1、12013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(全国卷 II 新课标)第卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1)已知集合 M x|3 x1， N3，2，1,0,1，则 M N( )A2，1,0,1 B3，2，1,0 C2，1,0 D 3，2，12 ( )iA B2 C D 13设 x， y 满足约束条件 则 z2 x3 y 的最小值是( )0,3,xyA7 B6 C5 D34 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 b2， ， ，则 ABC 的面积为( 6B4C)A B C D23+1331
2、5设椭圆 C： (a b0)的左、右焦点分别为 F1， F2， P 是 C 上的点，2=xyPF2 F1F2， PF1F230，则 C 的离心率为( )A B C D361236已知 sin 2 ，则 ( )cos4A B C D131237执行下面的程序框图，如果输入的 N4，那么输出的 S( )A B+241+24C D135 1354328设 alog 32， blog 52， clog 23，则( )Aacb Bbca Ccba Dcab9一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视
3、图时，以 zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )10设抛物线 C： y24 x 的焦点为 F，直线 l 过 F 且与 C 交于 A， B 两点若| AF|3| BF|，则 l 的方程为( )Ayx1 或 yx1 By 或 y3()x3(1)x2Cy 或 y Dy 或 y3(1)x3(1)x2(1)x2(1)x11已知函数 f(x) x3 ax2 bx c，下列结论中错误的是( )Ax0R ，f(x0) 0B函数 yf(x)的图像是中心对称图形C若 x0 是 f(x)的极小值点，则 f(x)在区间(，x0)单调递减D若 x0 是 f(x)的极值点，则 f(x0)012若存在正数 x 使
4、 2x(x a)1 成立，则 a 的取值范围是( )A(，) B(2，) C(0，) D(1，)第卷二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13从 1,2,3,4,5 中任意取出两个不同的数，其和为 5 的概率是_14已知正方形 ABCD 的边长为 2， E 为 CD 的中点，则 _.AEBD15已知正四棱锥 O ABCD 的体积为 ，底面边长为 ，则以 O 为球心， OA 为半径的球的表面33积为_16函数 ycos(2 x )( )的图像向右平移 个单位后，与函数 y 的2sin23x图像重合，则 _.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 (本小题满分 12 分)已
5、知等差数列 an的公差不为零， a125，且 a1， a11， a13成等比数列(1)求 an的通项公式；(2)求 a1 a4 a7 a3n2 .18 (本小题满分 12 分)如图，直三棱柱 ABC A1B1C1中， D， E 分别是 AB， BB1的中点319 (本小题满分 12 分)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出 1 t 该产品获利润 500 元，未售出的产品，每 1 t 亏损 300 元根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示经销商为下一个销售季度购进了 130 t 该农产品以 X(单位：t,100 X150)表示下一个销售季度内的市场需求量， T
6、(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润(1)将 T 表示为 X 的函数；(2)根据直方图估计利润 T 不少于 57 000 元的概率20 (本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 在 y 轴上截得2线段长为 .23(1)求圆心 P 的轨迹方程；(2)若 P 点到直线 y x 的距离为 ，求圆 P 的方程221 (本小题满分 12 分)已知函数 f(x) x2e x.(1)求 f(x)的极小值和极大值；(2)当曲线 y f(x)的切线 l 的斜率为负数时，求 l 在 x 轴上截距的取值范围422 (本小题满分 10 分)选修 41：几
7、何证明选讲如图， CD 为 ABC 外接圆的切线， AB 的延长线交直线 CD 于点 D， E， F 分别为弦 AB 与弦 AC 上的点，且BCAE DCAF， B， E， F， C 四点共圆23 (本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程已知动点 P， Q 都在曲线 C： (t 为参数)上，对应参数分别为 t 与 t2 (0 2)，2cos,inxyM 为 PQ 的中点(1)求 M 的轨迹的参数方程；(2)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 的函数，并判断 M 的轨迹是否过坐标原点24)(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲设 a， b， c 均为正数，且 a b c1.
8、证明：(1)ab bc ca ；13(2) 1.22bca52013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(全国卷 II 新课标)第卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1答案：C解析：由题意可得， M N2，1,0故选 C.2答案：C解析： 1i， |1i| .i23答案：B解析：如图所示，约束条件所表示的区域为图中的阴影部分，而目标函数可化为 ，先画出23zyxl0： y ，当 z 最小时，直线在 y 轴上的截距最大，故最优点为图中的点 C，由 可得23x ,10,C(3,4)，代入目标函数得， zmin23346.4
9、 答案：B解析： A( B C) ，76412由正弦定理得 ，siniab则 ，72162isibB S ABC .n ()312aC5 答案：D解析：如图所示，在 Rt PF1F2中，| F1F2|2 c，设| PF2| x，则| PF1|2 x，由 tan 30 ，得 .23|Pc3x而由椭圆定义得，| PF1| PF2|2 a3 x， ， .3axec6 答案：A解析：由半角公式可得， 2os46 .21cos21sin367 答案：B解析：由程序框图依次可得，输入 N4，T1， S1， k2；， ， k3；+， S ， k4；31， ， k5；142T32输出 .48答案：D解析：lo
10、g 25log 231，log 231 0，即2log21l5log231log 32log 520， c a b.9 答案：A解析：如图所示，该四面体在空间直角坐标系 O xyz 的图像为下图：则它在平面 zOx 的投影即正视图为 ，故选 A.10 答案：C解析：由题意可得抛物线焦点 F(1,0)，准线方程为 x1.当直线 l 的斜率大于 0 时，如图所示，过 A， B 两点分别向准线 x1 作垂线，垂足分别为 M， N，则由抛物线定义可得，| AM| AF|，| BN| BF|.设| AM| AF|3 t(t0)，| BN| BF| t，| BK| x，而| GF|2，在 AMK 中，由
11、，得 ，|NBKAM34解得 x2 t，则 cos NBK ，1|2tx NBK60，则 GFK60，即直线 AB 的倾斜角为 60.斜率 ktan 60 ，故直线方程为 y 33()x当直线 l 的斜率小于 0 时，如图所示，同理可得直线方程为 y，故选 C.3(1)x711答案：C解析：若 x0是 f(x)的极小值点，则 y f(x)的图像大致如下图所示，则在(， x0)上不单调，故 C 不正确12答案：D解析：由题意可得， (x0)12a令 f(x) ，该函数在(0，)上为增函数，可知 f(x)的值域为12x(1，)，故 a1 时，存在正数 x 使原不等式成立第卷本卷包括必考题和选考题两
12、部分。第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22 题第24 题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13答案：0.2解析：该事件基本事件空间 (1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)共有 10 个，记 A“其和为 5”(1,4)，(2,3)有 2 个， P(A) 0.2.21014答案：2解析：以 为基底，则 ，,BD0BD而 ， ，1AE ()()2A.21B15答案：24解析：如图所示，在正四棱锥 O ABCD 中， VO ABCD S 正方形13ABC
13、D|OO1| |OO1| ，32()32| OO1| ，| AO1| ，68在 Rt OO1A 中， OA ，即 ，2211|OA22366R S 球 4 R224.16答案： 56解析： ycos(2 x )向右平移 个单位得， cos(2 x )2cos2yx，而它与函数 的图像重合，令sin2+=sinin32x 2 x 2 k， kZ，3得 ， kZ.56又 ， .56三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17解：(1)设 an的公差为 d.由题意， a1a13，2即( a110 d)2 a1(a112 d)于是 d(2a125 d)0.又 a125，所以 d0(舍去)，
14、d2.故 an2 n27.(2)令 Sn a1 a4 a7 a3n2 .由(1)知 a3n2 6 n31，故 a3n2 是首项为 25，公差为6 的等差数列从而 Sn (a1 a3n2 ) (6 n56)3 n228 n.18 (1)证明： BC1平面 A1CD；(2)设 AA1 AC CB2， AB ，求三棱锥 C A1DE 的体积解：(1)连结 AC1交 A1C 于点 F，则 F 为 AC1中点又 D 是 AB 中点，连结 DF，则 BC1 DF.因为 DF平面 A1CD， BC1 平面 A1CD，所以 BC1平面 A1CD.(2)因为 ABC A1B1C1是直三棱柱，所以 AA1 CD.
15、由已知 AC CB， D 为 AB 的中点，所以 CD AB.又 AA1 AB A，于是 CD平面 ABB1A1.由 AA1 AC CB2， 得 ACB90， ， ， ， A1E3，22CD16AD故 A1D2 DE2 A1E2，即 DE A1D.所以 VC A1DE 1.63319解：(1)当 X100,130)时， T500 X300(130 X)800 X39 000.当 X130,150时， T50013065 000.所以 809,103,65,35.T9(2)由(1)知利润 T 不少于 57 000 元当且仅当 120 X150.由直方图知需求量 X120,150的频率为 0.7，
16、所以下一个销售季度内的利润 T 不少于 57 000 元的概率的估计值为 0.7.20解：(1)设 P(x， y)，圆 P 的半径为 r.由题设 y22 r2， x23 r2.从而 y22 x23.故 P 点的轨迹方程为 y2 x21.(2)设 P(x0， y0)由已知得 .0|2y又 P 点在双曲线 y2 x21 上，从而得 01|,.由 得02,xy0,1.y此时，圆 P 的半径 r .3由 得02,x0,.此时，圆 P 的半径 .r故圆 P 的方程为 x2( y1) 23 或 x2( y1) 23.21解：(1) f(x)的定义域为(，)，f( x)e xx(x2)当 x(，0)或 x(
17、2，)时， f( x)0；当 x(0,2)时， f( x)0.所以 f(x)在(，0)，(2，)单调递减，在(0,2)单调递增故当 x0 时， f(x)取得极小值，极小值为 f(0)0；当 x2 时， f(x)取得极大值，极大值为 f(2)4e 2 .(2)设切点为( t， f(t)，则 l 的方程为 y f( t)(x t) f(t)所以 l 在 x 轴上的截距为 m(t) .3 2tt由已知和得 t(，0)(2，)令 h(x) (x0)，则当 x(0，)时， h(x)的取值范围为 ，)；2当 x(，2)时， h(x)的取值范围是(，3)所以当 t(，0)(2，)时， m(t)的取值范围是(
18、，0) ，)23综上， l 在 x 轴上的截距的取值范围是(，0) ，)23请从下面所给的 22、23、24 三题中选定一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分22解：(1)因为 CD 为 ABC 外接圆的切线，所以 DCB A.由题设知 ，BCDFE故 CDB AEF，所以 DBC EFA.因为 B， E， F， C 四点共圆，所以 CFE DBC，故 EFA CFE90.10所以 CBA90，因此 CA 是 ABC 外接圆的直径(2)连结 CE，因为 CBE90，所以过 B， E， F， C 四
19、点的圆的直径为 CE，由 DB BE，有 CE DC，又 BC2 DBBA2 DB2，所以 CA24 DB2 BC26 DB2.而 DC2 DBDA3 DB2，故过 B， E， F， C 四点的圆的面积与 ABC 外接圆面积的比值为 .123解：(1)依题意有 P(2cos ，2sin )， Q(2cos 2 ，2sin 2 )，因此 M(cos cos 2 ，sin sin 2 )M 的轨迹的参数方程为 ( 为参数，0 2)cos,inxy(2)M 点到坐标原点的距离d (0 2)22sxy当 时， d0，故 M 的轨迹过坐标原点24解：(1)由 a2 b22 ab， b2 c22 bc， c2 a22 ca，得 a2 b2 c2 ab bc ca.由题设得( a b c)21，即 a2 b2 c22 ab2 bc2 ca1.所以 3(ab bc ca)1，即 ab bc ca .13(2)因为 ， ， ，2b2c2a故 2( a b c)，()aac即 a b c.22b所以 1.c
