1、 电磁场习题解答 第 1 页122、求下列情况下，真空中带电面之间的电压。(2)、无限长同轴圆柱面，半径分别为 和 （ ） ，每单位长度上电ab荷：内柱为 而外柱为 。解：同轴圆柱面的横截面如图所示，做一长为 半径为 （ ）且lrba与同轴圆柱面共轴的圆柱体。对此圆柱体的外表面应用高斯通量定理，得lSDsd考虑到此问题中的电通量均为 即半径方向，所以电通量对圆柱体前后re两个端面的积分为 0，并且在圆柱侧面上电通量的大小相等，于是lrl2即 ， reDreE02由此可得 abrUbarba ln2dd00123、高压同轴线的最佳尺寸设计高压同轴圆柱电缆，外导体的内半径为 ，内外导体间电介质的击
2、穿场强为 。内导体的半径cmkV/cm为 ，其值可以自由选定但有一最佳值。因为 太大，内外导体的间隙就变a a得很小，以至在给定的电压下，最大的 会超过介质的击穿场强。另一方面，E由于 的最大值 总是在内导体的表面上，当 很小时，其表面的 必定很Em E大。试问 为何值时，该电缆能承受最大电压？并求此最大电压。（击穿场强：当电场增大达到某一数值时，使得电介质中的束缚电荷能电磁场习题解答 第 2 页够脱离它的分子 而自由移动，这时电介质就丧失了它的绝缘性能，称为击穿。某种材料能安全地承受的最大电场强度就称为该材料的击穿强度） 。解：同轴电缆的横截面如图，设同轴电缆内导体每单位长度所带电荷的电量为
3、 ，则内外导体之间及内导表面上的电场强度分别为， rE2aE2max而内外导体之间的电压为 brrUbaba lndd或 )ln(maxE01ldaxb即 ， 01lncm736.eV)(104.2ln55maxax bEU133、两种介质分界面为平面，已知 ， ，且分界面一0102侧的电场强度 ，其方向与分界面的法线成 的角，求分界面另V/10E45一侧的电场强度 的值。2电磁场习题解答 第 3 页解： ，2504sin10tE 2504cos10nEnD根据 ， 得tt21n21， ， 502tE02n 2102nDE于是： V/m)(5)()5(2222 nt18、对于空气中下列各种电位
4、函数分布，分别求电场强度和电荷体密度：（1） 、 2Ax（2） 、 yz（3） 、 Brrsin2（4） 、 coA解：求解该题目时注意梯度、散度在不同坐标中的表达式不同。（1） 、 iAxixkzjyixE 2)()( 0000 )()( EEDxz（2） 、 )(kzjyixE)(AxyjiAz电磁场习题解答 第 4 页)(kxyjziyA0)(0 AxyzxD（3） 、 )1kerEeBrzArBzArr )sin()sin( 22 )i(2kz)cossin kBreAreBzAr )cos(1in2(10 AzD)(Brzsin)sin410 AzrA（4） 、 sin1 reeEr
5、 )cosi()cosin( 22AAr)si(sin12re eAreAr )cos(1)co(2 )sin(in12eAr电磁场习题解答 第 5 页)sin()cos()cosin2( eAreAreAr )(i1iin1120 EEEDr )sinco(si)cosi(320 ArrAr )in(si1 sinco)si(cosico6 220 AA142、两平行导体平板，相距为 ，板的尺寸远大于 ，一板的电位dd为 0，另一板的电位为 ，两板间充满电荷，电荷体密度与距离成正比，即0V。试求两极板之间的电位分布（注： 处板的电位为 0） 。x)( 0x解：电位满足的微分方程为x02d其通
6、解为： 21306C定解条件为： ； x0Vdx由 得 0x2由 得 ，即 0Vdx 01306dC2016d电磁场习题解答 第 6 页于是 xdx)6V(62030143、写出下列静电场的边值问题：（1） 、电荷体密度为 和 （注： 和 为常数） ，半径分别为 与1212 a的双层同心带电球体（如题 143 图（a） ） ； b（2） 、在两同心导体球壳间，左半部分和右半部分分别填充介电常数为与 的均匀介质，内球壳带总电量为 ，外球壳接地（题 143 图 b） ） ；1 Q（3） 、半径分别为 与 的两无限长空心同轴圆柱面导体，内圆柱表面上ab单位长度的电量为 ，外圆柱面导体接地（题 143
7、 图（c） ） 。电磁场习题解答 第 7 页解：（1） 、设内球中的电位函数为 ，介质的介电常数为 ，两球表面11之间的电位函数为 ，介质的介电常数为 ，则 ， 所满足的微分方程2212分别为， 1222选球坐标系，则 1221212 sin)(sini)( rrr 22222 i)(isi)(由于电荷对称，所以 和 均与 、 无关，即 和 只是 的函数，121r所以， 112)(rr 222)(rr定解条件为：电磁场习题解答 第 8 页分界面条件： ； arar21arar21电位参考点： ； 02br附加条件： 为有限值01r（2） 、设介电常数为 的介质中的电位函数为 ，介电常数为 的介
8、质12中的电位函数为 ，则 、 所满足的微分方程分别为212， 12选球坐标系，则 0sin1)(sini)(1 212212 rrr i)(isi)( 2222 由于外球壳为一个等电位面，内球壳也为一个等电位面，所以 和 均12与 、 无关，即 和 只是 的函数，所以12r， 0)(2rr 0)(122r分界面条件： 221由分解面条件可知 。令 ，则在两导体球壳之间电位121满足的微分方程为0)(12rr电位参考点： ； br电磁场习题解答 第 9 页边界条件： ，即QEaarr)(221ar)(21（3） 、设内外导体之间介质的介电常数为 ，介质中的电位函数为 ，则所满足的微分方程分别为
9、， 02选球柱坐标系，则01)(122zrr由于对称并假定同轴圆柱面很长，因此介质中的电位 和 及 无关，即z只是 的函数，所以r0)(1r电位参考点： ； br边界条件： ，即arE2ar)(173、在无限大接地导体平板两侧各有一个点电荷 和 ，与导体平1q2板的距离均为 ，求空间的电位分布。d电磁场习题解答 第 10 页解：设接地平板及 和 如图（a）所示。选一直角坐标系，使得 轴经1q2 z过 和 且正 轴方向由 指向 ，而 ， 轴的方向与 轴的方向符合右1q2z1xyz手螺旋关系且导体平板的表面在 ， 平面内。计算 处的电场时，在（0）处放一镜像电荷 ，如图（b）所示，用其等效 在导体平板上的d,01q1q感应电荷，因此 )()(4 222201 dzyxdzyx计算 处的电场时，在（ ）处放一镜像电荷 如图（c）所示，z, 2q用其等效 在导体平板上的感应电荷，因此2q )(1)(1(4 222202 dzyxdzyx175、空气中平行地放置两根长直导线，半径都是 2厘米，轴线间距离为 12厘米。若导线间加 1000V电压，求两圆柱体表面上相距最近的点和最远的点的电荷面密度。解：由于两根导线为长直平行导线，因此当研究它们附近中部的电场时可将它们看成两根无限长且平行的直导线。在此假定下，可采用电轴法求解此题，电轴的位置及坐标如图所示。由于对称 cm621h而 c242Rb
