1、2014 年北京高考数学（理科）试题一.选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.已知集合2|0,12AxB，则 AB( ).0,1B.,C .D2.下列函数中，在区间 ()上为增函数的是（ ）.Ayx2.1yx.xCy0.5.log(1)Dyx3.曲线1cos2in（ 为参数）的对称中心（ ）.A在直线 yx上 .B在直线 2yx上 C在直线 1上 D在直线 1上4.当 7,3mn时，执行如图所示的程序框图，输出的 S值为（ ）.A.42B .0C .845.设 na是公比为 q的等比数列，则 “1q是 “na为递增数列的（ ）
2、.A充分且不必要条件 .B必要且不充分条件 .C充分必要条件 .D既不充分也不必要条件6.若 ,xy满足20yk且 zyx的最小值为-4，则 k的值为（ ）.2A .B 1.2C .D在空间直角坐标系 Oxyz中，已知 ,0A， 2,0B， ,2C， 1,2D，若1S， 2， 3分别表示三棱锥 在 xOy， z， x坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ） （A） 123S （B） 12S且 31S（C） 13S且 （D ） 且 3有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀” “合格” “不合格”三种.若 A同学每科成绩不低于 B同学，且至少有一科成绩比 高，则称“ A同学比 B同学成绩好. ”现有若
3、干同学，他们之间没有一个人比另一个成绩好，学科 网且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的.问满足条件的最多有多少学生（ ）（A ） 2 （B） 3 （C） 4 （D） 5填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）复数21i_.已知向量 a、 b满足 1， 2,b，且 0abR，则 _.设双曲线 C经过点 2,，且与14yx具有相同渐近线，则 C的方程为_；渐近线方程为_.若等差数列 na满足 7890a， 710a，则当 n_时 na的前项和最大.13. 把 5 件不同产品摆成一排，若产品 A与产品 C不相邻，则不同的摆法有_ 种.14. 设函数 )sin()xf， 0,，若
4、 )(xf在区间2,6上具有单调性，且632fff，则 )(xf的最小正周期为_.三解答题（共 6 题，满分 80 分）15. （本小题 13 分）如图，在 ABC中，8,3AB，点 D在 C边上，且71cos,2ADC（1）求 BADsin（2 ）求 B,的长16. （本小题 13 分）.李明在 10 场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）：（1 ）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过 6.0的概率.（2 ）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，学科 网求李明的投篮命中率一场超过 .，一 场不超过 6.0的概率.记 x是表中 10 个命中次数的平均数，从上述比
5、赛中随机选择一场，记 X为李明在这比赛中的命中次数，比较 )(XE与 x的大小（只需写出结论）17.（本小题 14 分）如图，正方形 AMD的边长为 2， CB,分别为 MDA,的中点，在五棱锥BCEP中， F为棱 的中点，平面 F与棱 P,分别交于点 HG,.（1）求证： G/；（2）若 A底面 ，且 EA，求直线 BC与平面 AF所成角的大小，并求线段 H的长.（本小题 13 分）已知函数()cosin,02fxx，求证： ()0fx；若sinab在(0,)2上恒成立，求 a的最大值与 b的最小值.（本小题 14 分）已知椭圆2:4Cxy，求椭圆 C的离心率.设 O为原点，若点 A在椭圆
6、上，点 B在直线 2上，且 OAB，求直线 A与圆2xy的位置关系，并证明你的结论.20.（本小题 13 分）对于数对序列 12(,),()nPabab ，记 11()TPab，12()max(),kkk kTPbT，其中12a,k表示 1()T和 12k 两个数中最大的数，对于数对序列 (5)4,P，求 2,P的值.记 为 ,bcd四个数中最小值，学科 网对于由两个数对 (,)abcd组成的数对序列()Pa和 (,)acd，试分别对 m和 的两种情况比较 2()TP和2T的大小.（3 ）在由 5 个数对 (1,8)52,(61),(46)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列 P使 最小，并
7、写出 5TP的值.（只需写出结论）.数学（理） （北京卷）参考答案一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）（1 ） C （2） A（3）B （ 4）C（5）D （6）D（7 ）D（8）B二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）（9 ） 1 （10 ） （11）213xy2x （12 ）8 （13 ）36 （14 ） 三、解答题（共 6 小题，共 80 分） （15） （共 13 分）解：（I）在 ADC中，因为 7OSADC，所以43sin7ADC。所以 sinsi()BBsincosinBB（）在 ABD中，由正弦定理得38i14s7AD，在 C中，由余弦定理
8、得 22cosCBBC218549所以 7A16）（）设事件 A 为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过 0.6”，事件 B 为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过 0.6”，事件 C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过 0.6，一场不超过 0.6”。则 C= A，A,B 独立。根据投篮统计数据，32(),()5PAB.()()PCBPA3251所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过 0.6，一场不超过0.6 的概率为325.（） EXx.（17 ） （共 14 分）解：（ I）在正方形中，因为 B 是 AM 的中点
9、，所以 AB DE。又因为 AB平面 PDE，所以 A平面 PDE，因为 平面 ABF，且平面 F平面 PDFG，所以 F。（）因为 P底面 ABCDE,所以 ， AE.如图建立空间直角坐标系 xyz，则 (0,)， (1,0)B, (2)C, (0,2)P, (1),BC(1,0).设平面 ABF 的法向量为 (,)nxyz，则,0nAF即,0.xyz令 z，则 y。所以 (0,1)，设直线 BC 与平面 ABF 所成角为 a,则sinco,2nBCa。设点 H 的坐标为 (,).uvw。因为点 H 在棱 PC 上，所以可设 (01,P，即 (,2)(,1).uvw。所以 2,2uv。因为
10、n是平面 ABF 的法向量，所以 nAB，即 (,)(,2)0。解得23，所以点 H 的坐标为42(,).3。所以244(33PH（18 ） （共 13 分）解：（ I）由 cosinfxx得()cosinfx。因为在区间0,)2上 (fxsi0，所以 ()fx在区间0,2上单调递减。从而 ()fxf。（）当 0时， “sinxa”等价于“ sin0xa”“sinxb”等价于“sinxb”。令 ()gsixc，则 ()gco，当 0c时， ()0gx对任意(,)2x恒成立。当 1时，因为对任意(,)， (gcosx0，所以 ()gx在区间0,2上单调递减。从而 ()gx0对任意,)2恒成立。当
11、 1c时，存在唯一的 0(,)使得 0()gx0cos。()gx与 在区间(,)2上的情况如下：0(,)x0x0(,)2x()gx 0 因为 ()gx在区间 0,x上是增函数，所以 0()gx。进一步， “ ()0gx对任意,2恒成立”当且仅当12c，即2c，综上所述，当且仅当c时， ()0gx对任意(,)x恒成立；当且仅当 1c时，()0gx对任意(,)2x恒成立。所以，若sinab对任意(0,)2x恒成立，则 a 最大值为2，b 的最小值为 1.（19 ）解：（ I）由题意，椭圆 C 的标准方程为214xy。所以24,，从而22cab。因此 2,ac。故椭圆 C 的离心率cea。（） 直线
12、 AB 与圆 xy相切。证明如下：设点 A,B 的坐标分别为 0(,)xy， (,2t，其中 0x。因为 OAB，所以 AO，即 0ty，解得02ytx。当 0xt时，20ty，代入椭圆 C 的方程，得 2t，故直线 AB 的方程为 x。圆心 O 到直线 AB 的距离 d。此时直线 AB 与圆2y相切。当 0t时，直线 AB 的方程为02()yxt，即 000()()xtxty， 圆心 0 到直线 AB 的距离2200()()ydt又204，0ytx故022004xy0420816x此时直线 AB 与圆2xy相切。（20 ）解：（ I） 1()257TP11()max(),24TPTP1ma7,6=8（） 2()max,bdc 2 ,cdb.当 m=a 时， 2()= ,b=因为 cdbd，且 acd，所以 2()TP 2)当 m=d 时， 2()TPx,cab因为 a c，且 c所以 2() 2)。所以无论 m=a 还是 m=d， 2() 2)TP都成立。（）数对序列 :P（4,6） ， （11,11） ， （16,11） ， （11,8） ， （5,2）的 5()TP值最小，1()T=10， 2()=26， 3()=42， 4()=50， =52
