1、四章习题解答4.1 如题 4.1 图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板，槽的电位为零，上边盖板的电位为 0U，求槽内的电位函数。解 根据题意，电位 (,)xy满足的边界条件为 (0,)a 0,b 根据条件和，电位 (,)xy的通解应取为 1(,)sinh()si()ynxxyAa由条件，有 01i()i()nbU两边同乘以sin()xa，并从 0 到 a对 x积分，得到2sin()dih()nAb02(1cos)sinh)Uba04,13,5i246Ua，故得到槽内的电位分布 01,354(, sinh()si()i()n yxxyb4.2 两平行无限大导体
2、平面，距离为 ，其间有一极薄的导体片由 d到 by)(x。上板和薄片保持电位 0，下板保持零电位，求板间电位的解。设在薄片平面上，从 0y到 d，电位线性变化， 0(,)yUd。解 应用叠加原理，设板间的电位为 ,x12(,)(,)yx其中， 1(,)为不存在薄片的平行无限大导体平面间（电压为 0）的电位，即 10,b； 2,y是两个电位为零的平行导体板间有导体薄片时的电位，其边界条件为： 22(,)(,)x y 021 ()(0,)(,)(0,)Uydbybd0Uyxabo题 4.1 图0Uy xo xybo y d y题 4.2 图根据条件和，可设 2(,)xy的通解为 21(,)sin(
3、)enxbyxyA由条件有 01sin()()UdbAbyybd两边同乘以si()y，并从 0 到 对 积分，得到0 02211sin()()sin()dd bn dUUyyAbbb02sin()()Ubd故得到 (,)xy0021siniex4.3 求在上题的解中，除开 0yb一项外，其他所有项对电场总储能的贡献。并按20UWCef定出边缘电容。解 在导体板（ 0y）上，相应于 2(,)x的电荷面密度02201sin()enxbyUdd则导体板上（沿 z方向单位长）相应的总电荷220dqx10si()nxbn 02214sin()Uddb相应的电场储能为 2021ie nbWqUd其边缘电容
4、为 02214si()f nC4.4 如题 4.4 图所示的导体槽，底面保持电位 0，其余两面电位为零，求槽内的电位的解。解 根据题意，电位 (,)xy满足的边界条件为 (0,)0a (,)()xy 0U根据条件和，电位 ,的通解应取为 1()sin()nyaxxyAe由条件，有 0si()nx题 4.4 图0Uyxao两边同乘以sin()xa，并从 0 到 a对 x积分，得到02si()dnUnA02(1cos)Un04,1,35246Un ，故得到槽内的电位分布为 1,354, i()yanxxye4.5 一长、宽、高分别为 a、 b、 c的长方体表面保持零电位，体积内填充密度为()si(
5、i)xz的电荷。求体积内的电位 。解 在体积内，电位 满足泊松方程2201()sin(i)xzybxyzac（1）长方体表面 S上，电位 满足边界条件 S。由此设电位 的通解为10(,)si()i()si()mnpnxypzzAbc代入泊松方程（1） ，可得 2221()()mnpnAabcsiisinxypz()sin(i)xzybac由此可得 0mnp(1或221()sin()yAabcb()（2）由式（2） ，可得221 0()()()si()dnAyyabc34()cos1)n238,5()0246bn故 253221,081(,) si()i)sin()nbxyzxyz abcabc
6、4.6 如题 4.6 图所示的一对无限大接地平行导体板，板间有一与 z轴平行的线电荷 lq，其位置为 ),0(d。求板间的电位函数。解 由于在 (,)处有一与 z轴平行的线电荷 lq，以 0x为界将场空间分割为 0x和0x两个区域，则这两个区域中的电位 1(,)xy和 2(,)都满足拉普拉斯方程。而在的分界面上，可利用 函数将线电荷 lq表示成电荷面密度 0()()lyqy。电位的边界条件为 11(,0),0xa=22() 1,y2()x 120,(,)10()lxqyd由条件和，可设电位函数的通解为 11(,)sin()nxayxyAe()2,nB0x 由条件，有 1si()nyAa1sin
7、()yBa（1）inin0()lqyd（2）由式（1） ，可得 n（3）将式（2）两边同乘以si()mya，并从 0到 a对 y积分，有nAB02si()dlq02sin()lqda（4）由式（3）和（4）解得0in()lna故 11(,)ssin()lnxaqdyxye(0)x20,i()il 4.7 如题 4.7 图所示的矩形导体槽的电位为零，槽中有一与槽平行的线电荷 lq。求槽内的电位函数。解 由于在 ),(0yx处有一与 z轴平行的线电荷 lq，以0x为界将场空间分割为 和 0xa两个区域，则这yxoalqb ),(0yx题 4.7 图yoadlq题 4.6 图两个区域中的电位 1(,
8、)xy和 2(,)都满足拉普拉斯方程。而在 0x的分界面上，可利用函数将线电荷 lq表示成电荷面密度 0()lyqy，电位的边界条件为 10,=， 2,0a 1()()xb22, 100y0210()()lxqy由条件和，可设电位函数的通解为 11(,)sin()ih()nxyAb)0(0x2,xnyBaa 由条件，有 0 01 1si()ih()sin()ih()nxyABxbb （1）icosn ny01i()cosh()nyaxbb )(0yql（2）由式（1） ，可得 00sih()si()nnxAB（3）将式（2）两边同乘以myb，并从 到 b对 y积分，有)(cosh)cosh(
9、00xaxnn002()sin()dblqyynb0il（4）由式（3）和（4）解得0021sinh()sin()sinh()lqyAaxabbblB故 1 0102(,)sinh()si()lnqxyaxab0iyyb)0(0x0210(,)sinh()si()lnqxxyab0si()ynyb )(0ax若以 0y为界将场空间分割为 和 0两个区域，则可类似地得到1 0102(,)sinh()si()lnqx yba0ixxa0()y0210(,)sinh()si()lnqyxyba0si()xnxa 0()yb4.8 如题 4.8 图所示，在均匀电场 0xEe中垂直于电场方向放置一根无限
10、长导体圆柱，圆柱的半径为 a。求导体圆柱外的电位 和电场 以及导体表面的感应电荷密度 。解 在外电场 0E作用下，导体表面产生感应电荷，圆柱外的电位是外电场 0E的电位 0与感应电荷的电位 in的叠加。由于导体圆柱为无限长，所以电位与变量 z无关。在圆柱面坐标系中，外电场的电位为 000(,)cosrxCr（常数 C的值由参考点确定） ，而感应电荷的电位 in应与 一样按 变化，而且在无限远处为 0。由于导体是等位体，所以 (,)r满足的边界条件为 (,)a 0cos()rErr由此可设 1, sAC由条件，有 0a于是得到 21aA故圆柱外的电位为 210(,)cosrrE若选择导体圆柱表面
11、为电位参考点，即 (,)a，则 0C。导体圆柱外的电场则为 1(,)rEe2200()cos(1)sinr Eree导体圆柱表面的电荷面密度为 0,)raE4.9 在介电常数为 的无限大的介质中，沿 z轴方向开一个半径为 a的圆柱形空腔。沿x轴方向外加一均匀电场 0xEe，求空腔内和空腔外的电位函数。解 在电场 的作用下，介质产生极化，空腔表面形成极化电荷，空腔内、外的电场xyoa0E题 4.8 图E为外加电场 0与极化电荷的电场 pE的叠加。外电场的电位为0(,)cosrxr而感应电荷的电位 (,)inr应与 0(,)r一样按 cos变化，则空腔内、外的电位分别为 1(,)和 2(,)r的边
12、界条件为 时， 0cos； 0r时， 1,为有限值； a时， 2(,)(,)a，120r由条件和，可设 101(,)cossrErAr()a22c带入条件，有 112Aa，2010EA由此解得 0， 22a所以 10(,)cosrEr()r22 00,()aa4.10 一个半径为 b、无限长的薄导体圆柱面被分割成四个四分之一圆柱面，如题 4.10 图所示。第二象限和第四象限的四分之一圆柱面接地，第一象限和第三象限分别保持电位 0U和0U。求圆柱面内部的电位函数。解 由题意可知，圆柱面内部的电位函数满足边界条件为 (,)为有限值； 02(,)3Ub；由条件可知，圆柱面内部的电位函数的通解为 1(
13、,)(sincos)nnrAB()rb代入条件，有 1(sincos,)nnbABb由此得到 201(,)sidnAb23200sidsindnU0(1cos)nUb,1,5246b，xyo00Ub题 4.10 图201(,)cosdnBbn232001cosdcosdnUnb03(sii)2n302(1,1,35246nUb，故 01,352(,)1cosnnrrb()r4.11 如题 4.11 图所示，一无限长介质圆柱的半径为 a、介电常数为 ，在距离轴线0ar处，有一与圆柱平行的线电荷 lq，计算空间各部分的电位。解 在线电荷 lq作用下，介质圆柱产生极化，介质圆柱内外的电位 (,)r均
14、为线电荷lq的电位 (,)lr与极化电荷的电位 (,)pr的叠加，即 (,),lpr。线电荷l的电位为 2000lnncos2l qR（1）而极化电荷的电位 (,)pr满足拉普拉斯方程，且是 的偶函数。介质圆柱内外的电位 1和 2(,)r满足的边界条件为分别为 10,为有限值； 2(),lr a时，12120r由条件和可知， (,)r和 (,)的通解为11(,)(,)cosnlrA(0)ra （2） 21(,)(,)nlrBr()ar （3）将式（1）（3）带入条件，可得到 11coscosnnAaa（4）00ln()()2lnn raqRB （5）当 0r时，将 Rl展开为级数，有 010l
15、()cosnn（6）带入式（5） ，得 11001 10()()cos()s2nnln nqaAaBr （7）yxoalq0r0题 4.11 图由式（4）和（7） ，有 nnaBA11100()(2nlnnqar由此解得 0()2lnnqr， 20()ln故得到圆柱内、外的电位分别为 21 00(,)lcosr010()cos2()nlnqr（8）22 00,lnqrr2010nlnar（9）讨论：利用式（6） ，可将式（8）和（9）中得第二项分别写成为 0 0010()()()cos(l)2nl lnqrR20 010 ln2()()nl lnqarr其中20cosRra。因此可将 1,r和
16、 2(,分别写成为001 ()(,)llnlqR00200 ()1,lnlln22qqr Rr由所得结果可知，介质圆柱内的电位与位于（ ,0r0）的线电荷 0l的电位相同，而介质圆柱外的电位相当于三根线电荷所产生，它们分别为：位于（ ,r0）的线电荷 lq；位于)0,(2ra的线电荷0lq；位于 r的线电荷0lq。4.12 将上题的介质圆柱改为导体圆柱，重新计算。解 导体圆柱内的电位为常数，导体圆柱外的电位 (,)r均为线电荷 lq的电位 (,)lr与感应电荷的电位 (,)inr的叠加，即 (,),lin。线电荷 的电位为2000lncos2lqqR（1）而感应电荷的电位 (,)inr满足拉普
17、拉斯方程，且是 的偶函数。(,)r满足的边界条件为 ,l()r； )aC。由于电位分布是 的偶函数，并由条件可知， (,)r的通解为0(,),cosnlrA（2）将式（1）和（2）带入条件，可得到 200 0coslsnqAaCar（3）将20lnar展开为级数，有20010lncsln()cosnrr（4）带入式（3） ，得 00 10osl()s2n nnqaAaCr （5）由此可得 0l2qr， 20lnA故导体圆柱外的电为 200(,)lcosrrr0(ln)qC2100()cosnlnar（6）讨论：利用式（4） ，可将式（6）中的第二项写成为 21000()cos(l)nlnqaR
18、r 其中222()Rr。因此可将 ,r写成为000,llnl2qR0ln2qCr由此可见，导体圆柱外的电位相当于三根线电荷所产生，它们分别为：位于（ ,0）的线电荷lq；位于)0,(2ra的线电荷 lq；位于 r的线电荷 lq。4.13 在均匀外电场 0zEe中放入半径为 a的导体球，设（1）导体充电至 0U；（2）导体上充有电荷 Q。试分别计算两种情况下球外的电位分布。解 （1）这里导体充电至 0U应理解为未加外电场 0E时导体球相对于无限远处的电位为0U，此时导体球面上的电荷密度 ，总电荷 4q。将导体球放入均匀外电场 E中后，在 0的作用下，产生感应电荷，使球面上的电荷密度发生变化，但总电荷 q仍保持不变，导体球仍为等位体。设 (,)(,)(,)inrr，其中
