1、第二章习题答案2-2 真空中有一长度为 l 的细直线，均匀带电，电荷线密度为 。试计算 P 点的电场强度：（1）P 点位于细直线的中垂线上，距离细直线中点 l 远处；（2）P 点位于细直线的延长线上，距离细直线中点 l 远处。解：（1）可以看出，线电荷的场以直线的几何轴线为对称轴，产生的场为轴对称场，因此采用圆柱坐标系，令 z 轴与线电荷重合，线电荷外一点的电场与方位角 无关，这样 处取的元电荷z，它产生的电场与点电荷产生的场相同，为：qd当R20e4zE其两个分量：（1）cos20zd（2）inzz R4eEd又 ta,cosR所以： （3）ddz2e式（3）分别代入式（1） （2）得：；
2、04Ecos dsin0z4dE（4）sisin00022d2当当又 （5）l4lsin式（5）代入式（4）得： l5E002当由于对称性，在 z 方向 分量互相抵消，故有z zEel5eE0z2z Edyl / 2d图 2-2 长直线电荷周围的电场l / 2RzP（2）建立如图所示的坐标系在 x 处取元电荷 则它在 P 点产生的电场强度为dxqR20e4E其在 x 方向的分量为： 20xd又 lR2020xxl4dRdE)-(l3lxl4 0l2l2ll20x / 1)-(xel3E2-3 真空中有一密度为 的无限长线电荷沿 y 轴放置，另有密度分别为 和mCn/2 2/1.0mCn的无限大
3、带电平面分别位于 z=3m 和 z=-4m 处。试求 p 点（1，-7，2）的电场强度2/1.0mCnE。解： 和 的带电平面产生的电场为z34340.1或zeE沿 y 轴放置的线电荷产生的电场为 mnVezxezxezxyE /12 202220 所以，p 点（1，-7，2）的电场强度为mVeEzxzxz/8.359.2241.0021应用叠加原理计算电场强度时，要注意是矢量的叠加。2-4 真空中的两电荷的量值以及它们的位置是已知的，如题图 2-4 所示，试写出电位 和),r（电场 的表达式。),(rEo xyd x Px R解：为子午面场，对称轴为极轴，因此选球坐标系，由点电荷产生的电位公
4、式得： 201021r4qp)(又 ， 1)cos(rr212)cos(rdeeecr inin rdrd rr2 scsc 2120212012021 rcr4qrcr4qp )os()os( )(320301pE)( 232r2232r10 dreqcreq4 )()() cosinosin erc2rdqrc2rq41 er2rdqrc2rq41 232310 r232310 )()( )()( osinosincosos2-5 解， (1) 由静电感应的性质和电荷守恒原理，充电到 U0 后将电源拆去，各极板带电情况如图（1）所示0321dEdUABU0;301DBCA题图 2-42r1
5、A BC D+ -(1)1E2300320UUDBCBCC、D 板无电荷(2) 若将 C、D 板用导线联接，C、D 两板的电荷将在电场作用下进行中和，一直到UCD=0，内侧正负电荷全部中和掉，其它部分的电荷由于电场的作用以及电荷守恒（这时电源已拆去）而都不变化，再断开联接线时也不会变化。电荷分布情况如图（2）所示。02ECD301UdEUDBA；3ABCB； 01d0C、D 板有电荷（3）由于在联接 C、D 板时有电源，电源的作用将强迫 A、B 板间的电压UAB=U0；C、 D 板被短接强迫 UCD=0，为满足 UAB=U0 的条件，显然必须使 增大31E,到 ，也即相应的电荷密度应增大，如图
6、（3）所示。由于电场力的作用，依次1E,拆去电源与 C、D 板间联线时，情况不再变化。 02； 31UdEdE230101DBAC020UUDBCBC、D 板有电荷（4）若在继（2）之后将 A、B 板短接，则 A、B 板成为一常电位系统，由于在（2）的情况下， ，因此电荷将进行中和来达到 的强制条件。而 C、D 板与032AB 0ABU外界没有导线联接，各自板上的总电荷保持不变，但会在内外两侧间发生电荷转移。达到 后，一切电荷的转移都将停止，电荷分布如图（4）所示。ABU00A BC D+ -(2)1E023A BC D+ -(3)1E023， 0131E02321dEUAB dU021解得E
7、0313012，901UdDBAC 920dECB2-6 半径为 b 的无限长圆柱中，有体密度为 的电荷，与它偏轴地放有一半径为 a 的无限长圆柱0空洞，两者轴线平行且距离为 d，如图 2-6 所示，求空洞内的电场强度。解：由于空洞存在，电荷分布不具有对称性，由此产生的场亦无对称性，因此不能用高斯定律求解。这是可把空洞看作也充满 ，使圆柱体内无空洞，然后再令空洞中充满- ，并单独作用，0分别求出两种场的分布后叠加即可。设空洞内的电场强度为 。E第一步 单独作用，如图（b）所示， 由体密度为 的电荷产生的电场强度为 ，由高斯0 0 1Exyob (b)00 xyo d( c)图 2-6(a) 0
8、A BC D1E23112(4)定理llEqSD2002d111当所以： e2E01第二步 单独作用产生的电场强度为 ，如图（c）所示。02llqSD200d22当eE02第三步 将 和 在空洞中产生的场进行叠加，即0x001 e2de2E当当注： xed2-7 半径为 a 介电常数为 的介质球内，已知极化强度 （k 为常数） 。rerP)(试求：（1）极化电荷体密度 和面密度 ；pp（2）自由电荷体密度 ；（3）介质球内、外的电场强度 。E解：(1) ， 2rkePp akrePnp（2） 因为是均匀介质，有ED00E因此 P0200rkD(3) 球内电场， （ r a ）r20eak200
9、erkE或 0V0Vspp0pS dSdqdE 2-8 具有两层同轴介质的圆柱形电容器，内导体的直径为 2cm，内层介质的相对介电常数 ，31r外层的相对介电常数 ，要使两层介质中的最大场强相等，并且内层介质所承受的电压和2r外层介质相等，问两层介质的厚度各为多少？解：以圆柱心为坐标原点，径向为 轴，设单位长度上带电荷为 ，由高斯定理， 。llDsd2312Re21011RErr ， ，120222err eREr10max2eREr20max2ax2max11,3,21 EcmRrrcR5.2将电位参考点设在外导体上，即 则,0|3323ln23edr，32321212 lln|23 Red
10、EedRRR ， 3221 | RR0ln2llnl2 132321 R即 ，所以，内 ，外cm96.5.3/3cm5.1cm46.232-9 用双层电介质制成的同轴电缆如题图 2-9 所示，介电常数 , 内、外导体01402单位长度上所带电荷分别为 和 （1）求两种电介质中以及 和 处的电场强度与电通密度；1R3（2）求两种电介质中的电极化强度；（3）问何处有极化电荷，并求其密度。解：(1)由高斯定理可得： )R(2)(310eD电场强度 ， 故 E)R(42 )(8)RE320211ee0(2) 由 ，得两种电介质中的电极化强度为PED0 )R(4833221e0(3) 内、外导体圆柱表面
11、上和两种电介质交界面上有极化电荷，它们分别是：在 处： 1R1p83)(ReP在 处： 3 34p在 处：: 2R221p 8483)( RReP2-10 有三块相互平行、面积均为 S 的薄导体平板，A 、B 板间是厚度为 d 的空气层，B、C 板间则是厚度为 d 的两层介质，它们的介电常数分别为 和 ，如题 2-10 所示。设 A、 C 两1图 2-9A B Cd d d2E10Qne120题图 2-10板接地，B 板的电荷为 Q，忽略边缘效应，试求：（1） 板间三区域内的电场强度；（2） 两介质交界面上的极化电荷面密度；（3） A、C 板各自的自由电荷面密度。解 (1) 在 A、 C 板间
12、的三介质区域内，分别为均匀电场，在 Q 为正电荷时各电场方向如图所示，从而有012EdsQ从而解得 022 11 2 00110211()()()QQEEEsss及 及（2）在两介质分界面上2101120 1n20102nnp1pSQE eDeP （3）在 A、C 板上的电荷面密度分别为012 120 20()()CQEs s及2-12 如题图 2-12 所示球形电容器中，对半地填充有介电常数分别为 和 两种均匀介质，两介12质交界面是以球心为中心的圆环面。在内、外导体间施加电压 U 时，试求：（1）电容器中的电位函数和电场强度；（2）内导体两部分表面上的自由电荷密度。解：（1）方法一：设内导
13、体带电荷为 ，外导体带电荷 ，选球坐标，应用高斯定律QQsdDS由媒质分界面条件可知，在两种介质中 ，所以2121DE,QsdEsdsdsdsDSSSSS 12121 （1）QEr1 rerQ2令外导体为参考导体，则电位函数为题图 2-12（2） 212122 RrQrdrQldERrRr 2121212121lURR121U将上式带入（1） （2）得， r21eRE 212Rr方法二 ：用静电场的边值问题求解，在均匀介质 1 和介质 2 中，电位分别满足拉普拉斯方程，并且边界面条件相同，所以可判断两个区域的电位函数相同，有0U021RrRr2;取球坐标系有0rrr 22 sin1)(sini1)( 22在两种介质中， 都与 、 无关，所以0rr12)(上式的通解为 21c有边界条件解得： 1c2RU221RU所以 ，212rR r21eE(2) 两种介质中的电位移矢量分别为， 1D 2D根据分界面条件 2ne对于本题，设媒质 2 为介质，媒质 1 为导体，因此有 ， 01n2eD则内导体两部分表面上的自由电荷密度为
