1、习题 181 研究下列函数的连续性 并画出函数的图形 (1) 21 0)(2xxf解 已知多项式函数是连续函数 所以函数 f(x)在0 1)和(1 2内是连续的 在 x1 处 因为 f(1)1 并且 lim)(li2xf 1)2(li)li1xfx所以 从而函数 f(x)在 x1 处是连续的 1x综上所述，函数 f(x)在0 2上是连续函数 (2) 1| )(f解 只需考察函数在 x1 和 x1 处的连续性 在 x1 处 因为 f(1)1 并且 )lim)(li1fx (1fx所以函数在 x1 处间断 但右连续 在 x1 处 因为 f(1)1 并且f(1) f(1) li)(lifx 1lim
2、)(lixxf所以函数在 x1 处连续 综合上述讨论 函数在( 1)和( 1 )内连续 在 x1 处间断 但右连续 2 下列函数在指出的点处间断 说明这些间断点属于哪一类 如果是可去间断点 则补充或改变函数的定义使它连续 (1) x1 x232y解 因为函数在 x2 和 x1 处无定义 )(所以 x2 和 x1 是函数的间断点 因为 所以 x2 是函数的第二类间断点 23lim2xyx因为 所以 x1 是函数的第一类间断点 并)(1且是可去间断点 在 x1 处 令 y2 则函数在 x1 处成为连续的 (2) xk (k0 1 2 )ytan解 函数在点 xk(kZ)和 (kZ)处无定义 因而这
3、些x点都是函数的间断点 因 (k0) 故 xk(k0)是第二类间断点 xkxtanlim因为 (kZ) 所以 x0 和100tanli2kx(kZ) 是第一类间断点且是可去间断点 2x令 y|x01 则函数在 x0 处成为连续的 令 时 y0 则函数在 处成为连续的 2k(3) x0 cos2解 因为函数 在 x0 处无定义 所以 x0 是函数y1cos2的间断点 又因为 不存在 所以 x0 是函数的第xy1cos2xslim20二类间断点 (4) x 1 3解 因为 所以 x10)(li)li11fxx 2)3(li)li11xfxx是函数的第一类不可去间断点 3 讨论函数 的连续性 若有间
4、断点 判别其类fnn2lim)(型 解 1| 0|1li)(2xxfnn在分段点 x1 处 因为 1)(lim)(lixf 所以 x1 为函数的第一类不可去间断点 lim)(li1fx在分段点 x1 处 因为 li)(li1fxx 1)(li)li11xfx所以 x1 为函数的第一类不可去间断点 4 证明 若函数 f(x)在点 x0连续且 f(x0)0 则存在 x0的某一邻域 U(x0) 当 xU(x0)时 f (x)0证明 不妨设 f(x0)0 因为 f(x)在 x0连续 所以 由极限的局部保号性定理 存在 x0的某一去心)(lim00fx邻域 使当 x 时 f(x)0 从而当 xU(x0)时 f(x )0 这就)(0U )0是说 则存在 x0的某一邻域 U(x0) 当 xU(x0)时 f(x) 0 5 试分别举出具有以下性质的函数 f(x)的例子 (1)x0 1 2 n 是 f(x)的所有间断点 且它1们都是无穷间断点 解 函数 在点 x0 1 2 n xfcs)(1 处是间断的且这些点是函数的无穷间断点 (2)f(x)在 R上处处不连续 但|f (x)|在 R上处处连续 解 函数 在 R上处处不连续 但|f(x )|1 在 RQ 1上处处连续 (3)f(x)在 R上处处有定义 但仅在一点连续 解 函数 在 R上处处有定义 它只在 x0 处x 连续
