1、1整系数多项式的有理根的定理及求解方法系别 pa(2) ,但 ；1|mnmnpa(3) (i)当 时， 。且 ；|,12,.knm12|,.,nmpa(ii)当 时，其中 为正整数， ()snss|,12,.knn(注：当 时 ，与(i)相同 ) ，那么 ，多项式 无有理根 。 1 ()fx证明： (i)当 时，假设多项式 存在有理根 ， ，则在有理数m()fxrs(,)域上 从而 。因为 互素，所以 是一个本原多()|(rxfs()|(sxrf,rsxr项式，根据推论由 ，依次类推，即得 ，所以 。1.2.1 知mn2|nmbp21|nmrbp式中 都是整数，比较两120 21()(.)nn
2、fxsrbxbx0121,.,n8边系数，即得 （ ） 01021111222223112.nmnmnmnnnnnsbarsbarbsbarbr因为 是素数，且 ，由（）知 ，所以 或 ，p|pa1|nprb|pr1|nb同时，因为 ，所以 且 。 0sbs0如果 ，那么由 ，及 ()中 ，所以|pr 1|nmpa 11nmnnmsbarb。1|nmsb即 ，故 。1|np21|nmprb又因为 及 ，所以 ，即 。22|nma222nnmnsarb22|nmpsb22|nmpb又因为 及 ,1|np12nnb所以 ,即 ,1|mnsb1|mnp所以 ,故 。与 矛盾。必有 ，则 。1|pra
3、|nmap/| pr1|nb由于 及由 ()式中 ，1|n 211nnnrbs所以 ，但 ，必有 。 2|nprbpr2|np由()式依次类推知 。 1|b由 及 ，得 。又由前面所述知 且 ， 为素数。1|pa10sbar0|pr 0/|bprp矛盾！故 无有理根。 ()fx(ii)当 是正整数且 时， (因为 的情况为上述()1,snmsns1s1s所证明)。此时，在 中，令 ，得 fxx1spy91()()sfxfpy(1)(1)110 .snsn snnapyaapya 令 )( )1()1()1(10)1( ygpaypypap nsnsnsnsns 由定理的条件显然知， 的系数 均
4、为整数 ()g,2)1(is因为 ， 是正整数，且由定理 3.1.2 的 (1) (2)(1),snmsns知 ， ，但0pansnsmpa)1()1(| nsnsmpa)1()1(/|又由定理 3.1.2 中 (3) (ii)知， )(1)1(|insins其中 ， 及 ，1,2.i(1)msn )1(1)2-(s,| nsspapa同时 ()()sn由(i)证明知 无有理根， 故 无有理根。 gy()fx3.2 整系数多项式有理根的求法定理 3.2.1【5】 设既约分数 ，多项式 除整系数多项式0srsrx110().nnfxaa所得的商式为 21bxbpnn余式为常数 ，多项式 除多项式
5、csr nnxag01)(所得的商式为 ，则)(xq() 为 的一个根的充要条件为 的各系数都能被 整除，并且 ；srf )(xps0c10() 为 的一个根的充要条件是 为 的一个根；sr)(xf sr)(xq()当 为 的一个根时，sr)(xf )()( 1021nnxbbsrxq证明 () 充分性是很明显的.下面证必要性.因 是多项式 的一个根，故存在整系数多项式 使 sr)(f 01ccn)(01xcrsxn从而 )()( 01scsfn这时， ， ， 的各系数均能被 整除0cxp01cscn (xps()充分性：若 为 的一个根，则r)(q 0)()01nnrarsa在上式两边同乘以 ，有ns()1srann故 为 的一个根.sr)(xf必要性：显然类似可证.() 若 为 的一个根，则 ，即sr)(f )()srxf(p)0101 bbaxannn 于是， ，)(11 isriii nn ,2在上式两边同除以 得，ni)1(iqnniaia)1()(01，)( 102nnibbrs,i从而有多项式恒等定理，
