2014年北京高考数学理科试题及答案.doc

1、绝密启封并使用完毕前2014 年普通高等学校招生全国统一考试数学（理） （北京卷）本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。(1) 已知集合 ， ，若2|0Ax,12BAB(A) (B) (C) (D) 0, 0,0,12(2) 下列函数中，在区间 上为增函数的是(0,(A) (B) (C) (D) 1yx2=1)yx2xy0.5log(1)yx(3) 曲线 ， （

2、 为参数）的对称中心cos2inxy(A) 在直线 上 (B) 在直线 上 2yx(C) 在直线 上 (D) 在直线 上1yx1(4) 当 , 时，执行如图所示的程序框图，输出的 值为7m3n s(A) 7 (B) 42 (C) 210 (D) 840(5) 设 是公比为 q 的等比数列，则“ ”是“ ”为递增数列的na1qna(A) 充分且不必要条件 (B) 必要且不充分条件(C) 充分且必要条件 (D) 既非充分也非必要条件(6) 若 满足 且 的最小值为 ，则 的值是 ,xy20kyzyx4k否开始输出 S,1kmSSkA1结束是kn输入 m,n 的值(A) (B) (C) (D) 22

3、1212(7) 在空间坐标系 中，已知 ， ， ， ，若 ， ， 分Oxyz(,0)A(,0)B(,)C(,)D1S23别表示三棱锥 在 ， ， 则坐标平面上的正投影图形的面积，则DBCyOzx(A) = = (B) = 且 (C) = 且 (D) = 且 1S231S231S132S2S313S(8) 有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀” “合格” “不合格”三种若 A 同学每科成绩不低于 B 同学，且至少有一颗成绩比 B 高，则称 “A 同学比 B 同学成绩好， ”现在若干同学，他们之中没有一个人比另一个人成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的。问满足条件的多少学生(A)

4、 1 (B) 3 (C) 4 (D ) 5第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。(9) 复数 _ 21i(10) 已知向量 、 满足 ， 且 ，则 _ ab|1(2,)b0ab|(11) 在设曲线 C 经过点 ，且 具有相同渐近线，则 C 的方程是 (,)24yx(12) 若等差数列 满足 ， ，则当 _时， 的前 n 项和最大na7890a710anna(13) 把 5 件不同的产品摆成一排，若产品 A 与产品 B 相邻 ，且产品 A 与产品 C 不相邻，则不同的摆法有_ 种(14) 设函数 （ 是常数， ） ，若 ()fx在区间 上具有单

5、()sin()fxA,0,62调性，且 ，则 ()fx的最小正周期为 2-36f三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出必要的文字说明，演算步骤。(15)（本小题 13 分） 如图，在 中， ， ，点 D 在 BC 边上，且 CD=2，ABC38AB1cos7ADC（）求 （）求 ， 的长inBDA(16)（本小题 13 分）李明在 10 场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛相互独立） 场次 投篮次数 命中次数 场次 投篮次数 命中次数主场 1 22 12 客场 1 18 8主场 2 15 12 客场 2 13 12主场 3 12 8 客场 3 21 7主场 4 23 8 客场 4

6、 18 15主场 5 24 20 客场 5 25 12（）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过 0.6 的概率；（）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过 0.6，另一场不超过0.6 的概率；BACD（）记 是表中 10 个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记 X 为李明在这场比赛中的命x中次数，比 和 的大小。()EXx(17)（本小题 14 分）如图，正方形 的边长为 2， B，C 分别为 和 的中点，在五棱锥AMDEAMD中， 为 的中点，平面 与棱 ， 分别相较于点 、 （）求证：PABCDEFPBCPGH；/G（）若 平面

7、，且 PA=AE，求直线 BC 与平面 ABF 所成的角，并求线段 PH 的长B(18)（本小题 13 分）已知函数 ，()cosinfxx0,2（）求证： ；（）若 在 上恒成立，求 的最大值与 的最小值()0fxab(,)abEDCMFBAPHG(19)（本小题 14 分）已知椭圆 ： （）求椭圆 的离心率；C24xyC（）设 O 为原点，若点 A 在椭圆 G 上，点 B 在直线 上，且 ，求直线 AB 与圆2yOAB的位置关系，并证明你的结论2xy(20)（本小题 13 分）对于数对序列 ， ， ，1(,)Pab2(,)(,)nab记 , ，11()TPab()mxkkkkT 其中 表示

8、 和 两个数中最大的数2mx 1()k12k（）对于数对序列 ， ， 求 ， ；(,5)4,P2（）记 m 为四个数 、 、 、 的最小值，对于两个数对 ， 组成的数对序列 ，abcd(,)ab,cd(,)Pab和 ， ，试分别对 和 时的情况比较 和 的大小；(,)cd(,)P,ma2(TP2)（）在由 5 个数对 ， ， ， ， 组成的有序数对序列中，写出一个数对1,8(5,2)16,)(,1)(4,6序列 P 使 最小，并写出 的值（只需写出结论） 。()TTP绝密考试结束前 2014 年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理） （北京卷）参考答案一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分

9、，共 40 分）（1）C （2）A （3）B （4）C（5）D （6）D （7）D （8）B二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）（9） 1 （10） 5（11） （12）823xy2x（13）36 （14） 三、解答题（共 6 小题，共 80 分）（15） （共 13 分）解：（I）在 中，因为 ，所以 。ADC17OSADC43sin7ADC所以 sinsi()BBcossin43137214B（）在 中，由正弦定理得ABD，38sin147ABD在 中，由余弦定理得ABC22cosABC18549所以 7C（16） （共 13 分）解：（I） 根据投篮统计数据，在 10

10、 场比赛中，李明投篮命中率超过 0.6 的场次有 5 场，分别是主场 2，主场 3，主场 5，客场 2，客场 4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过 0.6 的概率是 0.5.（）设事件 A 为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过 0.6”，事件 B 为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过 0.6”，事件 C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过 0.6，一场不超过0.6”。则 C= ，A,B 独立。A根据投篮统计数据， .32(),()5PAB()PCB3251所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过 0

11、.6，一场不超过 0.6 的概率为 . 325（） .EXx（17） （共 14 分）解：（I） 在正方形中，因为 B 是 AM 的中点，所以 。ABDE又因为 平面 PDE，A所以 平面 PDE，因为 平面 ABF，且平面 平面 ，FPFG所以 。BFG（）因为 底面 ABCDE,所以 ， .PAABAE如图建立空间直角坐标系 ,则 , ,xyz(0)(10), , ,(210)C(2)(1)F.B,设平面 ABF 的法向量为 ，则(,)nxyz即0,nAF,0.xyz令 ，则 。所以 ，设直线 BC 与平面 ABF 所成角为 a,则1,z(,1)n。sinco,2BCa设点 H 的坐标为

12、。(,).uvw因为点 H 在棱 PC 上，所以可设 ，(01),PHC即 。所以 。(,2)(,1).uv2,2uvwz yxAB CDEFGPMH因为 是平面 ABF 的法向量，所以 ，即 。n0nAH(,1)(2,)0解得 ，所以点 H 的坐标为 。2342(,).3所以 224()()P（18） （共 13 分）解：（I）由 得()cosinfxx。 csinx因为在区间 上 ，所以 在区间 上单调递减。(0,)2(fxi0()fx0,2从而 。fxf（）当 时， “ ”等价于“ ”“ ”等价于“ ”。0sinasin0xasinxbsin0xb令 ，则 ，()gxicx()gco当

13、时， 对任意 恒成立。0c()00,)2x当 时，因为对任意 ， ，所以 在区间 上单调递减。1(,)(gcosx0()gx0,2从而 对任意 恒成立。()gx0(0,)2x当 时，存在唯一的 使得 。1c0(,)0()gx0cos与 在区间 上的情况如下：()gx(,)2x0(,)x0x0(,)2x()gx+ 0 - 因为 在区间 上是增函数，所以 。进一步， “ 对()x0,x0()gx()0gx任意 恒成立”当且仅当 ，即 ，,212c2c综上所述，当且仅当 时， 对任意 恒成立；当且仅当 时，c()0gx(,)x1c对任意 恒成立。()0gx(,)2x所以，若 对任意 恒成立，则 a 最大值为 ，b 的最小值为 1.sinab(0,)x2（19） （共 14 分）解：（I） 由题意，椭圆 C 的标准方程为 。214xy所以 ，从而 。因此 。24,ab22cab2,ac故椭圆 C 的离心率 。e（）直线 AB 与圆 相切。证明如下：2xy设点 A,B 的坐标分别为 ， ，其中 。0(,)(,2t0x因为 ，所以 ，即 ，解得 。OABAO0ty02ytx当 时， ，代入椭圆 C 的方程，得 ，0xt20tyt故直线 AB 的方程为 。圆心 O 到直线 AB 的距离 。x2d此时直线 AB 与圆 相切。2y当 时，直线 AB 的方程为 ，0xt02()yxt