1、2017 年中考数学压轴题训练第一部分 函数图象中点的存在性问题1.1 因动点产生的相似三角形问题 例 1 如图 1，已知抛物线 （b 是实数且21()44yxb2）与 x 轴的正半轴分别交于点 A、B（点 A 位于点 B 是左侧） ，与 y 轴的正半轴交于点 C（1）点 B 的坐标为_，点 C 的坐标为_（用含b 的代数式表示） ；（2）请你探索在第一象限内是否存在点 P，使得四边形 PCOB的面积等于 2b，且PBC 是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点 Q，使得QCO、 QOA 和QAB
2、中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由图 1思路点拨1第（2）题中，等腰直角三角形 PBC 暗示了点 P 到两坐标轴的距离相等2联结 OP，把四边形 PCOB 重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含 b 的式子表示3第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点 Q 最大的可能在经过点 A 与 x 轴垂直的直线上满分解答（1）B 的坐标为(b, 0)，点 C 的坐标为(0, )4b（2）如图 2，过点 P 作 PDx 轴，PEy 轴，垂足分别为D、E ，那么 PDBPEC因此 PDPE设点 P 的坐
3、标为(x, x) 如图 3，联结 OP所以 S 四边形 PCOBS PCO S PBO 2b15248bxx解得 所以点 P 的坐标为( )165x16,5图 2 图 3（3）由 ，得 A(1, 0)，OA111()()44byxxb如图 4，以 OA、OC 为邻边构造矩形 OAQC，那么OQC QOA当 ，即 时，BQAQOABAQO2BAO所以 解得 所以符合题意的点 Q 为2()14b843b( )1,3如图 5，以 OC 为直径的圆与直线 x1 交于点 Q，那么OQC 90。因此OCQQOA当 时，BQAQOA此时OQB90BAQO所以 C、Q、B 三点共线因此 ，即 解BOAC14b
4、得 此时 Q(1,4)4图 4 图 5考点伸展第（3）题的思路是，A、C、O 三点是确定的，B 是 x 轴正半轴上待定的点，而QOA 与QOC 是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况这样，先根据QOA 与QOC 相似把点 Q 的位置确定下来，再根据两直角边对应成比例确定点 B 的位置如图中，圆与直线 x1 的另一个交点会不会是符合题意的点Q 呢？如果符合题意的话，那么点 B 的位置距离点 A 很近，这与OB 4OC 矛盾例 2 如图 1，已知抛物线的方程 C1： (m0)与 x(2)yx轴交于点 B、C ，与 y 轴交于点 E，且点 B 在点 C 的左侧（1）若抛物线 C1
5、过点 M(2, 2)，求实数 m 的值；（2）在（1）的条件下，求BCE 的面积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点 H，使得BHEH 最小，求出点 H 的坐标；（4）在第四象限内，抛物线 C1 上是否存在点 F，使得以点B、 C、F 为顶点的三角形与BCE 相似？若存在，求 m 的值；若不存在，请说明理由图 1思路点拨1第（3）题是典型的“牛喝水”问题，当 H 落在线段 EC 上时，BHEH 最小2第（4）题的解题策略是：先分两种情况画直线 BF，作CBFEBC45，或者作 BF/EC再用含 m 的式子表示点F 的坐标然后根据夹角相等，两边对应成比例列关于 m 的方程满分解答（
6、1）将 M(2, 2)代入 ，得 解得1(2)yxm124()m4（2）当 m4 时， 所以 C(4, 0)，E(0, 2()4x2)所以 SBCE 162BCOE（3）如图 2，抛物线的对称轴是直线 x1，当 H 落在线段 EC 上时，BHEH 最小设对称轴与 x 轴的交点为 P，那么 EOC因此 解得 所以点 H 的坐标为 34HP323(1,)2（4）如图 3，过点 B 作 EC 的平行线交抛物线于 F，过点 F 作FFx 轴于 F由于BCE FBC，所以当 ，即BC时，BCEFBC 设点 F 的坐标为 ，2BCEF 1(,2)(xxm由 ，得 解得 xm2所以 F(m2, 0)O1(2
7、)xm由 ，得 所以 EBF24BF2(4)由 ，得 2C 2()整理，得 016此方程无解图 2 图 3 图 4如图 4，作CBF45交抛物线于 F，过点 F 作 FFx 轴于F，由于EBCCBF，所以 ，即 时，BCE BEC2BEBFC在 RtBFF中，由 FFBF，得 1()2xmx解得 x2m所以 F 所以(2,0)mBF2m 2， B由 ，得 解得 CE (2)综合、，符合题意的 m 为 考点伸展第（4）题也可以这样求 BF 的长：在求得点 F、F 的坐标后，根据两点间的距离公式求 BF 的长例 3 直线 分别交 x 轴、y 轴于 A、B 两点， AOB 绕13yx点 O 按逆时针
8、方向旋转 90后得到COD，抛物线 yax 2bxc 经过 A、 C、 D 三点(1) 写出点 A、B、C、D 的坐标；(2) 求经过 A、C 、D 三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点 G的坐标；(3) 在直线 BG 上是否存在点 Q，使得以点 A、B、Q 为顶点的三角形与 COD 相似？若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由图 1思路点拨1图形在旋转过程中，对应线段相等，对应角相等，对应线段的夹角等于旋转角2用待定系数法求抛物线的解析式，用配方法求顶点坐标3第（3）题判断ABQ90是解题的前提4ABQ 与COD 相似，按照直角边的比分两种情况，每种情况又按照点 Q 与点 B 的位
9、置关系分上下两种情形，点 Q 共有 4 个满分解答（1）A(3，0)，B(0，1)，C(0，3) ，D(1，0) （2）因为抛物线 y ax2bxc 经过 A(3， 0)、C(0，3) 、D( 1，0) 三点，所以 解得 930,.ab,23.abc所以抛物线的解析式为 yx 22x3( x1) 24，顶点G 的坐标为(1 ，4) （3）如图 2，直线 BG 的解析式为 y3x1，直线 CD 的解析式为 y3x 3，因此 CD/BG因为图形在旋转过程中，对应线段的夹角等于旋转角，所以AB CD因此 ABBG，即ABQ90因为点 Q 在直线 BG 上，设点 Q 的坐标为(x，3x1) ，那么2(
10、3)10BxxRtCOD 的两条直角边的比为 13，如果 RtABQ 与 RtCOD 相似，存在两种情况：当 时， 解得 所以 ， A10x1(3,0)2(,8)Q当 时， 解得 所以 ， 3BQ3x,41,03图 2 图 3考点伸展第（3）题在解答过程中运用了两个高难度动作：一是用旋转的性质说明 ABBG；二是 2(3)10BQxx我们换个思路解答第（3）题：如图 3，作 GHy 轴， QNy 轴，垂足分别为 H、N通过证明AOB BHG ，根据全等三角形的对应角相等，可以证明ABG 90在 RtBGH 中， ， 1sin03cos10当 时， 3BQA在 RtBQN 中， ， siNBQ
11、cos9BNQ当 Q 在 B 上方时， ；当 Q 在 B 下方时， 1(3,0) 2(3,8)当 时， 同理得到 ， 1331(,)40例 4 RtABC 在直角坐标系内的位置如图 1 所示，反比例函数 在第一象限内的图象与 BC 边交于点 D（4，m ） ，与(0)kyxAB 边交于点 E（2，n） ，BDE 的面积为 2（1）求 m 与 n 的数量关系；（2）当 tanA 时，求反比例函数的解析式和直线 AB 的表1达式；（3）设直线 AB 与 y 轴交于点 F，点 P 在射线 FD 上，在（2）的条件下，如果AEO 与EFP 相似，求点 P 的坐标图 1思路点拨1探求 m 与 n 的数量
12、关系，用 m 表示点 B、D 、E 的坐标，是解题的突破口2第（2）题留给第（3）题的隐含条件是 FD/x 轴3如果AEO 与EFP 相似，因为夹角相等，根据对应边成比例，分两种情况满分解答（1）如图 1，因为点 D（4，m） 、E（2，n）在反比例函数的图象上，所以 整理，得 n2m kyx,2.kn（2）如图 2，过点 E 作 EHBC ，垂足为 H在 RtBEH 中，tan BEHtanA ，EH2，所以 BH1因此 D(4，m )，1E(2，2m) ， B(4，2m1)已知BDE 的面积为 2，所以 解得()2BDEm1因此 D(4，1) ， E(2，2) ，B (4，3)因为点 D（
13、4，1）在反比例函数 的图象上，所以 k4因kyx此反比例函数的解析式为 4yx设直线 AB 的解析式为 ykxb，代入 B(4，3)、E(2，2)，得解得 ， 34,2.kb12k因此直线 AB 的函数解析式为 12yx图 2 图 3 图 4（3）如图 3，因为直线 与 y 轴交于点 F（0，1） ，点 D12yx的坐标为（4，1） ，所以 FD/ x 轴，EFPEAO因此AEO与EFP 相似存在两种情况：如图 3，当 时， 解得 FP1此时点 P 的EAFOP52P坐标为（1，1） 如图 4，当 时， 解得 FP5此时点 P 的EAFPO25FP坐标为（5，1） 考点伸展本题的题设部分有条
14、件“RtABC 在直角坐标系内的位置如图1 所示” ，如果没有这个条件限制，保持其他条件不变，那么还有如图 5 的情况：第（1）题的结论 m 与 n 的数量关系不变第（2）题反比例函数的解析式为 ，直线 AB 为 第（3）题 FD 不再与1yx17yxx 轴平行，AEO 与 EFP 也不可能相似图 5例 5 如图 1，已知梯形 OABC，抛物线分别过点 O（0，0） 、A（2，0） 、B（6，3） （1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点 M 的坐标；（2）将图 1 中梯形 OABC 的上下底边所在的直线 OA、CB 以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点 O1、A 1、C 1、B 1，
15、得到如图 2 的梯形 O1A1B1C1设梯形 O1A1B1C1 的面积为 S，A 1、 B1的坐标分别为 (x1，y 1)、(x 2，y 2)用含 S 的代数式表示 x2x 1，并求出当 S=36 时点 A1 的坐标；（3）在图 1 中，设点 D 的坐标为(1，3)，动点 P 从点 B 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿着线段 BC 运动，动点 Q 从点 D 出发，以与点 P 相同的速度沿着线段 DM 运动P、Q 两点同时出发，当点 Q 到达点 M 时，P、Q 两点同时停止运动设 P、Q 两点的运动时间为 t，是否存在某一时刻 t，使得直线 PQ、直线 AB、x 轴围成的三角形与直线 PQ、
16、直线 AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出 t 的值；若不存在，请说明理由图 1 图 2思路点拨1第（2）题用含 S 的代数式表示 x2x 1，我们反其道而行之，用 x1，x 2 表示 S再注意平移过程中梯形的高保持不变，即y2y 13通过代数变形就可以了2第（3）题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的位置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证3第（3）题的示意图，不变的关系是：直线 AB 与 x 轴的夹角不变，直线 AB 与抛物线的对称轴的夹角不变变化的直线 PQ 的斜率，因此假设直线 PQ 与 AB 的交点 G 在 x 轴的下方，或者假设
17、交点 G 在 x 轴的上方满分解答（1）抛物线的对称轴为直线 ，解析式为 ，顶点1x2184yx为 M（ 1， ） 8（2） 梯形 O1A1B1C1 的面积 ，1212()3()6Sx由此得到 由于 ，所以123sx23y整理，得 因22184yx2121()()84xx此得到 217xS当 S=36 时， 解得 此时点 A1 的坐标为214,.x126,8.x（6，3） （3）设直线 AB 与 PQ 交于点 G，直线 AB 与抛物线的对称轴交于点 E，直线 PQ 与 x 轴交于点 F，那么要探求相似的GAF 与GQE ，有一个公共角 G在GEQ 中，GEQ 是直线 AB 与抛物线对称轴的夹角
18、，为定值在GAF 中， GAF 是直线 AB 与 x 轴的夹角，也为定值，而且GEQ GAF因此只存在GQE GAF 的可能，GQEGAF这时GAF GQEPQD由于 ， ，所以 解得3tan4GAFtan5DQtP345t207t图 3 图 4考点伸展第（3）题是否存在点 G 在 x 轴上方的情况？如图 4，假如存在，说理过程相同，求得的 t 的值也是相同的事实上，图 3 和图 4 都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图 3例 6 如图 1，已知点 A (-2，4) 和点 B (1，0)都在抛物线上ymxn（1）求 m、n；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点 A 的对应点为 A，点B 的对应点为 B，若四边形 A ABB 为菱形，求平移后抛物线的表达式；（3）记平移后抛物线的对称轴与直线 AB 的交点为 C，试在x 轴上找一个点 D，使得以点 B、C 、 D 为顶点的三角形与 ABC相似图 1 思路点拨1点 A 与点 B 的坐标在 3 个题目中处处用到，各具特色第（1）题用在待定系数法中；第（2）题用来计算平移的距离；第（3）题用来求点 B 的坐标、AC 和 BC的长2抛物线左右平移，变化的是对称轴，开口和形状都不变3探求ABC 与B CD 相似，根据菱形的性质，BACCB D，因此按照夹角的两边对应成比例，分两种情况讨论满分解答
