1、专题五 平面向量第十三讲 平面向量的概念与运算答案部分1A【解析】通解 如图所示， EDCBA111()()222EBDACABA故选 A34优解 ()EDC故选 A1BC2B【解析】 ，故选 B2()(1)3aba3C【解析】由 ，可知 ， M|2B|AM由 ，可知 ， ，故 ，2NA|CN|3|3CN连接 ，则 ，且 ， ，B |BA()BOM 23()3()OMOM故选 C2|cos10|6N4A【解析】由 两边平方得， ，即+=ab 22abab，则 ，故选 A05A【解析】因为 为非零向量，所以 的充要条件是,mn|cos,0mnn因为 ，则由 可知 的方向相cos,0,反， ，所以
2、 ，所以“存在负数 ，使得 ”可,18cos,0mn推出“ ”；而 可推出 ，但不一定推出 的方向0mn0ncos,0mn,mn相反，从而不一定推得“存在负数 ，使得 ”，所以“存在负数 ，使得”是“ ”的充分而不必要条件6B【解析】设 ， ， ， ，AaCb1()2DEACba3()24DFEba，3544Fa ，故选 B.2518B7A【解析】由题意得 ，31322cos|BAC所以 ，故选 A30BC8C【解析】由题意，得 ，即 ，2()0aba2ba所以 ，所以 ，故选 Ccos,|b21439B【解析】对于 A 选项，设向量 、 的夹角为 ，ab ，A 选项正确；对于 B 选项，当向
3、量 、 反向|cs|a ab时， ， B 选项错误；对于 C 选项，由向量的平方等于向量模的|b平方可知，C 选项正确；对于 D 选项，根据向量的运算法则，可推导出，故 D 选项正确，综上选 B2()aa10C【解析】由题意可得 ， ，所3ab以 2241b故选 C11A【解析】 1()()()22EBFCABABCD12A【解析】由 ， ， 得 2()0a6ab1ab13B【解析】由题意得 ，两边平方化简得 ，2313cos69m638m解得 ，经检验符合题意m14B【解析】设 ，若 的表达式中有 0 个 ，则1234SxyxySab，记为 ，若 的表达式中有 2 个 ，则 ，2abSab2
4、记为 ，若 的表达式中有 4 个 ，则 ，记为 ，又 ，2 ab3|所以 ，2 213 ()0S，22ab， ，故 ，设 的夹角为 ，23()0321Smin34Sab,则 ，即 ，又 ，所以 min48|cos4|Sacos20315B【解析】对于 A，C， D，都有 ，所以只有 B 成立1e216B【解析】由于 ，令 ，而 是任意实2|ttAbaba22()fttbat数，所以可得 的最小值为()f，2222244cos4sin1aa即 ，则知若 确定，则 唯一确定2|sin1b|b17C【解析】 ， ，3(2,6)kab(23)c所以 = 解得 ，选 C(2)c0k18C【解析】因为 )
5、4(1BDAC，所以 BA，所以四边形的面积为 522| 2 ，故选 C19D【解析】由题意，设 ，则 ，过点 作 的垂线，垂足为 ，|40|1PB H在 上任取一点 ，设 ，则由数量积的几何意义可得，ABP0Ha， ，|(|)|PC 00|PBa于是 恒成立，相当于 恒成立，0 (|1)a整理得 恒成立，只需2|(1)|aB 22(4(1)0即可，于是 ，因此我们得到 ，即 是 的中点，2HAB故 是等腰三角形，所以 ABCACP0PHCBA20A【解析】 (3,4)B，所以 |5，这样同方向的单位向量是 1521A【解析】 =（ 2,1） ， =（ 5,5） ， 则 向 量 在 向 量 方
6、 向 上 的 射 影 为CDABCD2312)(cos2B22C【解析】建立平面直角坐标系，令向量 的坐标 ，,ab,0,1b又设 ，代入 得 ，,xyc1ca221xy又 的最大值为圆 上的动点到原点的距离的最大值，22y即圆心(1，1) 到原点的距离加圆的半径，即 23D【解析】因为 ，所以可以 A 为原点，分别以 ， 所在直线为1AB2 1AB2x 轴，y 轴建立平面直角坐标系设 B1(a,0)，B 2(0，b)，O(x，y) ，则 (a，b) ，即 P(a，b) P12由| | |1，得(x a) 2y 2x 2( yb) 21.O所以(x a)21y 20，( yb )21x 20.
7、由| | ，得 (xa) 2(y b)2 ，4即 01x 21 y2 .4所以 x 2y 22，即 .7427xy所以| |的取值范围是 ，故选 DOA,24B【解析】利用向量加法的三角形法则，易的 是对的；利用平面向量的基本定理，易的是对的；以 a的终点作长度为 的圆，这个圆必须和向量 b有交点，这个不一定能满足，是错的；利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须 =+bca，所以是假命题.综上，本题选 B.平面向量的基本定理考前还强调过，不懂学生做得如何.25C【解析】 22,0,1cos0,csos10.b正确的是 C26C【解析】 ，则222|aabab，所以 不垂
8、直，A 不正确，同理 B 也不正确；|0b,，则 ，所以 共线，故存在实数 ，使得 ，|cos1,baC 正确；若 ，则 ，此时 ，所以 D 不正确a|20|abab27B【解析】 ，由 ，得 ，解得(,2)b()c64(1)01228D【解析】 ，由 ，得 ，5k,5k ，解得 102k129C【解析】三角形的面积 S= ，而2|sin,ab222|()|()co,abab11|cos,|si30B【解析】若 与 共线，则有 ，故 A 正确；=0mqnpAab因为 ，而 ，所以有 ，pnqAbaab故选项 B 错误，故选 B 31 【解析】 ，因为 ，且 ，12(4,2)=(1,)c(2)c
9、32 【解析 】依题意 = ，根据向量垂直的充要条件可得mab，所以 1()0()所以 ，即 2412337【解析】 ，(,3)mab()=0ab所以 ，解得 (1)07342【解析】由题意 ，所以 ，即 0ab230m235 【解析 】 ， ,则3103cos6ABC 13ADBC，2()()4943DEB36 【解析】由 可得3ab162.373【解析】由 tn7可得 ，2cos10，由 = +7sin0OCmAnB得 ，即22OCAmOBAcos(45)cos45n两式相加得， 2(cos45)()1()mn 所以2031cs()7211mn 所以 338 【解析】因为 ，所以 ，解得2
10、(,1)(,2)xabab2(1)0x3x39 【解析】由题意 ，所以 6210m6403【解析】由题意得： 9,282,53.nmn419【解析】因为 OAB， |3，所以 9|)( 22OABA421【解析】由题意 ，)ln)(ln()fxaxfxax所以 ，解得 221a1=43 23【解析】由题可知，不妨 1(,0)e， 213(,)，设 (,)bxy，则 1bex， 23bxy，所以 (,)b，所以 344 【解析】由 ，得 为 的中点，故 为圆 的直径，901()2AOBCOBCO所以 与 的夹角为 BC9045 【解析】 ，由 ，16cosAurrucostanAur得 ，故 的
11、面积为 23ArBV11|in26BC46【解析】S 有下列三种情况：，2221ab，223Sab ， ，22123()|0Sabmin3S若 ，则 ，与 无关，正确；ab2min|若 ，则 ，与 有关，错误；Ai34ab|若 ，则 ，|4| 222min|cos|4|0Sbab正确；若 ，则2in|2|,8|ba222min38|cos4|8|Sa ， ，错误1cos347 【解析】 ， 可令 ， ，5| (cos,i)a0ab ，即 ，解得 得 cos20in12s1in25|48 【解析】 ， ， ，12ab2sincos2sincos ， (0,)1t492【解析 1】 (4,2)cm
12、因为 ， ，所以 ，os,|acos,|cb|cab又 ，所以|2|b即 (4)(2)4()2()mm2m【解析 2】由几何意义知 为以 ， 为邻边的菱形的对角线向量，又 ，cab|2|ba故 502【解析】 Ab= (1)tt= 2(1)t= 1t= t=0，解得 t= .512【解析】在正方形中， EADC, BADC,所以 222()()2EBD 52 【解析】向量与 的夹角为 10，且 |3,|,所以712cos32ACA.由 APBC得, 0,即 ()()0PBCAB,所以 22(1)A,即 49310，解得 71253 【解析】 2 21| |()33xxyyxyxbe，所以 的最
13、大值为 22 231()1()4yyxx|b54 1【解析】因为 E 为 CD 的中点，所以 1122BECADCABADCB，因为 1AC，所以 221()() 12DAB，即 21cos601AB，所以 2104AB，解得 12AB554【解析】如图建立坐标系， xy则 ，1,a，62b,3c由 ，可得 ，a12,456 【解析】b32220()04cos510babb3257 （） （）10,5【解析】 （）由 ，得 .设与 同向的单位向量,1,a=b23,1ab=2ab为 ，则 且 ，解得 故 .即,xyc2,30yx0,1.xy310,c=与 同向的单位向量的坐标为 2ab310,（
14、）由 ，得 .设向量 与向量 的夹角为 ，1,0,=2,ba=3ba则 3,105cos5ba58 【解析】9822494baA94 8abbab59 【解析】如图，向量 与 在单位圆 内，因| |=1，| |1，且以向量 ，5,6O为邻边的平行四边形的面积为 ，故以向量 ， 为边的三角形的面积为 ，故12 4的终点在如图的线段 上（ ，且圆心 到 的距离为 ） ，因此夹角ABAB2的取值范围为 5,6OBA60 【解析】由题意知 ，即 ，541212()()0kabee22110kkee即 ，化简可求得 2coscs03kk54611【解析】向量 + 与向量 - 垂直， ，abab()0kab-化简得 ，易知 ，故 ()1)k162 【解析】设 与 的夹角为 ，由题意有3()(ab，所以 ，因此 ，所以 coscos20 3631【解析】 ，由 ，得 ，(1,)mab()ac12()10m所以 =1
