1、2014 高中数学复习讲义 第一章 集合与简易逻辑第 1 课时 集合的概念及运算【考点导读】1. 了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能选择自然语言，图形语言，集合语言描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用2. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义3. 理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个集合的交集与并集；理解在给定集合中一个子集补集的含义，会求给定子集的补集；能使用文氏图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用4. 集合问题常与函数，方程，不等式有关，其中字母系数的函数，方程，不等式要复杂一些，综合性较强，往往渗透数形思想和分
2、类讨论思想【基础练习】1.集合 (,)02,xyyxZ用列举法表示,1()(12.设集合 ,Axk， 2,BxkZ，则 AB3.已知集合 0,2M， ,NaM，则集合 N_4.设全集 13579I，集合 159A， 5,7IC，则实数 a 的值为_8 或 2_【范例解析】例.已知 R为实数集，集合 230Ax.若 RBCA，01BCAx或 ，求集合 B.分析：先化简集合 A，由 RBC可以得出 与 的关系；最后，由数形结合，利用数轴直观地解决问题.解：（1） 12x， 1RAx或 2.又 RCA，RAC，可得 B.而 01Rx或 23x，0,201x或 23x.B借助数轴可得 A01或 23x
3、03x.【反馈演练】1设集合 2,1， 3,B， 4,2C，则 CBAU=_2设 P， Q 为两个非空实数集合，定义集合 P+Q= ,520,|Pba若6,，则 P+Q 中元素的个数是_8_个3设集合 260x， 23xa.（1）若 ，求实数 a 的取值范围；（2）若 PQ，求实数 a 的取值范围；（3）若 03x，求实数 a 的值.解：（1）由题意知： 2x， PQ， P.当 Q时，得 a，解得 3当 时，得 ，解得 10a综上， (1,0)(3,)a（2）当 Q时，得 23a，解得 ；当 时，得 ,或 ，解得 352a或 综上， 3(,5,)2a（3）由 0PQx，则 0a第 2 课 命题
4、及逻辑联结词【考点导读】1. 了解命题的逆命题，否命题与逆否命题的意义；会分析四种命题的相互关系2. 了解逻辑联结词“或” ， “且” ， “非”的含义；能用“或” ， “且” ， “非”表述相关的数学内容3. 理解全称量词与存在量词的意义；能用全称量词与存在量词叙述简单的数学内容理解对含有一个量词的命题的否定的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定【基础练习】1.下列语句中： 230x；你是高三的学生吗？ 315； 36x其中，不是命题的有_ 2.一般地若用 p 和 q 分别表示原命题的条件和结论，则它的逆命题可表示为若q 则 p ，否命题可表示为 pq若 则 ，逆否命题可表示为 qp若
5、 则 ；原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆否命题【范例解析】例 1.写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题并判断真假.（1） 平行四边形的对边相等；（2） 菱形的对角线互相垂直平分；（3） 设 ,abcdR，若 ,abcd，则 acbd.分析：先将原命题改为“若 p 则 q”，在写出其它三种命题.解：（1）原命题：若一个四边形是平行四边形，则其两组对边相等；真命题；逆命题：若一个四边形的两组对边相等，则这个四边形是平行四边形；真命题；否命题：若一个四边形不是平行四边形，则其两组对边至少一组不相等；真命题；逆否命题：若一个四边形的两组对边至少一组不相等，则这个四边形不是平行四边形
6、；真命题.（2）原命题：若一个四边形是菱形，则其对角线互相垂直平分；真命题；逆命题：若一个四边形的对角线互相垂直平分，则这个四边形是菱形；真命题；否命题：若一个四边形不是菱形，则其对角线不垂直或不平分；真命题；逆否命题：若一个四边形的对角线不垂直或不平分，则这个四边形不是菱形；真命题.（3）原命题：设 ,abcdR，若 ,abcd，则 acbd；真命题；逆命题：设 ,abcdR，若 acbd，则 ,abcd；假命题；否命题：设 ，若 或 ，则 ；假命题；逆否命题：设 ,c，若 c，则 或 c；真命题.点评：已知原命题写出其它的三种命题首先应把命题写成“若 p 则 q”的形式，找出其条件 p 和
7、结论 q，再根据四种命题的定义写出其它命题；对于含大前提的命题，在改写命题时大前提不要动；在写命题 p 的否定即 时，要注意对 p中的关键词的否定，如“且”的否定为“或” ， “或”的否定为“且” ， “都是”的否定为“不都是”等.例 2.写出由下列各组命题构成的“ p 或 q”， “p 且 q”， “非 p”形式的命题，并判断真假.（1） p：2 是 4 的约数， q：2 是 6 的约数；（2） p：矩形的对角线相等， q：矩形的对角线互相平分；（3） p：方程 210x的两实根的符号相同， q：方程 210x的两实根的绝对值相等.分析：先写出三种形式命题，根据真值表判断真假.解：（1） p
8、 或 q：2 是 4 的约数或 2 是 6 的约数，真命题；p 且 q：2 是 4 的约数且 2 是 6 的约数，真命题；非 p：2 不是 4 的约数，假命题.（2） p 或 q：矩形的对角线相等或互相平分，真命题；p 且 q：矩形的对角线相等且互相平分，真命题； 非 p：矩形的对角线不相等，假命题.（3） p 或 q：方程 210x的两实根的符号相同或绝对值相等，假命题；p 且 q：方程 的两实根的符号相同且绝对值相等，假命题； 非 p：方程 2x的两实根的符号不同，真命题.点评：判断含有逻辑联结词“或” ， “且” ， “非”的命题的真假，先要把结构弄清楚，确定命题构成的形式以及构成它们的
9、命题 p， q 的真假然后根据真值表判断构成新命题的真假.例 3.写出下列命题的否定，并判断真假.（1） p：所有末位数字是 0 或 5 的整数都能被 5 整除；（2） p：每一个非负数的平方都是正数；（3） p：存在一个三角形，它的内角和大于 180；（4） p：有的四边形没有外接圆；（5） p：某些梯形的对角线互相平分.分析：全称命题“ ,()xMp”的否定是“ ,()xMp”，特称命题“,()xp”的否定是“ ,()” .解：（1） ：存在末位数字是 0 或 5 的整数，但它不能被 5 整除，假命题；（2） p：存在一个非负数的平方不是正数，真命题；（3） ：任意一个三角形，它的内角和都
10、不大于 180，真命题；（4） ：所有四边形都有外接圆，假命题；（5） ：任一梯形的对角线都不互相平分，真命题.点评：一些常用正面叙述的词语及它的否定词语列表如下：正面词语 等于 大于 小于 是 都是否定词语 不等于 不大于 不小于 不是 不都是正面词语 至多有一个 至少有一个 任意的 所有的 否定词语 至少有两个 一个也没有 某个 某些 【反馈演练】1命题“若 aM，则 b”的逆否命题是_.2已知命题 p： 1sin,xR，则 :p,sin1xR. 3若命题 m 的否命题 n，命题 n 的逆命题 p，则 p 是 m 的_逆否命题_. 4命题“若 ，则 2ba”的否命题为_5分别写出下列命题的
11、逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假（1）设 ,ab，若 0，则 或 0；（2）设 R，若 ,，则 解：（1）逆命题：设 ,，若 a或 b，则 a；真命题；否命题：设 b，若 0，则 且 0；真命题；逆否命题：设 ,，若 且 ，则 b；真命题；（2）逆命题：设 R，若 ，则 ,；假命题；否命题：设 ,a，若 或 b，则 a；假命题；逆否命题：设 b，若 0a，则 或 0；真命题若 ，则bMa若 ，则ab21ab第 3 课时 充分条件和必要条件【考点导读】1. 理解充分条件，必要条件和充要条件的意义；会判断充分条件，必要条件和充要条件2. 从集合的观点理解充要条件，有以下一些结论：若集合
12、PQ，则 是 的充分条件；若集合 ，则 是 的必要条件；若集合 ，则 是 的充要条件3. 会证明简单的充要条件的命题，进一步增强逻辑思维能力【基础练习】1.若 pq，则 是 的充分条件若 qp，则 是 q的必要条件若 pq，则 是 的充要条件2.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空.（1）已知 :2px， :q，那么 p是 q的_充分不必要_条件（2）已知 两直线平行， 内错角相等，那么 p是 q的_充要_条件 （3）已知 :四边形的四条边相等， :四边形是正方形，那么 p是 q的_必要不充分_条件3.若 xR，则 1的一个必要不充分条件是 0x【范例解析】
13、例.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空.（1） 2,.xy是 4,.y的_条件；（2） (4)10是 x的_条件；（3） 是 tant的_条件；（4） 3xy是 x或 2y的_条件.分析：从集合观点“小范围 大范围”进行理解判断，注意特殊值的使用.解：（1）因为 ,.y结合不等式性质易得 4,.xy，反之不成立，若 12x，10y，有 4,.xy，但 2,.xy不成立，所以 2,.xy是 4,.y的充分不必要条件.（2）因为 ()10x的解集为 1,4， 0x的解集为 (1,，故(4)是 4的必要不充分条件.（3）当 2时， tan,均不存在；当 tant
14、时，取 4，54，但 ，所以 是 tt的既不充分也不必要条件.（4）原问题等价其逆否形式，即判断“ 1x且 2y是 3xy的_条件” ，故 3xy是 1x或 2y的充分不必要条件.点评：判断 p 是 q 的什么条件，实际上是判断“若 p 则 q”和它的逆命题“若 q 则 p”的真假，若原命题为真，逆命题为假，则 p 为 q 的充分不必要条件；若原命题为假，逆命题为真，则 p 为 q 的必要不充分条件；若原命题为真，逆命题为真，则 p 为 q 的充要条件；若原命题，逆命题均为假，则 p 为 q 的既不充分也不必要条件.在判断时注意反例法的应用.在判断“若 p 则 q”的真假困难时，则可以判断它的逆否命题“若 q 则 p”的真假.【反馈演练】1设集合 30|xM， 20|xN，则“ Ma”是“ Na”的_必要不充分条件2已知 p：1 x2， q： x(x3)0，则 p 是 q 的 条件3已知条件 2:1ARa，条件 2:30BxR若q是 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围解： :1Bx，若 q是 p的充分不必要条件，则 AB若 A，则 240a，即 2；若 ，则 22, 4,ax解得 52a综上所述， 5a充分不必要
