1、第十章 静电场中的导体和电介质一 选择题1. 半径为 R 的导体球原不带电，今在距球心为 a 处放一点电荷 q ( aR) 。设无限远处的电势为零，则导体球的电势为 ( ) 20200 4 .D 4.C 4 .B 4 .A )(Rqaqaq o解：导体球处于静电平衡，球心处的电势即为导体球电势，感应电荷分布在导体球表面上，且 ，它们在球心处的电势)(qqRVd41d00点电荷 q 在球心处的电势为 aV据电势叠加原理，球心处的电势 。004所以选（A）2. 已知厚度为 d 的无限大带电导体平板，两表面上电荷均匀分布，电荷面密度均为 ，如图所示，则板外两侧的电场强度的大小为 ( )0000 2
2、.D .C 2 .B2. dE=EE 解：在导体平板两表面外侧取两对称平面，做侧面垂直平板的高斯面，根据高斯定理，考虑到两对称平面电场强度相等，且高斯面内电荷为 ，可得 。S0所以选（C）3. 如图，一个未带电的空腔导体球壳，内半径为 R，在腔内离球心的距离为 d 处( d0)或与导d /3d选择题 9 题体表面垂直朝里(0)。2. 如图所示，一无限大均匀带电平面附近设置一与之平行的无限大平面导体板。已知带电面的电荷面密度为 ，则导体板两侧面的感应电荷密度分别为 1 和 2 = 。解：由静电平衡条件和电荷守恒定律可得：； 。由此可解得：0220121； 。13. 半径为 R1 和 R2 的两个
3、同轴金属圆筒 (R1 R2)，其间充满着相对介电常数为 r 的均匀介质，设两筒上单位长度带电量分别为 和 ，则介质中的电位移矢量的大小 D= ，电场强度的大小 E= 。 解：根据有介质情况下的高斯定理，选同轴圆柱面为高斯面，则有 D= /（2r ） ，电场强度大小 E= D/ r 0= /（2 r 0 r） 。4. 平行板电容器的两极板 A、 B 的面积均为 S，相距为 d，在两板中间左右两半分别插入相对介电常数为 r1 和 r2 的电介质，则电容器的电容为 。解：该电容器相当于是两个面积为 S/2 的电容器的并联，电容值分别为：， ，dC21r01d21r0)(r15. 半径为 R 的金属球
4、 A，接电源充电后断开电源，这时它储存的电场能量为 5105J,今将该球与远处一个半径是 R 的导体球 B 用细导线连接，则 A 球储存的电场能量变为 。解：金属球 A 原先储存的能量 ,当它与同样的金属球 BJ1052CQW连接，则金属球 A 上的电荷变为原来的 1/2，则能量J1025.)/(21CQW6. 三个完全相同的金属球 A、 B、 C ，其中 A 球带电量为 Q，而 B、C 球均不带电，先使 A 球同 B 球接触，分开后 A 球再和 C 球接触，最后三个球分别孤立地放置，则 A 、B 两球所储存的电场能量 WeA 、W eB ，与 A 球原先所储存的电场能量 We0 比较，W e
5、A 是 We0 的 倍，W eB 是 We0 的 倍。 1 2填充题 2 图解：初始 A 球的电场能量 ，先使 A 球同 B 球接触，则CQW20e1， ，QB 0e241)/(WB分开后，A 球再和 C 球接触，则，A41 0e2e16)/(CA7. 一空气平行板电容器，其电容值为 C0，充电后将电源断开，其储存的电场能量为 W0，今在两极板间充满相对介电常数为 r 的各向同性均匀电介质，则此时电容值 C= ，储存的电场能量 We = 。解：初始时电容 ，充电后将电源断开，Q 0 不变，由 ，0U r0/DE当两极板间充满电介质时，两极板电势差 ，rr0r0USdQEd。0rCUQr0r20
6、1CW8. 一平行板电容器，极板面积为 S，间距为 d，接在电源上并保持电压恒定为 U。若将极板距离拉开一倍，那么电容器中静电能的增量为 ，电源对电场做功为 ，外力对极板做功为 。解：初始时，电容器的静电能 ，将极板距离拉开200012USQe一倍，电容值变为 ，极板间电压不变，012CdS，此时电容器的静电能01QUCQ20ee42W电容器中静电能的增量 20ee41UdSW电源对电场做功 0)21(QUq由能量守恒，电源和外力做功的和等于电容器中静电能的改变，所以外力做的功 dSdSW4242000e 9. 平板电容器两板间的空间（体积为 V）被相对介电常数为 r 的绝缘体充填，极板上电荷
7、的面密度为 ，则将绝缘体从电容器中取出过程中外力所做的功为 。 （摩擦不计）解：当平板电容器充满相对介电常数为 r 电介质时，场强，抽出后场强r0r1DE02DE此时具有的静电能 VEVwWe r0221re1 dd当电介质取出后静电能 202由能量守恒，在此过程中若不计摩擦，外力做功的等于静电能的增量)1(1r0r00e VV三 计算题1. 如图所示，一内半径为 a、外半径为 b 的金属球壳，带有电量 Q，在球壳空腔内距离球心 r 处有一点电荷 q，设无限远处为电势零点，试求：(1)球壳内外表面上的电荷；(2)球心处由球壳内表面上电荷产生的电势； (3)球心处的总电势。解：（1）由静电感应，
8、金属球壳的内表面上有感应电荷 q，外表面上带电荷 q+Q。（2）不论球壳内表面上的感应电荷是如何分布的，因为任一电荷元离 O 点的距离都是 a，所以由这些电荷在O 点产生的电势为 qVq004d （3）球心 O 点处的总电势为分布在球壳内外表面上的电荷和电荷 q 在 O点产生的电势的代数和 bQarqbaqrq00 00 4)1(4 4 2. 一导体球半径为 R1，其外部是一个同心的厚导体球壳，球壳内、外半径分别为 R2 和 R3。此系统带电后内球电势为 U， 外球壳所带总电量为 Q。求此系统各处的电势和电场分布。解：设内球带电 q1，则baq rQ计算题 1 图)(4112310RqQU由此
9、得 121Rq： ， 1RrE： 2 )(41230rq 2014rqE： ， 32r1RQU0： Rrq042014rqE3. 在一半径为 R1=6.0cm 的金属球 A 外面套有一个同心的金属球壳 B。已知球壳 B 的内、外半径分别为 R2=8.0cm，R 3=10.0cm。设 A 球带有总电量QA=310-8C，球壳 B 带有总电量 QB=210-8C。求：（1 ）球壳 B 内、外表面上所带的电量以及球 A 和球壳 B 的电势；（2）将球壳 B 接地然后断开，再把金属球 A 接地。求金属球 A 和球壳 B 内、外表面上所带的电量以及球 A 和球壳B 的电势。解：（1） B8103内CBA
10、5外VRQUBA33210 106.54BAB310.4（2）B 球接地后断开，则 B 球的带电量为 ，然后内球接CB8地，则内球电势 ，设此时内球带电量为 则有0A Aq04432010 RQRqUA解得： CQBA8321.； qB810.内 CqAB810.外 VRqUAB23109.744. 电荷以相同的面密度 分布在半径为 r1=10cm 和 r2=20cm 的两个同心球面上，设无限远处电势为零，球心处的电势为 V0=300V。 （1） 求电荷面密度 ；（2）若要使球心处的电势也为零，外球面上应放掉多少电荷？解：（1）球心处的电势为两个同心带电球面各自在球心处产生的电势的叠加，即)(
11、) 4 ( 41)( 41 2102120200 rrrqV C/m292185.V（2）设外球面上放电后电荷面密度为 ，则应有 ) ( 210rV即 ，所以外球面上应变成带负电，共应放掉电荷：21rC9202121 1067.4)(4)(4) (4 rrrq5. 有两块平行板，面积各为 100 cm2 板上带有 8.9107C 等值异号电荷，两板间充以介电物质，已知介质内部场强为 1.4106Vm1,求：(1) 介质的相对介电常数；(2)介质表面上的极化面电荷 Q。解：（1）由电介质中的高斯定理得 =D25/m09.8SQ2.70rE（2） C1.)(9r0SPQ6. 半径为 R 的导体球，
12、带有正电荷 Q，球外有一同心均匀电介质球壳，球壳的内外半径分别为 a 和 b，相对介电常数为 r 。求：（1）介质内外的 D 和E；（2 ）介质内的极化强度矢量 P 和介质表面的极化电荷面密度。解：（1）由电介质中的高斯定理得： ， R0， r2 4rQD又由 ，得： ， r0DRr0E， a204rQ， brr， 204ED 和 E 的方向均沿径向向外。（2）介质内的极化强度矢量 P 的大小 2r0r0r0e0 4)1()1(QEne介质下表面极化电荷面密度 2r0r0)(aa介质上表面的极化电荷面密度 rr41bb7. 两同心导体球壳中间充满相对介电常数为 r 的均匀电介质，其余为真空，内
13、球壳半径为 R1，带电量为 Q1；外球壳半径为 R2，带电量为 Q2，如图所示。求图中距球心O 分别为 r1、r 2、r 3 的 a、b、c 三点的场强和电势。解：分别取半径为 r1、r 2、r 3 的高斯球面，利用高斯定理得： Ea=0沿径向方向向外,42r01b沿径向方向向外,2Qc ，1Rr 2211 20121r04)(4ddRcRbra RQRQErEU ，2 222 rrrb，3r 33 301014d4drrcc 8. 一空气平行板电容器，两极板面积均为 S，板间距离为 d，在两极板间平行地插入一面积也是 S，厚度为 t 的金属片，试求：(1) 电容 C 等于多少？(2)金属片在
14、两极板间放置的位置对电容值有无影响？解：设极板上分别带电量+q 和q；金属片与 A 板距离为 d1，与 B 板距离为 d2；金属片与 A 板间场强为E1 =q / ( 0 S )金属板与 B 板间场强为 E2 =q / ( 0 S )金属片内部场强为 则两极板间的电势差为UAUB=E1d1+E2d2 =( q / 0S)(d1+d2) = (q / 0S) (d t)计算题 7 图r2r3 bO R1r1cR2 Q1aQ2dd2d1tq+qA B由此得 C=q /(UA UB) = 0S /（d t ）因 C 值仅与 d、t 有关，与 d1、d 2 无关，故金属片的安放仅置对电容值无影响。9.
15、 为了测量电介质材料的相对电容率，将一块厚为 1.5cm 的平板材料慢慢地插进一电容器的距离为 2.0cm 的两平行板之间。在插入过程中，电容器的电荷保持不变。插入之后，两板间的电势差减小为原来的 60%，问电介质的相对电容率为多少？解：加入电介质后，电容器极板上的电荷保持不变，则空气中的场强保持不变，空气中的场强 ，而电介质中的场强 ，两极板间的电dUErdUE势差为dE)(由此得 1.2)(r U10. 假想从无限远处陆续移来微量电荷使一半径为 R 的导体球带电。 （1）当球上已带有电荷 q 时，再将一个电荷元 dq 从无限远处移到球上的过程中，外力作多少功？（2）使球上电荷从零开始增加到
16、 Q 的过程中，外力共作多少功？解：（1）令无限远处电势为零，则带电量为 q 的导体球，其电势为RV04将 dq 从无限远处搬到球上过程中外力作的功等于该电荷远在球上所具有电势能qWdd0e （2）带电球体的电荷从零增加到 Q 的过程，外力作功为RQ002 8 4 11. 半径为 2.0 厘米的导体球外套有一个与它同心的导体球壳，壳的内外半径分别为 4.0 厘米和 5.0 厘米，球与壳间是真空，壳外也是真空。当内球带电荷为 3.0108 库仑时，试求：（1）这个系统的静电能；（ 2）如果用导线把壳与球连在一起，结果如何？解：（1）设内球带电量为 Q，球半径为 r1 ,导体球壳内外半径分别 r2、r 3由高斯定理，球壳内外空间场强均为 204E外球壳的电势 V.5d4332023 rrV
