1、2019 年艺体生文化课-百日突围讲练通专题三 函数的基本性质、函数的图象 函数的定义域【背一背基础知识】函数的定义域：就是使得函数解析式有意义时，自变量的取值范围就叫做函数的定义域，定义域一般用集合或区间表示.求定义域的基本原则有以下几条：1.分式：分母不能为零；2.根式：偶次根式中被开方数非负，对奇次根式中的被开方数的正负没有要求；3.幂指数： 0x及 nN中底数 0x；4.对数函数：对数函数中真数大于零，底数为正数且不等于 1；5.三角函数：正弦函数 siy的定义域为 R，余弦函 数 cosyx的定义域为 R，正切函数tanyx的定义域为 ,2xkZ.【讲一讲释疑解惑】1.求函数定义域的
2、主要依据是：分式的分母不能为零；偶次方根的被开方式其值非负；对数式中真数大于零，底数大于零且不等于 1.对于复合函数求定义域问题，若已知 ()fx的定义域 ,ab，则复合函数 ()fgx的定义域由不等式()agxb得到.对于分段函数知道自变量求函数值或者知道函数值求自变量的问题，应依据已知条件准确找出利用哪一段求解.与定义域有关的几类问题第一类是给出函数的解析式，这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围；第二类是实际问题或几何问题，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义；第三类是不给出函数的解析式，而由 ()fx的定义域确定函数 )(xgf的定义域或由 )(x
3、gf的定义域确定函数 ()fx的定义域第四类是已知函数的定义域，求参数范围问题，常转化为恒成立问题来解决2.典型例题例 1.【2018 届安徽省池州市高三上期末】函数 2yx与 ln1yx的定义域分别为 M， N，则MN（ ）A. 1,2 B. ,12,C. D. 【答案】D【解析】由 20x可得， 2x ， ,M，由 10,x可得 1, ,N,所以,1,MN，故选 D.学-科网例 2.【2018 年江苏卷】函数 的定义域为_【答案】2，+）【解析】要使函数 有意义，则 ，解得 ，即函数 的定义域为 .分段函数【背一背基础知识】分段函数：对于定义域不同的部分，函数有不同的解析式，这样的函数称为
4、分段函数.1.分段函数的定义域是将各段定义域取并集得到，其值域也是将各段值域取并集得到；2.分段函数的图象是将各段函数合并组合而成，需注意的是画分段函数时，包含端点，则用实心点；不包含端点，则用空心点.【讲一讲释疑解惑】1.一般分段函数的基本题型有以下三种：（1）已知自变量的值求函数 值，此种题型只需确定自变量在相应的定义域选择合适的解析式代值进行计算即可，求形如 ffa 的函数时，求解时遵循由内到外的顺序进行；（2）已知函数值求自变量的值，此种题型只需令相应的解析式等于函数值，求出自变量的值之后再确定是否在相应的定义域内，若在，则保留；否则就舍去；（3）分段函数型不等式，此种题型只需将对应的
5、不等式解集与定义域取交集，最后再将得到的答案取并集即可.（4）因为分段函数在其定义域内的不同子集上其对应法则不同，而分别用不同的式子来表示，因此在求函数值时，一定要注意自变量的值所在子集，再代入相应的解析式求值（5） “分段求解” 是处理分段函数问题解的基本原则2.典型例题例 1.【2018 年新课标 I 卷文】设函数 ，则满足 的 x 的取值范围是A. B. C. D. 【答案】D【解析】将函数 的图像画出来，观察图像可知会有 ，解得 ，所以满足的 x 的取值范围是 ，故选 D.例 2.【山东省 2018 年普通高校招生（春季） 】已知函数 ，则 的值等于_【答案】【解析】因为 ，所以 .例
6、 3.【2018 届河南省南阳市第一中学高三第七次考】已知函数 214,1 logaxafx，若fx的值域为 R，则实数 a的取值范围是 （ ）A. 1,2 B. ,2 C. 0,2 D. ,【答案】A【解析】因为当 1x时 210log 242axa ，选 A.函数的单调性【背一背基础知识】1.单调区间：若函数 fx在区间 D上是增函数（或减函数） ，则称函数 fx在区间 D为单调递增（或单调递减） ，区间 叫做 y的单调递增区间（或单调递减区间） ；2.函数的单调性：设函数 fx的定义域为 I，如果对于定义域 I内的某个区间 上任意两个自变量 1x、2x，当 12时，有 12（或 12fx
7、f） ，那么就说函数 fx在区间 D上是增函数（或减函数） ；或对于区间 D上任意两个自变量 1、 2，当 12x时，有 120或12120xfxf时，称函数 fx在区间 D上是增函数；或对于区间 上任意两个自变量1、 2，当 12时，有 120xf或 12120fxf时，称函数 fx在区间D上是减函数.3.基本初等函数的单调性：函数 图象 参数范围 单调区间或单调性一次函数 0ykxb来源:学,科,网k0Oy x 0k单调递增区间来源:Zxxk.Com来源:Z,xx,k.Com来源:Z|xx|k.Com,来源:学科网0k单调递减区间,a0() 0k单调递减区间为,0和 ,反比例函数 kyx0
8、kOyxy=kx10101=1=011 yxOy x 0在 0,上递增正弦函数 sinyxy x-11O-32 -2-2 322 2单调递增区间 ,2k单调递减区间 3,kZ余弦函数 cosyxOy x-11-32 32-2 2-2 2- 单调递减区间,2；单调递增区间 ,kZ正切函数 tanyxy x- O-32 32-2 2 单调递增区间 ,2kZ【讲一讲释疑解惑】1.判断基本初等函数的单调性，在涉及若干个函数的和函数时，一般利用性质去判断，即增函数 增函数 增函数，增函数 减函数 增函数，减函数 减函数 减函数，减函数 增函数 减函数；分段函数在定义域上具有一种单调性，则要求分段函数在每
9、段定义域上的单调性保持一致，还对断点处的函数值的大小有要求；一般情况下的单调性可利用导数求进行判断，即由 0fx确定的解集为函数fx的单调递减区间，由 0fx确定的解集为函数 fx的单调递增区间；证明函数的单调性可以利用定义法与导数法.【注】函数的多个递增区间或递减区间不能合并，在表示的时候一般将各区间用逗号或“和”字进行连接.2.典型例题例 1.【2018 年天津卷文】已知 ，则 的大小关系为A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意可知： ，即 ， ，即 ，即 ，综上可得： .本题选择 D 选项.例 2.【2018 年天津卷文】已知 aR，函数 若对任意 x3，+ ） ，f(x)恒成
10、立，则 a 的取值范围是_ 【答案】 ，2函数的奇偶性【背一背基础知识】1.函数的奇偶性：一般地，如果对于函数 fx的定义域内任意一个 x，都有 fxf（或fx） ，那么函数 fx就叫做偶函数（或奇函数） ；2.定义法判断奇偶性的步骤：（1）判断函数的定义域是否关于原点对称；（2）计算 fx与 f是否具备等量关系；（3）下结论；3.利用性质法来判断奇偶性：（1）奇函数 奇函数 奇函数；（2）偶函数 偶函数 偶函数；（3）奇函数 奇函数 偶函数；（4）偶函数 偶函数 偶函数；（5）奇函数 偶函数 奇函数.【讲一讲释疑解惑】1.（1）利用定义判断函数奇偶性的步骤：（2）在判断奇偶性的运算中，可以转
11、化为判断奇偶性的等价等量关系式 x()0ff (奇函数) 或x()0f- (偶函数)是否成立（3）通过函数图象的对称关系也可以判断奇偶性若图象关于原点对称，则函数是奇函数；若图象关于y轴对称，则函数是偶函数（4）函数的奇偶性和周期性是函数在其定义域上的整体性质 .偶函数的图象关于 y 轴对称,在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性;奇函数的图象关于坐标原点对称,在关于坐标原点对称的定义域区间上具有 相同的单调性 .（5）特别注意“奇函数若在 x=0 处有定义,则一定有 f(0)=0”“偶函数一定有 f(|x|)=f(x)”在解题中的应用 .2.典型例题例 1.下列函数中，在 0,上单
12、调递减，并且是偶函数的是（ ）A.2yxB.3yxC. lgyx D. 2xy【答案】C【解析】对于 A 选项，结合二次函数 2的图象可知，函数 2为偶函数， 且在区间 0,上单调递增；对于 B 选项，函数 3yx为奇函数， 230yx在 ,上恒成立，则函数 3yx在区间0,上单调递减；对于 C 选项，函数 lg的定义域为 0,，且 lgl，故函数 lgyx为偶函数；对于 D 选项，结合对数函数 2xy的图象可知，函数 2xy为非奇非偶函数，且在区间 ,上单调递增.故选 C.例 2.【2018 届湖北省武汉市武昌区高三元月】奇函数 fx在 ， 单调递增，若 1f，则满足121fx的 的取值范围
13、是A. , B. , C. 0,4 D. 1,3【答案】D【解析】根据奇函数的性质有 11ff，故原不等式等价与 12x，解得 13x.函数的周期性【背一背基础知识】1周期函数：对于函数 fx，如果存在一个非零实数 T，使得当 x取定义域内的每一个值时，都有fxTf，那么函数 就叫做周期函数，非零常数 叫做这个函数的周期.2最小正周期：如果周期函数 fx的所有周期中存在一个最小的正数，那么最小的正数就叫做 fx的最小正周期.学-科网【讲一讲释疑解惑】1求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，形如 yAsin(x)，用公 式 T 计2|算递 推法：若 f(xa)f(x)，则 f(x2a
14、)f(xa)af(x a)f(x)，所以周期 T2a.换元法：若f(xa)f(x a)，令 xa t，xta ，则 f(t)f(t2a)，所以周期 T2a2.典型例题例 1.【2017 山东，文 14】已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 f(x+4)=f(x-2).若当 3,0 时, ()6xf,则 f(919)= .【答案】 6【解析】例 2. 【2016 高考四川文科】已知函数 ()fx是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数，当 0x1 时，()4xf，则 5()(12ff= .【答案】-2【解析】因为函数 ()fx是定义在 R上周期为 2 的奇函数，所以(1)0,1()(10ffff，所以 (1)f，即 (1)0f，
