 为 ， 可 见 工 作 波 长 缩 短 ， 传 输 模r式 增 多 ， 因 此 除 了 上 述 传 输 模 式 外 ， 还 可 能 传 输 其 它 高 次 模 式 。9-5 已 知 矩 形 波 导 的 尺 寸 为 ， 若 在 区 域 中 填 充 相 对 介 电 常 数 为 的ba0z r理 想 介 质 ， 在 区 域 中 为 真 空 。 当

6、 TE10 波 自 真 空 向 介 质 表 面 投 射 时 ， 试 求 边0z界 上 的 反 射 波 与 透 射 波 。解 已 知 波 导 中 沿 轴 传 输 的 波 的 电 场 强 度 为z10zkioyiyexaEj)sn(e那 么 ， 反 射 波 和 透 射 波 的 电 场 强 度 可 分 别 表 示 为；zkroyryj)si( kztoytyexaEj)sin(式 中 ；2001akz 21考 虑 到 边 界 上 电 场 强 度 与 磁 场 强 度 的 切 向 分 量 必 须 连 续 的 边 界 条 件 ， 因 而 在处 ， 获 知0z toxrioxtoyrioy HE ;根 据

7、波 阻 抗 公 式 ， 获 知 z 0 区 域 中 的 波 阻 抗 分 别 为toxyTEroxiyTEZHZ ;将 场 强 公 式 代 入 ， 得5， ； ，2001aZTEz21aZTE0z根 据 上 述 边 界 条 件 ， 得 TEtoyroyTEiZ那 么 ， 处 的 反 射 系 数 及 透 射 系 数 分 别 为0z;TEioyrZRTEioyt2反 射 波 与 透 射 波 的 电 场 强 度 分 别 为;zkioyryexaj)sn(eE kzioytyexaj)sn(e根 据 ， 可 得 反 射 波 的 磁 场 强 度 为H0jzkioyzryrx xaREkj00snj1zki

8、oyryrzxj00c1jj根 据 ， 可 得 透 射 波 的 磁 场 强 度HEkzioytytx xaTEkzjsnj1kzioytytzxjc1jj 9-6 试 证 波 导 中 时 均 电 能 密 度 等 于 时 均 磁 能 密 度 ， 再 根 据 能 速 定 义 ， 导 出 式 （ 9-4-9） 。解 在 波 导 中 任 取 一 段 ， 其 内 复 能 量 定 理 式 （ 7-11-14） 成 立 。 考 虑 到 波 导 为理 想 导 电 体 ， 内 部 为 真 空 ， 因 此 内 部 没 有 能 量 损 耗 。 因 此 式 （ 7-11-14） 变 为VwVeavmavSc d)()

9、(2jd)(rr因 为 流 进 左 端 面 的 能 量 应 该 等 于 流 出 右 端 面 的 能 量 ， 故 上 式 左 端 面 积 分 为 零 ， 因6而 右 端 体 积 分 为 零 。 但 是 右 端 被 积 函 数 代 表 能 量 ， 只 可 能 大 于 或 等 于 零 ， 因 此 获知 )()(reavmavw已 知 能 速 的 定 义 为 ， 对 于 TE 波 ， 波 导 中 平 均 能 量 密 度 为aveS22yxemeavW波 导 中 能 流 密 度 平 均 值 仅 与 场 强 的 横 向 分 量 有 关 。 对 于 TE 波 ， 能 流 密 度 的 平均 值 为 22yxy

10、xav HES波 导 中 电 场 和 磁 场 的 横 向 分 量 关 系 为 21cTExyxZH将 上 述 结 果 代 入 ， 求 得 TE 波 的 能 速 为 22TE11ccave vZWS同 理 对 于 TM 波 也 可 或 获 得 同 样 结 果 。9-7 试 证 波 导 中 相 速 与 群 速 的 关 系 为pvgvgppgd解 根 据 群 速 的 定 义 ， 对 于 波 导 ， 。 又 知 波 导 的 相 位 常 数 与 相 速 的kvgzk关 系 为 ， 则pzpzkzppzzg kvkvvdd7根 据 波 导 波 长 与 相 位 常 数 的 关 系 ， 得gzgzkkd22则

11、 gppggpg vvv29-8 推 导 式 （ 9-6-3）解 将 麦 克 斯 韦 旋 度 方 程 ， 在 圆 柱 坐 标 系 中 展 开 ，EHjHj得 rzrz rzHr 11j eeeE rzrz EEEjr将 代 入 上 式 ， 并 考 虑 到 ， 得zreeE zkj； ；rzEHkrjj1 ErHkzzjjzrEHrj1； ；rzzjj zrzjjzrj上 式 整 理 后 ， 即 可 求 得 横 向 分 量 的 表 示 式 为zzcr HrEkEjj12rkzzcjj2rHkEHzzcr jj12 zzckjj2其 中 2zck9-9 推 导 式 （ 9-6-18）8解 对 于

12、TE 波 ， zkzzz erHrj0, ,0建 立 圆 柱 坐 标 系 ， 满 足 的 亥 姆 霍 兹 方 程 为zH01202020 zczzz krr令 ， 代 入 上 式 ， 得RHz,0222 d1ddrkRrrc令 方 程 两 边 等 于 ， 获 得 下 述 两 个 常 微 分 方 程 ：k0d220d222 rRkrRrrc其 中 的 通 解 为kBksinco21由 于 随 角 度 的 变 化 周 期 为 2， 因 此 ， 必 须 为 整 数 。 即zH0 msic1式 中 m = 1,2,3 。 考 虑 到 圆 波 导 具 有 旋 转 对 称 性 ， 的 坐 标 轴 可 以

13、任 意 确0定 ， 总 可 适 当 选 择 的 坐 标 轴 ， 使 上 式 中 的 第 一 项 或 第 二 项 消 失 ， 因 此 ， 上 式0可 表 示 为mBsinco,210的 通 解 为rRrkArkccm2m1NJ考 虑 到 圆 波 导 中 心 处 的 场 应 为 有 限 ， 但 时 ， ， 故 常 数 ，0Nm02A即 。 因 此 的 通 解 为rkJArRcm1zrHz,9zkcz emrkBArHj1sinoJ, 那 么 ， 根 据 圆 波 导 的 横 向 分 量 的 纵 向 场 分 量 表 示 式 ， 即 可 求 得 各 个 分 量的 表 示 式 。Err,9-10 已 知

14、空 气 填 充 的 圆 波 导 直 径 ， 若 工 作 频 率 ， 给 出 可m50dGHz725.6f能 传 输 的 模 式 ， 若 填 充 相 对 介 质 常 数 的 介 质 以 后 ， 再 求 可 能 传 输 的 模 式 。4r解 当 圆 波 导 内 为 空 气 时 ， 工 作 波 长 为6.410725.6398fc已 知 TM 波 的 截 止 波 长 为 ， 因 此 能 够 传 输 的 模 式 对 应 的 第 一 类 柱 贝mncPa2塞 尔 的 根 Pmn 必 须 满 足 下 列 不 等 式 52.32mnca由 教 材 表 9-6-1 可 见 ， 满 足 上 述 条 件 的 只

15、有 P01 因 此 只 有 波 存 在 。01TMTE 波 的 截 止 波 长 为 ， 那 么 能 够 传 输 的 模 式 对 应 的 第 一 类 柱 贝 塞 尔 的mncPa导 数 根 必 须 满 足 下 列 不 等 式mnP 52.3mnc由 教 材 表 9-6-2 可 见 ， 满 足 上 述 条 件 的 只 有 和 ， 因 此 只 有 和 波1P21TE21可 以 传 输 。填 充 介 电 常 数 为 理 想 介 质 后 ， 工 作 波 长 为 ， 则 能4r m3.2r够 传 输 的 TM 模 式 对 应 的 第 一 类 柱 贝 塞 尔 的 根 Pmn 必 须 满 足 下 列 不 等

16、式04.72mnmnc Pa由 教 材 表 9-6-1 可 见 ， 满 足 上 述 条 件 的 模 式 为。波波 ，波 ，波 ，波 ， 211210201 TMTT10能 够 传 输 的 TE 模 式 对 应 的 第 一 类 柱 贝 塞 尔 的 导 数 根 必 须 满 足 下 列 不 等mnP式 04.72mnmncPa那 么 ， 由 原 书 表 9-6-2 可 见 ， 满 足 上 述 条 件 的 模 式 为。波波 ，波 ，波 ，波 ，波 ， 221110201 TETETE9-11 当 比 值 为 何 值 时 ， 工 作 于 主 模 的 矩 形 波 导 中 波 导 壁 产 生 的 损 耗 最 小 ？)/(cf（ 指 获 得 最 小 衰 减 常 数 ） 。k解 当 矩 形 波 导 传 播 波 时 ， 其 衰 减 常 数 为10TE 2222 11 fffbaAfabfRk cccccS式 中 A 仅 与 波 导 的 参 数 有 关 。 令 ， 则 求 k的 最 小 值 问 题 转 化 为 求 函 数fxc的 最 小 值 问 题 。 由 ， 得 ， 解 此 方 程 ，21xbaM0dM036224axbx得 baax483622 若 取 ， 则 。 由 于 ， 则 。13622 b 02x0x012x故 不 合 理 。 应 取baax4822 b3622