1、12014 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文科）一选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 是虚数单位，复数 （ ）i i437A. B. C. D. i11i25317i72512. 设变量 满足约束条件 则目标函数 的最小值为（ ）yx,.1,0yxyxzA.2 B. 3 C. 4 D. 53. 已知命题 （ ）为则总 有 pexp,)(,0:A. B. 1,00x使 得 1)(,00xex使 得C. D.)(0xe总 有 0总 有4. 设 则（ ）,log,l 2212cbaA. B. C. D
2、.cabca5. 设 是首项为 ，公差为 的等差数列， 为其前 n 项和，若 成等比数列，n1 nS， 421S则 =（ ）1aA.2 B.-2 C. D .216. 已知双曲线 的一条渐近线平行于直线 双曲线的一个焦)0,(12bayx ,102:xyl点在直线 上，则双曲线的方程为（ ）lA. B. C. D.1205yx1520yx103252yx12530yx27. 如图， 是圆的内接三角行， 的平分线交圆于点 D，交 BC 于 E，过点 B 的圆的切ABCBAC线与 AD 的延长线交于点 F，在上述条件下，给出下列四个结论：BD 平分 ；CF； ； .则所有正确结论的序号是（ DF2
3、 DE BAF）A. B. C. D. 8. 已知函数 在曲线 与直线 的交点中，()3sincos(0),.fxxxR()yfx1y若相邻交点距离的最小值为 ，则 的最小正周期为（ ）fA. B. C. D.232二.填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.9. 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300 的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为 ，则应从一年级本科生中抽取 4:56名学生.10. 一个几何体的三视图如图所示（单位： ） ，则该几何体的体积m为 .3m
4、11.阅读右边的框图，运行相应的程序，输出 的值为_.S12. 函数 的单调递减区间是_.3lgfx13. 已知菱形 的边长为 ， ，点 ， 分别在边ABCD2120BADEF、 上， ， .若 ，则 的E1值为_.14.已知函数 若函数 恰有 40,245xxf xafy)(3个零点，则实数 的取值范围为_a3解答题：本大题共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（15） （本小题满分 13 分）某校夏令营有 3 名男同学 和 3 名女同学 ，其年级情况如下表：CBA, ZYX,一年级 二年级 三年级男同学 A B C女同学 X Y Z现从这 6 名同学中随机选出
5、2 人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）（1）用表中字母列举出所有可能的结果（2）设 为事件“选出的 2 人来自不同年级且恰有 1 名男同学和 1 名女同学” ，求事件 发M M生的概率.16、 （本小题满分 13 分）在 中，内角 所对的边分别为 ，已知 ，ABC, cba,bc6CBsin6si（1）求 的值；cos（2）求 的值.)6(17、 （本小题满分 13 分）如图，四棱锥 的底面 是平行四边形，PABCD4， , 分别是棱 的中点. （1） 证明 平面 ；（2） 若二面角 P-AD-B 为 ， 证明：平面 PBC平面 ABCD 求直线 EF 与平面 PBC 所成角的正弦值.1
6、8、 （本小题满分 13 分）设椭圆 的左、右焦点分别为 ,，右顶点为 A，上顶点为 B.已知= .（1） 求椭圆的离心率；（2） 设 P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段 PB 为直径的圆经过点 ，经过点 的直线与该圆相切与点 M， = .求椭圆的方程.19. （本小题满分 14 分）已知函数 23()(0),fxaxR5（1）求 的单调区间和极值；()fx（2）若对于任意的 ，都存在 ，使得 ，求 的取值范1(2,)2(1,)x12()fxa围20.（本小题满分14分）已知 和 均为给定的大于1的自然数，设集合 ，集合qn 12,0qM，nixqxAin ,21,12（1）当 时，用列举法
7、表示集合 A；3,（2）设 其中, 12121 nnqbtqaasAt 证明：若 则 .,iMbainbts6参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分，满分 40 分。1. A 2.B 3.B 4.C 5.D 6.A 7.D 8.C二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分，满分 30 分。9. 60 10. 11. -4 12. 13. 2 14. （1，2）203(,0)三、解答题：15.本小题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基础知识。考查运用概率只是解决简单实际问题的能力。满分 13 分。解：（）从 6 名同学汇总
8、随机选出 2 人参加只是竞赛的所有可能结果为,ABCXAYZBCXYBZ，共 15 种。（）选出的 2 人来自不同年纪且恰有 1 名男同学和 1 名女同学的所有可能结果为，共 6 种。,AYZBXCY因此，事件 发生的概率M62()15P16.本小题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦公式、两角差的余弦公式以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查基本运算求解能力，满分 13 分。解：（）在 中，由 ，及 ，可得 ，ABCsinibcCsin6siBC6bc又由 ，有6ac2a所以，22646osbcA（）在 中，由 ，可得 ，于是BCc410sin4A235coss1,i2icoA
9、7所以， 153cos2cos2sin26668AA17.本小题主要考查直线与平面平行、平面与平面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基础知识。考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力。满分 13 分。（）证明：如图，取 中点 ，连接 ，PBM,FA因为 为 中点，故 且 ，由已FC/C12B知有 ，又由于 为 中点，因而/,ADED且 ，故四边形 为平行四边MEAF形，所以 ，又 平面 ，而 平/FMPB面 ，所以 平面PB（）（）证明：连接 ，,EB因为 ，而 为 中点，故 ，PADEAD,PEABD所以 为二面角 的平面角。在 中，由 ，可解得 ，5,2P2在 中，由 ，可解得 ，AB
10、BA1B在 中，由 ，由余弦定理，可解得 ，PE2,1,60E 3PB从而 ，即 ，90P又 ，从而 ，因此 平面 。/,BCADBCBEC又 平面 ，所以，平面 平面EAD（）解：连接 ，由（）知， 平面 ，所以 为直线 与平面 所成FEPFPB的角，由 及已知，得 为直角，而 ，可得3PBAB132MB，故 ，又 ，故在直角三角形 中，12AM12EF1EEF8。21sinBEF所以，直线 与平面 所成角的正弦值为PC2118.本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识。考查用代数方法研究圆锥曲线的性质。考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力。满分 13
11、 分。（）解：设椭圆右焦点 的坐标为 ，由 ，可得 ，2F(,0)c123|ABF223abc又 ，则22bac1所以，椭圆的离心率 e（）解：由（）知 ， ，故椭圆的方程为2ac2b21xyc设 ，由 ，有0(,)Pxy1(,0)(,FBc101(,)(,)FPFBc由已知，有 ，即 ，又 ，故有0)xy0xyc因为点 在椭圆上，故P201c由和可得 ，而点 捕食椭圆的顶点，故 ，代入得2034xyP043xc，即点 的坐标为0cyP,3c设圆的圆心为 ，则 ，进而圆的半径1(,)Txy1140223,cy22115(0)3rxc9由已知，有 ，又 ，故有22|TFMr2|F5839cc解得
12、 2所以，所求椭圆的方程为2163xy19.本小题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的性质，考查化归思想、分类讨论思想、函数思想。考查综合分析问题和解决问题的能力。满分 14 分。（）解：由已知，有 2()(0)fxax令 ，解得 或0f 1当 变化时， 的变化情况如下表：x(),fx,001,a1,a()fx- 0 + 0 -A0 A213aA所以， 的单调递增区间是 ；单调递减区间是 ， ，()fx1,a(,0),当 时， 有极小值，且极小值 ；0f (0)f当 时， 有极大值，且极大值1xa()fx213fa（）解：由 及（）知，当 时， ；当3(0)02f0,x()0fx时，,xa(
13、)fx10设集合 ，集合 ，则“对于()|2,)Afx1|(,)(0)Bxfxf任意的 ，都存在 ，使得 ”等价于 ，显然，12,2(1,12AB.0B下面分三种情况讨论：（1）当 ，即 时，由 可知， ，而 ，所以 不32a304a02faA0BA是 的子集。B（2）当 ，即 时，有 ，()f且此时 在 上单调递减，故 ，因而 ；()fx2,),(2)Af(,0)A由 ，有 在 上的取值范围包含 ，则10f(1, 0B所以， AB（3）当 ，即 时，有 ，且此时 在 上单调递减，故2a23()0f()fx1,)，所以 不是 的子集。1,0(,()ffAB综上， 的取值范围是a3,4220.本小题主要考查集合的含义与表示，等比数列的前 项和公式，不等式的证明等基础只是和基n本方法。考查运算能力、分析问题和解决问题的能力。满分 14 分。（）解：当 时，2,3qn 21230,1| ,12,3iMAxxM可得， ,4567A（）证明：由 ， ，,st11122.,.,nniaqatbqab及 ，可得12.innb21121()().()()nnnst
