1、第 1 页 共 4 页(经典)最全余弦定理的 10 种证明方法王彦文 青铜峡一中一、余弦定理余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍,即在 中 ,已知 , , ,则有ABCcBCaAb,22cosb,c.22csaC二、定理证明为了叙述的方便与统一,我们证明以下问题即可:在 中,已知 , ,及角 ,求证: .ABCcACb22cosabA证法一:如图 1,在 中 ,由 可得:BBA()()2ACcosbA即, .22a证法二:本方法要注意对 进行讨论.(1)当 是直角时,由 知结论成立.A2222coscos90bAbbca(2)当 是锐角时,如图
2、 2-1,过点 作 ,交 于点 ,则CDBD在 中, , .RtCDin从而, .cosBb在 中,由勾股定理可得 :t222(cos)(in)bA2即, .2csa图1CA B图2-1DCA B第 2 页 共 4 页说明:图 2-1 中只对 是锐角时符合,而 还可以是直角或钝角 .若 是直角,图中的BBB点 就与点 重合；若 是钝角,图中的点 就在 的延长线上.DDA(3)当 是钝角时,如图 2-2,过点 作 ,交 延长线于点 ,则ACD在 中, , .RtCcos()cosDbbsin()sinbbA从而, .B在 中,由勾股定理可得 :t222(cos)(in)bA2即, .2csa综上
3、(1),(2),(3)可知,均有 成立.22cosabA证法三:过点 作 ,交 于点 ,则ADBCD在 中, , .Rtsincsc在 中, , .bob由 可得:cos()ssinA2DBCADBCcbbc2A22D22()bcBDC2bca整理可得 .22osaA证法四:在 中,由正弦定理可得 .ABinsiinsi()abcBCAB从而有 ,siniba. ()sicosicaAa将带入,整理可得 .cBb图2-2D BAC图3DBAC第 3 页 共 4 页将,平方相加可得 .2222(cos)(in)cosabAbA即, .22csab证法五:建立平面直角坐标系(如图 4),则由题意可
4、得点 , , ,再由两点间距离公式0)ABc(os,in)CAb可得 .2a22()b2cosbA即, .cs证法六:在 中,由正弦定理可得 , , .ABCsinaRsinbB2sincRC于是, 2224sinsi()aRBC2(coisicos)C22siisnniB4(nicos()RBC22siisA()()(in)(2si)coRB2cosbA即,结论成立.证法七:在 中,由正弦定理可得 , , .BC2sinaRA2sinbB2sincRC于是, 22cosabA2224sini4si8sicosRBC2nnAsicos2sicsA2()co()4iosBCBC由于 ,因此cs(
5、)ssA2oc()2incsAAcs()siBCxy 图4 BA(O)C第 4 页 共 4 页. 这,显然成立.coscosinscos()ABCBC即,结论成立.证法八:如图 5,以点 为圆心,以 为半径作 ,直线 与 交于点 ,延长AbAADE交 于 ,延长 交 于 .ABCFAG则由作图过程知 ,2cosb故 .2cosb由相交弦定理可得: ,BFDE即, ,(s)()Aab整理可得: .22cosabA证法九:如图 6,过 作 ,交 的外接圆于 ,则 , .分CBCDABCaDAb别过 作 的垂线,垂足分别为 ,则 ,故 .,CDABEFcosb2cosb由托勒密定理可得 ,AD即, .(2cos)ab整理可得: .证法十:由图 7-1 和图 7-2 可得 ,2a22(cos)(in)bA整理可得: .22cosabbcosAabsinAc-bcosAac-bcosAbsinA图 7-2图 7-1DEDA BCCB余弦定理的证明方法还有很多,比如可以用物理方法证明、可以构造相似三角形证明、可以利用图形面积证明等.感兴趣的读者可以到图书馆或互联网中进行查询.ba c2bcosA-c b-abb图5GDEFC ABcb aa图 6FEDCBA
