1、1化工数学（周爱月）习题解答第七章73 解：（a ） ，双曲型，22130BAC-=-(,)xyR（b） 20x，椭圆型；2x-，抛物型。200x=-=（c） ，双曲型，21/4/- (,)xyR（d） 222()(1)1BACxyx-+-，椭圆型；2 0xBA+-，抛物型。2xC=（e） 220()BAxy-，双曲型；0xyBA-，抛物型。2orC=（f） 2 201()()BACxyxy-+-，椭圆型；20xy+-，抛物型。2xy=-=（h） 21sgnBACxy-，双曲型；200xy-，抛物型。=74 解：（a）一阶、线性、齐次；（b）二阶、非线性、齐次，有未知函数与其偏导数乘积项；（c
2、）二阶、线性、非齐次、常系数（d）二阶、拟线性、非齐次，有未知函数的指数项；（e）二阶、拟线性、非齐次。有未知函数偏导数的幂。75 解：（a） yurctgx=22221()()()1()()0xxxxyyyyyx yt yuarcgt yxxuarcgu-=+-=-=+D3满足拉普拉斯方程。（b） sinxuey=()sin,(sin)sinxxxx yyeueey=- ，满足拉普拉斯方程。0xyD+（c） 2lgu=221()ln0xx xyxy=+2221(lg)()l1ln0()xxxyxu -=+=+由对称性 22(l)l()yyy- ，满足拉普拉斯方程。0xyuD=+（d） sin
3、hi,sinhx xyuy-= ，满足拉普拉斯方程。0xyuD=+76 解： 2txC（a） costue-=22,cost tt xuex- -=2(0)txCC（b） sin3tue-=4sin3,9sin3t tt xueuex- -=211(0)9txCC（c） 4costuew- 24,cost tt xuexw- -=22 (0)txCC77 解： 2txu=（a） 4+8,2tx 2(0)tuCC=（b） 32xt+6,tx21(0)tuCC=（c） sinctxw2 2sin,sint xuctxw- -2(0)txucCc=78 解：势函数满足 0j（a） （ 为常数）cur
4、=22,xyzc+133()()()rrxiyjzk-=+5 是势函数。cur=（b） ， （ 为常数）lgk+22,rxyzck=+()()ln100cciju- 是势函数。lgrk=+（c） 2xyact-22222222214()()1()4uxyxxyyxyx=-+-+-=2,0uxuyz22 2222220440()()4()0ijkuxyzxyij kxyxk=-+ - -+ =-=+ 333333()()()()()()0ijkucxyzrzxzyxci j kyzrxr 6 是势函数。2xyuarctg=-79 均匀细杆的纵向振动，设杆的线密度为 ，杨氏弹性模量为 E，均为常数
5、。解：沿杆轴向 作微小振动。假设 t 时刻 处的纵位移为 ，如图。xx),(txu在 t 时刻， 点受左边杆的应力（作用在单位横截面上的力）为 ；x ),(txp在 点受右边杆的应力为 。由牛顿第二定律x+D(,)pxt+D（1）2,(,uSxtxttr=-其中 是小段杆元的加速度，S 为杆的横截面段。tu有由 Hook（虎克）定律，在 点有 （2）x(,)(,)uxtptE=式（2）代入式（1）得 2(,)(,) uxtuxtSxEtr+DD=-由微分中值定理，并令 得022utxr=uu ) , ( txxP ),(tP7或 20txua-=其中 。2aEr=710 在杆的纵向振动时，假设
6、（1）端点固定；（2）端点自由；（3）端点固定在弹簧支承上。试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。解：（1）端点固定， ；(0,),0utlt=（2）端点自由，在点 处的张应力 与外力的关系：xxuEnxuESfn=其中 是杨氏模量， 是杆的截面积。当外力 时，S0f=，即 。0xuSn=0xun当 时， ；00xx=-8当 时， 。xl=0xlxlun=（3）端点固定在弹簧支承上：设在点 处的相对伸长为 ，则杆中的弹性张力 与弹性恢复uESn力 （ 为弹性系数）相等，即 。ku- 0ukESkn=-+=令 ，上式化为hES=0uhn+当 时， ，上式化为 ；0x00xx=-0xuh=-当
7、时， ，上式化为 。l=xlxlun=xl=+711 解：略。712 解：见示意图此杆内取一微元 ，横截面积 ；侧表面积 。,x+D24lpdslxp=D（1） 经截面 P 流入微元的热量为 2(,)PlutdQk=-经截面 P流出微元的热量为 2(,)4Plxtdp+-经微元侧表面热交换出去的热量为 1()dkult=-D9（2） 另一方面，在 时刻内，微元温度变化所需的的热量为,td+21(,)(,4ldQcxutxtpr=D-能量守恒： 1PdQd2 1(,)(,4,)()lcxutxtukdtkulxdt 利用微分中值定理，令 取极限得0,dtxD114()txkuuclr=-或 21txa其中 2214,kclrr=714 解：（1） 泛定方程：杆内无热源的热传导方程 ；2(0,)txualt= -=略。（2） 定解问题(,)xl qkqultk22(0,0)uaxlttx
