1、2014 年普通高等学校招生全国统一考试（全国 1 卷） 第 1 页 共 12 页2014 年普通高等学校招生全国统一考试（全国 1 卷）文科数学第卷第一节 选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知集合 13Mx， 21Nx，则 MN（ ）第二节 ),2( B. ),( C. ),( D. )3,2(【答案】：B【解析】： 在数轴上表示出对应的集合，可得 N (-1,1),选B第三节 若 0tan，则第四节 si B. 0cos C. 02sin D. 02cos【答案】：C【解析】：由tan 0可得:k k
2、(kZ)，故2k 22 k(kZ)，正确的结论只有 sin 20. 选 C第五节 设 iz1，则 |zA. 21 B. 2 C. 23 D. 2【答案】：B【解析】： 112izii，21z，选 B（4）已知双曲线 )0(132ayx的离心率为 2，则 aA. 2 B. 26 C. 25 D. 1【答案】：D2014 年普通高等学校招生全国统一考试（全国 1 卷） 第 2 页 共 12 页【解析】：由双曲线的离心率可得23a，解得 1a，选 D.第六节 设函数 )(,xgf的定义域为 R，且 )(xf是奇函数， )(xg是偶函数，则下列结论中正确的是第七节 )(x是偶函数 B. |g 是奇函数
3、 C. |f 是奇函数 D. |)(|xf是奇函数【答案】：C【解析】：设 ()()Fxfgx，则 ()()Ffg， ()fx是奇函数， ()gx是偶函数，()f， 为奇函数，选 C.第八节 设 FED,分别为 ABC的三边 AB,的中点，则 FCE第九节 A B. 12C. 12D. 【答案】：A【解析】： EBFCBFCEFB= 1122BCABD, 选 A.第十节 在函数 |2cosxy， |cos|xy ， )62cos(xy, )42tan(xy中，最小正周期为 的所有函数为A. B. C. D. 【答案】：A【解析】：由 cosyx是偶函数可知 cos2yx ，最小正周期为 ， 即
4、正确；y | cos x |的最小正周期也是，即也正确； 6最小正周期为 ,即正确； tan(2)4的最小正周期为 2T,即不正确.即正确答案为，选A2014 年普通高等学校招生全国统一考试（全国 1 卷） 第 3 页 共 12 页8.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱【答案】：B【解析】：根据所给三视图易知，对应的几何体是一个横放着的三棱柱. 选 B9.执行下图的程序框图，若输入的 ,abk分别为 1,2,3，则输出的 M=A. 203 B. 165 C. 72 D. 158【答案】：D【解析】
5、：输入 ,3abk； n时： 13,2Mab；2n时： 28,M； 时： 5815,3；4时：输出 15 . 选 D.第十一节 已知抛物线 C： xy2的焦点为 F, yA0是 C 上一点， xFA045，则 （ ）A. 1 B. 2 C. 4 D. 8【答案】：A【解析】：根据抛物线的定义可知 00154AFx，解之得 01x. 选 A.11.设 x， y满足约束条件 ,xya且 zxy的最小值为 7，则 a2014 年普通高等学校招生全国统一考试（全国 1 卷） 第 4 页 共 12 页（A）-5 （B ）3 （C）-5 或 3 （D ）5 或-3【答案】：B 【解析】：画出不等式组对应的
6、平面区域， 如图所示.在平面区域内，平移直线 0xay，可知在点 A 1,2a处，z 取得最值，故17,2a解之得a 5或a 3.但a 5时，z取得最大值，故舍去，答案为 a 3. 选B.第十二节 已知函数 32()1fx，若 ()fx存在唯一的零点 0x，且 ，则 的取值 范围是第十三节 2, （B） , （C） ,2 （D） ,1【答案】：C【解析 1】：由已知 0a， 2()36fxax，令 ()0f，得 x或 2a，当 0a时， 2,;0,;,()0xff fa ；且 ()1f， ()f有小于零的零点，不符合题意。当 0a时， 22,()0;,()0;,()0xfxfxfxaa 要使
7、()f有唯一的零点 0且 0，只需 f，即 24a， 选 C【解析 2】：由已知 ， ()fx= 321有唯一的正零点，等价于 31axA有唯一的正零根，令 1t，则问题又等价于 3t有唯一的正零根，即 y与 t有唯一的交点且交点在在 y 轴右侧，记 ()ft2()3ft，由 ()0ft， 1， ,1()0;1,()0;ftft，1,()ft，要使 3at有唯一的正零根，只需 (2af，选 C第 II 卷2014 年普通高等学校招生全国统一考试（全国 1 卷） 第 5 页 共 12 页第十四节 填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分第十五节 将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随
8、机排成一行，则 2 本数学书相邻的概率为_.【答案】： 3 【解析】设数学书为 A，B，语文书为 C，则不同的排法共有（A，B，C ） ， （A ， C，B） ， （B ，C，A） ，（B，A，C ） ， （ C，A，B） ， （ C，B，A）共 6 种排列方法，其中 2 本数学书相邻的情况有 4 种情况，故所求概率为 4263P.第十六节 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A、 B、 C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 城市；乙说：我没去过 C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为_.【答案】：A 【解析】丙说：三人同去过同一个城市，甲说没去过 B 城市，乙
9、说：我没去过 C 城市三人同去过同一个城市应为，乙至少去过，若乙再去城市 B，甲去过的城市至多两个，不可能比乙多，可判断乙去过的城市为.（15）设函数 13,xef则使得 2fx成立的 x的取值范围是_.【答案】： ,8 【解析】当x 1时，由 12xe可得x 1ln 2，即x ln 21，故x 1；当x 1时，由f (x ) 32可得 x 8，故1x 8，综上可得x 8（16）如图，为测量山高 MN，选择 A和另一座山的山顶 C为测量观测点.从 A点测得 M点的仰角60MAN， C点的仰角 45B以及 75M；从 点测得 60C.已知山高1Bm，则山高 _ m.2014 年普通高等学校招生全
10、国统一考试（全国 1 卷） 第 6 页 共 12 页【答案】：150 【解析】在直角三角形 ABC 中，由条件可得 102AC，在MAC 中，由正弦 定理可得000sin6i18675AMAC，故 32M，在直角MAN 中，sN.第十七节 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第十八节 （本小题满分 12 分）已知 na是递增的等差数列， 2a， 4是方程 2560x的根。（I）求 的通项公式；（II）求数列 2n的前 项和.【解析】：（I）方程 2560x的两根为2,3,由题意得 2a， 43，设数列 na的公差为 d,，则 42ad，故 d= 1，从而 132a，所以 n的通项公
11、式为： n 6 分()设求数列 2na的前 项和为S n,由()知 12na，则： 34152n nS 5212n两式相减得2014 年普通高等学校招生全国统一考试（全国 1 卷） 第 7 页 共 12 页3412121 3224n nnnnS所以 1nn 12 分第十九节 （本小题满分 12 分）从某企业生产的某种产品中抽取 100 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：质量指标值分组 75，85) 85，95) 95，105) 105，115) 115，125)频数 6 26 38 22 8（I）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：（II）估计这种产品质量指标值的
12、平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ；（III）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？【解析】：（I）2014 年普通高等学校招生全国统一考试（全国 1 卷） 第 8 页 共 12 页4分（II）质量指标值的样本平均数为 80.690.21.380.210.8x. 质量指标值的样本方差为 22 222.6.104s10 分 ()质量指标值不低于95 的产品所占比例的估计值为 0.38+0.22+0.08=0.68. 由于该估计值小于0.8,故不能认为该企业生产的这种产品“质量指标值不低于95 的产
13、品至少要占全部产品80%”的规定. .12 分19(本题满分12分)如图，三棱柱 1CBA中，侧面 1为菱形， CB1的中点为 O，且 A平面 CB1.（I）证明： ;1（II）若 , ,601求三棱柱 1CBA的高.【解析】：（I）连结 ，则 O 为 1与 BC的交点，因为侧面 1为菱形，所以 1 ，又 A平面 1，故 1BCAO 1平面 ABO，由于 AB平面 ，故 1C 6 分（II）作ODBC,垂足为D,连结AD,作OHAD,垂足为H,2014 年普通高等学校招生全国统一考试（全国 1 卷） 第 9 页 共 12 页由于BCAO,BCOD,故BC平面AOD,所以OHBC.又OHAD,所
14、以OH平面ABC.因为 ,1,601BC,所以 为等边三角形,又BC=1,可得OD= 34，由于 1ABC，所以12OA，由 OHAD=OD OA,且 27ADO，得OH= 24又O为B1C的中点,所以点B1 到平面ABC 的距离为 17,故三棱柱ABC-A1B1C1 的高为 17.12 分第二十节 （本小题满分 12 分）已知点 )2,(P，圆 C: 082yx，过点 P的动直线 l与圆 C交于 BA,两点，线段 的中点为M， O为坐标原点.（I）求 的轨迹方程；（II）当 时，求 l的方程及 OM的面积【解析】：（I）圆C的方程可化为 22416xy,所以圆心为 C(0,4),半径为 4.
15、设M(x,y),则 (,4)Mxy， (,)P，,由题设知 0CMPA,故220x，即 223xy由于点P 在圆C 的内部,所以M 的轨迹方程是 21 6 分()由()可知M 的轨迹是以点N(1,3)为圆心, 2 为半径的圆.由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上,又P 在圆N 上,从而ONPM.因为ON 的斜率为3,所以 l的斜率为 13,直线 l的方程为： 183yx又 2， 到 l的距离为 405， 405PM，所以 POM的面积为： 165. 12分 2014 年普通高等学校招生全国统一考试（全国 1 卷） 第 10 页 共 12 页21（12 分）设函数 21ln1af
16、xxb，曲线 1yfxf在 点 ， 处的切线斜率为 0（I）求 b;（II）若存在 0,使得 0fa，求 a 的取值范围。【解析】：（I） ()(1)fxxb， 由题设知 (1)0f,解得 b 1. 4 分() f (x)的定义域为 (0,),由 ()知, 2lnfx，11aafxx(i)若 2，则 ，故当 x(1,)时, f (x) 0 , f (x)在(1,)上单调递增.所以,存在 0x1, 使得 0()1af的充要条件为 1a，即 12a所以 1 a 1;(ii)若 2，则 ，故当x(1, a)时, f (x) 0 , x( ,1a)时, (0fx,f (x)在(1, 1a)上单调递减，f (x )在 ,1a单调递增.所以,存在 01, 使得 0()fx的充要条件为 ()f，而2()ln111aafa，所以不和题意.() 若 ，则 ()f。综上，a 的取值范围为： 2,请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.第二十一节 （本小题满分 10 分）选修 4-1，几何证明选讲如图，四边形 ABCD是 O的内接四边形， AB的延长线与 DC的延长线交于点 E，且 .（I）证明： ；（II）设 不是 A的直径， 的中点为 M，且 ，证明： AB为等边三角形.
