1、2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）设 且 则当 n 充分大时有（ ）lim,na0,（A） 2n（B） na（C） 1n（D） a（2）下列曲线有渐近线的是（ ）（A） sinyx（B） 2（C） 1siyx（D） 2n（3）（A）（B）（C）（D）（4）设函数 具有二阶导数， ，则在区间 上（ ）()fx()0(1)(gxfxf0,1（A）当 时，0()f（B）当 时，()fxx（C）当 时，()fg（D）当 时，()0fxx（
2、5）行列式0abcd（A） 2()ab（B） dc（C） 22（D） bca（6）设 均为 3 维向量，则对任意常数 ，向量组 线性无关是向量组12, ,kl1323,kl线性无关的3,（A）必要非充分条件（B）充分非必要条件（C）充分必要条件（D）既非充分也非必要条件（7）设随机事件 A 与 B 相互独立，且 P（B）=0.5，P(A-B)=0.3，求 P（B-A ）=（ ）（A）0.1（B）0.2（C）0.3（D）0.4（8）设 为来自正态总体 的简单随机样本，则统计量 服从的分布为123,X2(0,)N123X（A）F（1,1） （B）F （2,1）（C）t(1）（D）t(2)二、填空题
3、：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）设某商品的需求函数为 （P 为商品价格） ，则该商品的边际收益为_。02Q(10)设 D 是由曲线 与直线 及 y=2 围成的有界区域，则 D 的面积为_。1xyyx(11)设 ，则204aed_.a(12)二次积分210()_.xyyed（13）设二次型 的负惯性指数为 1，则 的取值范围是_21231132(,)4fxxaxa（14）设总体 的概率密度为 ，其中 是未知参数, 为来自X2(;)0f其 它 12,.,nX总体 X 的简单样本，若 是 的无偏估计，则 c = _21nicx三、解答题：1523 小
4、题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15） （本题满分 10 分）求极限12limln()xtxedt（16） （本题满分 10 分）设平面区域 ，计算2(,)|14,0Dxyxy2sin().Dxydx（17） （本题满分 10 分）设函数 具有 2 阶连续导数， 满足 ，若()fu(cos)xzfey2 24(cos)xxzzeyxy，求 的表达式。0,0ff()fu（18） （本题满分 10 分）求幂级数 的收敛域及和函数。0(1)3nnx（19） （本题满分 10 分）设函数 在区间 上连续，且 单调增加， ，证明：(),fxg,a
5、b()fx0()1gx（I） 0;atdx（II） () ().bgt baffgdx（20） （本题满分 11 分）设 ， 为 3 阶单位矩阵。123401AE求方程组 的一个基础解系； 求满足 的所有矩阵x ABB（21） （本题满分 11 分）证明 阶矩阵 与 相似。n1 012n（22） （本题满分 11 分）设随机变量 X 的概率分布为 PX=1=PX=2= ，在给定 的条件下，随机变量 Y 服从均匀分布12Xi(0,)1,2Ui（1）求 Y 的分布函数 ()YFy（2）求 EY （23） （本题满分 11 分）设随机变量 X 与 Y 的概率分布相同，X 的概率分布为 且 X 与 Y
6、 的相关系120,33PX数 12Y（1） 求（X，Y）的概率分布（2）求 PX+Y 12014 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题答案一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）D（2）B（3）（4）D（5）B（6）A（7） （B）（8） （C）二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9） pdR40（10） 23ln（11） 1a（12） )e(2（13）-2,2（14） 5n三、解答题：1523 小题，共 94 分.请将解答写在答
7、题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15） 【答案】 2111022211212uelimx)e(li,u)(limxtdte)ln(tetliuxx xxx为（16） 【答案】432112102 210221021 d)(sinco )dcoscosdsincodsisncoisd（17） 【答案】 ycose)(fxExx )ycos(e)s(fysine)co(fyE)i(yf ycose)(fxxxxxx xx 2222 ycose)s(f)ycose(f Exxx xx 44222令 ，ux则 ，)(f)(f故 )C,(ueCu为212214由 得,)(f,)(
8、f004162ueuf（18） 【答案】由 ，得1342)n(limn R当 时， 发散，当 时， 发散，1x0n 1x031n)n()(故收敛域为 。),(时，x。)x(s()x()x(dn)xn()x( d(nnn xn 323 030202100 11133时， ，故和函数 ，03)(s 3)x()s),(1（19） 【答案】证明：1）因为 ，所以有定积分比较定理可知， ，即1)x(g xaxaxdtt)(gdt10。xaadt)(02）令 dt)(gaf)x(fg)x(Fatft)(tf)x(xadt)(gxa 0由 1）可知 ，at所以 。xd)(由 是单调递增，可知f 0xat)(g)x(由因为 ，所以 ， 单调递增，所以 ，得证。10)x(F)x( 0)a(Fb（20） 【答案】 1,23T1231236134kkB23,kR（21） 【答案】利用相似对角化的充要条件证明。（22） 【答案】 （1） 0,31,4,2,2,.YyFy（2） 34（23） 【答案】 （1）Y X 0 10 2991 15（2） 49
