1、2014 年崇明区高考数学一模卷（考试时间 120 分钟，满分 150 分）考生注意：本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答案必须写在答题纸上，做在试卷上一律不得分.答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位.一、填空题（每题 4 分，共 56 分）1.(2014 年 1 月崇明)已知虚数 z 满足等式 ，则 z= 12i .216iz【解析】 （探究性理解水平/复数的四则运算、共轭复数.）设 ab，则 izab，由题意可得，2(i)(i)=1+6ab，即 3i=1+6ab，从而 362，则可得 12i.2. (2014 年 1 月崇明)若关于 x,y
2、 的线性方程组的增广矩阵为 ，该方程组的解为 ，则 mn 的0mn34xy值等于 24 .【解析】 （探究性理解水平/利用矩阵解二元线性方程组.）由题意得方程组为 63xyn，因为 34xy，代入方程组可得 364mn， 21，从而 214mn.3. (2014 年 1 月崇明)直线 x=2y+1 的一个法向量可以是 2（ ， ） .【解析】 （探究性理解水平/直线的法向量.）因为直线为 10xy，所以直线的法向量可以为 (1,2).4. (2014 年 1 月崇明) 已知全集 U=R， ，则 = 22,log0AxBx UAB1|02x.【解析】 （探究性理解水平/一元二次不等式的解法、集合
3、的运算.）对于集合 A： 20x()02xx，所以 |02Ax，对于集合 B： 2log1 2log1x122logl ， 1|UB，所以 |0UAx.5. (2014 年 1 月崇明)某单位有青年职工 160 人，中年职工人数是老年职工人数的 2 倍，老、中、青职工共有 430 人.为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工 32 人，则该样本中的老年职工人数为 18 .【解析】 （探究性理解水平/随机抽样中的分层抽样.）设老年职工有 x人，则中年职工有 2x人，由题意216043x，解得 90x，即老年职工有 90 人，从而样本中老年职工的人数为 329016
4、=18.6. (2014 年 1 月崇明)函数 的反函数是 2log(1)yx（1”为全体实数排了一个“序”，类似地，我们在复数集C 上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“ ”.定义如下：对于任意两个复数 = + ， = + （1zaib2zi，i 为虚数单位） ， “ ”当且仅当“ ”12,ab12z12a或“ ”.下面命题 1 i 0；若 ， ，则 ；若 ，则对于任意12b且 z3z13z12z， ；对于复数 ，若 ，则 .其中真命题是 .（写出zCz122所有真命题的序号)【解析】(解释性理解水平/复数的新定义.)对于， 0i1i0i，所以正确；设33izab，因为 23z，所以必有
5、23a ，又 12z，必有 2a ，所以 13a ，则当 13a时，1；当 1时，有 123b，推得 ，所以正确；令 izb，因为 2z，故22,a ，当 时， 12b，故 12， 12，推得 12z；当1a时， 1，推得 zz；所以正确；对于取 0iz，22i,izbz，不妨令 12,a，则 12z，此时 11ba， 22izba，不满足12z，故 不正确.14. (2014 年 1 月崇明) *已知 ，当 时，函数 的最小值为 ，则 t 的取值范围是 1t,2xt4xy40,2.【解析】(探究性理解水平/函数的基本性质，二阶行列式的计算.) 4xy(4)x,24,0xy,函数图像如图所示.
6、令 4y,解得 2x或 2. ,2t 21tt 得21tt 即 02t ，即 0,.二、选择题（每题 5 分，共 20 分）15. (2014 年 1 月崇明)设 R 则“ ”是“ ”成立的 （C）a210+a1A.充分必要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既非充分也非必要条件【解析】 （解释性理解水平/充分必要条件的判定.）因为 210a，又 2213()04a，所以 10a，即 1，而，所以 ，因为由 a，但是 推不出 a，则 210a是 1的必要不充分条件,故选 C.16. (2014 年 1 月崇明)已知数列 是无穷等比数列，其前 n 项和是 ，若 ，则 的值n nS23
7、4,limnS为 （D）A. B. C. D.234383163【解析】 （探究性理解水平/等比数列的前 n项和公式和数列的极限.）因为 2341a2()1aq1283qa，则 nS1()naq81()6132()32nn，所以 1616limli()323nnS,故选 D.17. (2014 年 1 月崇明)对于函数 ，下列选项中正确的是 （B ）22()cos()si()11fxxA. 在 内是递增的 B. 的图像关于原点对称(fx,42fC. 的最小正周期为 2 D. 的最大值为 1) ()x【解析】 （探究性理解水平/两角和差正弦、余弦公式、二倍角公式、正弦函数的图像与性质.）因为22
8、()cos()sin()11fxx= cos(2)cos(2)66x=1in6= i，其最小正周期 T,最大值为 1，因为 ()fx在 22kxk- +内递增，即 ()fx在 ,4k-+内递增，综上选 B.18. (2014 年 1 月崇明) *已知圆 O 的半径为 1，PA,PB 为该圆的两条切线，A，B 为两切点，那么 的最小值PAB等于 （D）A. B. C. D.42324232【解析】 （探究性理解水平/直线与圆的位置关系、平面向量运算的坐标表示、基本不等式.)以圆心为原点，OP 所在直线为 x 轴建立如图所示坐标系.设 (cos,in)A，则易知 1(cos,in),(,0)cos
9、BP,1(cos,sin)PA 1PB2B 2 22cs(cs)cos223sc32 （当且仅当 22cso时取等号）,故选 D.三、解答题（本大题共 74 分，解答下列各题需要必要的步骤）19. (2014 年 1 月崇明)（本题 12 分，第(1)小题 6 分，第(2)小题 6 分）(1)解方程： 2335log()1log()xx(2)（理）已知命题 ，命题 ，且命题 是 的必要条件，求实数 m 的取值范围.:1m(文)已知集合 A= ，集合 ，集合 ,并且 ,求 a(1,3)230Bx 1,CxaaR CAB的取值范围.【解】 （探究性理解水平,解释性水平/解对数方程、解绝对值不等式、
10、充分必要条件）（1）由原方程化简得 23335log()logl()xx即： 233log()log(5)xx 所以，2350x，解得 .（2） （理） :1mx，由于命题 是 的必要条件，所以 ，所以 3 .(文) 0,B,所以 0,AB,由于 CAB,所以 1a ，所以 1,2a.20. (2014 年 1 月崇明)（本题 14 分，第(1)小题 6 分，第(2)小题 8 分）在 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，S 是该三角形的面积.(1)若 ，求角 B 的度数；1(sinco,)(,sino),/22Bab(2)若 a=8， ，求 b 的值.83S【解】 （探究性理解水平/
11、向量共线的坐标运算、二倍角公式、余弦定理）(1)角 ABC、 、 的对边分别为 ac、 、 ，由得1sinco221sincoB，所以 1s2,从而 3B.（2）由 8,3a， 8S得， in8ac，所以 4c.又 2csb，解得 47b.21. (2014 年 1 月崇明) *（本题 14 分，第(1)小题 4 分，第(2)小题 4 分，第(3) 小题 6 分）已知圆 的圆心在坐标原点 O，且恰好与直线 相切.1C1:20lxy(1)求圆的标准方程；(2)设点 A 为圆上一动点，AN x 轴于 N，若动点 Q 满足 ,（其中 m 为非零常数） ，试求动点(1)OmAONQ 的轨迹方程 ；2C
12、(3)在(2)的结论下，当 时，得到动点 Q 轨迹曲线 C，与 垂直的直线 l 与曲线 C 交于 B、D 两点，求3m1l面积的最大值 .OBD【解】 （探究性理解水平/圆的标准方程、动点的轨迹方程、点到直线的距离公式、直线方程、基本不等式.）（1）设圆的半径为 r，圆心到直线 1l距离为 d，则 2d，所以，圆 1C的方程为 24xy.（2）设动点 (,)Qxy， 0(,)A， N 轴于 , 0()，由题意，00(,)(,)(1,)xym，所以 0xym，即 01xy.将 (,)A代入 2+4xy，得动点 Q的轨迹方程 2C：24x.（3） m时，曲线 C的方程为213xy，设直线 l的方程
13、为 yxb，设直线 l与椭圆2143xy交点1(,)Bxy， 2(,)Dy，联立方程 24=bxy得 2278410.xb因为 2=48(7)0b，解得 27b，且 12，217，又因为点 O到直线 l的距离 2bd，211()4BDxx= 26.2237(7)3OBbSbb .（当且仅当 2=7b即 27时取到最大值） ，面积的最大值为 .22. (2014 年 1 月崇明) *（本题 16 分，第(1)小题 4 分，第(2)小题 6 分，第(3) 小题 6 分）已知数列 的前 n 项和为 ，且 .anS11,2nnaa(1)证明数列 是等比数列；n(2)求通项 与前 n 项和 ；anS(3
14、)设 ，若集合 恰有 4 个元素，求实数 的取值范围.*(2),nbN*,nMbN 【解】 （探究性理解水平/等比数列的概念、数列的通项公式及前 n 项和）（1）因为 12a， 1nna，当 *时， 0na .又 ， *:()N为常数，所以 n是以 12为首项， 为公比的等比数列.（2）由 na是以 12为首项， 为公比的等比数列得，1=nna，所以 n.由错项相减得122nnS.（3）因为 *(2),)nnbN，所以12()nnnnbS，由于 12+13n，所以， 21， 234.b.因为集合 *|nMb ， 恰有 4 个元素，且 14， 2， 3158b， 32，所以352.23. (20
15、14 年 1 月崇明) *（本题 18 分，第(1)小题 6 分，第(2)小题 6 分，第(3) 小题 6 分）已知函数 ，对任意的 恒有 成立.2(2,()(,)fxbgxbcRx()fxg(文 1)记 ，如果 h(x)为奇函数，求 b，c 满足的条件；)(hf(1)当 b=0 时，记 ，若 h(x)在 上为增函数，求 c 的取值范围；)(gf2,)(2)证明：当 x 0 时， 成立；c(3) （理 3）若对满足条件的任意实数 b,c，不等式 恒成立，求 M 的最小值.2()()gcbMc【解】 （探究性理解水平/函数的奇偶性，单调性，不等式证明）(文 1)因为任意的 xR恒有 ()fxg
16、成立，所以对任意的 xR， 2bxc ，即2)0xbc恒成立，所以 2)4()0bcb ，从而214c，即： .设 ()gxhf的定义域为 D,因为 (hx是奇函数，所以对于任意 xD, (hx成立，解得 0b，所以 ， 1c .（1）因为任意的 R恒有 ()fg 成立，所以对任意的 x， 2bxc ，即 2()xbc 恒成立.所以 24()0bc ，从而 14 ，即 .当 0时，记2() ()gxchxcf,因为 ()hx在 2,上为增函数，所以任取12,+x， 12， 1212()()0ff恒成立.即任取 12,+x， 12x，12()0c成立，也就是 12cx成立.所以 4c ，即 的取值范围是 ,4.（2）由（1）得， 且 4b ，所以21b，因此 2()0cb.故当 0x 时，有 2()()()0xcgcx .即当 x 时， 2+gxc .（3） （理 3）由（2）知， b ，当 时，有222()gcbbbM，设 btc，则 1t，所以 12t ，由于 1()yt的值域为 3,；当 c时， M的取值范围是 3+2， ；当 cb，由（1）知， 2,bc，此时 ()8gcb或 0， 2cb，从而23()()gc恒成立，综上所述， M的最小值为 3.欢迎加入 2014 一起加油 QQ 群 群号 220234804
