1、第 1 页（共 20 页）2015 年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题（每小题 5 分，共 40 分）1 （5 分） （2015 北京）复数 i（2i ）= （ ）A1+2i B1 2i C 1+2i D12i2 （5 分） （2015 北京）若 x，y 满足 ，则 z=x+2y 的最大值为（ ）A0 B1 C D23 （5 分） （2015 北京）执行如图所示的程序框图输出的结果为（ ）A （2， 2） B （ 4，0） C （ 4，4） D （0，8）4 （5 分） （2015 北京）设 ， 是两个不同的平面，m 是直线且 m， “m“ 是“” 的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充
2、分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件5 （5 分） （2015 北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）第 2 页（共 20 页）A2+ B4+ C2+2 D56 （5 分） （2015 北京）设a n是等差数列，下列结论中正确的是（ ）A若 a1+a20，则 a2+a30 B若 a1+a30，则 a1+a20C若 0a 1 a2，则 a2 D若 a10，则（a 2a1） （a 2a3）07 （5 分） （2015 北京）如图，函数 f（x）的图象为折线 ACB，则不等式 f（x）log 2（x+1）的解集是（ ）Ax|1x0 Bx| 1 x1 Cx| 1x1 Dx|
3、1x28 （5 分） （2015 北京）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（ ）A消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米B以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升汽油D某城市机动车最高限速 80 千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油第 3 页（共 20 页）二、填空题（每小题 5 分，共 30 分）9 （5 分） （2015 北京）在（2+x） 5 的展开式中，x 3 的系数为 （用数字作答）10 （5 分） （
4、2015 北京）已知双曲线 y2=1（a 0）的一条渐近线为 x+y=0，则 a= 11 （5 分） （2015 北京）在极坐标系中，点（2， ）到直线 （cos + sin）=6 的距离为 12 （5 分） （2015 北京）在ABC 中，a=4，b=5，c=6，则 = 13 （5 分） （2015 北京）在ABC 中，点 M，N 满足 =2 ， = ，若=x +y ，则 x= ，y= 14 （5 分） （2015 北京）设函数 f（x）= ，若 a=1，则 f（x）的最小值为 ；若 f（x）恰有 2 个零点，则实数 a 的取值范围是 三、解答题（共 6 小题，共 80 分）15 （13 分
5、） （2015 北京）已知函数 f（x）= sin cos sin （）求 f（x）的最小正周期；（）求 f（x）在区间，0上的最小值16 （13 分） （2015 北京）A，B 两组各有 7 位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A 组：10，11，12，13，14， 15，16B 组；12，13，15，16，17， 14，a假设所有病人的康复时间相互独立，从 A，B 两组随机各选 1 人，A 组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙（）求甲的康复时间不少于 14 天的概率；（）如果 a=25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；（）当 a 为何值时，A ，B 两组病人康
6、复时间的方差相等？（结论不要求证明）17 （14 分） （2015 北京）如图，在四棱锥 AEFCB 中，AEF 为等边三角形，平面AEF平面 EFCB，EFBC，BC=4，EF=2a ，EBC=FCB=60 ，O 为 EF 的中点（）求证：AOBE（）求二面角 FAEB 的余弦值；（）若 BE平面 AOC，求 a 的值第 4 页（共 20 页）18 （13 分） （2015 北京）已知函数 f（x）=ln ，（）求曲线 y=f（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程；（）求证，当 x（0，1）时， f（x） ；（）设实数 k 使得 f（x） 对 x（0，1）恒成立，求 k 的最大值19 （1
7、4 分） （2015 北京）已知椭圆 C： + =1（a b0）的离心率为 ，点P（0，1）和点 A（m，n） （m 0）都在椭圆 C 上，直线 PA 交 x 轴于点 M（）求椭圆 C 的方程，并求点 M 的坐标（用 m，n 表示） ；（）设 O 为原点，点 B 与点 A 关于 x 轴对称，直线 PB 交 x 轴于点 N，问：y 轴上是否存在点 Q，使得OQM=ONQ？若存在，求点 Q 的坐标，若不存在，说明理由20 （13 分） （2015 北京）已知数列a n满足：a 1N*，a 136，且 an+1=（n=1，2，） ，记集合 M=an|nN*（）若 a1=6，写出集合 M 的所有元素；
8、（）如集合 M 存在一个元素是 3 的倍数，证明：M 的所有元素都是 3 的倍数；（）求集合 M 的元素个数的最大值第 5 页（共 20 页）2015 年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题 5 分，共 40 分）1 （5 分） （2015 北京）复数 i（2i ）= （ ）A1+2i B1 2i C 1+2i D12i【分析】利用复数的运算法则解答【解答】解：原式=2i i2=2i（ 1）=1+2i ；故选：A【点评】本题考查了复数的运算；关键是熟记运算法则注意 i2=12 （5 分） （2015 北京）若 x，y 满足 ，则 z=x+2y 的最大值为（ ）A0 B
9、1 C D2【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数 z=x+2y 对应的直线进行平移，即可求出 z 取得最大值【解答】解：作出不等式组 表示的平面区域，当 l 经过点 B 时，目标函数 z 达到最大值z 最大值 =0+21=2故选：D【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数 z=x+2y 的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题3 （5 分） （2015 北京）执行如图所示的程序框图输出的结果为（ ）第 6 页（共 20 页）A （2， 2） B （ 4，0） C （ 4，4） D （0，8）【分析】模拟程序框图的运行过程，即可得出
10、程序运行后输出的结果【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；x=1，y=1，k=0 时，s=xy=0，t=x+y=2；x=s=0，y=t=2 ，k=1 时，s=xy=2，t=x+y=2；x=s=2，y=t=2，k=2 时，s=xy=4，t=x+y=0；x=s=4，y=t=0，k=3 时，循环终止，输出（x，y）是（4，0） 故选：B【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，是基础题目4 （5 分） （2015 北京）设 ， 是两个不同的平面，m 是直线且 m， “m“ 是“” 的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件第
11、7 页（共 20 页）【分析】m 并得不到 ，根据面面平行的判定定理，只有 内的两相交直线都平行于 ，而 ，并且 m，显然能得到 m，这样即可找出正确选项【解答】解：m，m 得不到 ，因为 ， 可能相交，只要 m 和 ， 的交线平行即可得到 m；，m ， m 和 没有公共点，m ，即 能得到 m；“m”是“”的必要不充分条件故选 B【点评】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念5 （5 分） （2015 北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）A2+ B4+ C2+2 D5【分析】根据三视图可
12、判断直观图为：OA面 ABC，AC=AB，E 为 BC 中点，EA=2，EA=EB=1，OA=1，：BC面 AEO，AC= ，OE=判断几何体的各个面的特点，计算边长，求解面积【解答】解：根据三视图可判断直观图为：OA面 ABC，AC=AB，E 为 BC 中点，EA=2，EC=EB=1，OA=1，可得 AEBC，BCOA，运用直线平面的垂直得出：BC面 AEO，AC= ，OE=S ABC= 22=2，S OAC=SOAB= 1= SBCO= 2 = 故该三棱锥的表面积是 2 ，故选：C第 8 页（共 20 页）【点评】本题考查了空间几何体的三视图的运用，空间想象能力，计算能力，关键是恢复直观图
13、，得出几何体的性质6 （5 分） （2015 北京）设a n是等差数列，下列结论中正确的是（ ）A若 a1+a20，则 a2+a30 B若 a1+a30，则 a1+a20C若 0a 1 a2，则 a2 D若 a10，则（a 2a1） （a 2a3）0【分析】对选项分别进行判断，即可得出结论【解答】解：若 a1+a20，则 2a1+d0，a 2+a3=2a1+3d 2d，d0 时，结论成立，即 A 不正确；若 a1+a30，则 a1+a2=2a1+d0，a 2+a3=2a1+3d2d，d0 时，结论成立，即 B 不正确；an是等差数列，0a 1a 2， 2a2=a1+a32 ，a 2 ，即 C
14、正确；若 a10，则（a 2a1） （a 2a3）=d 20，即 D 不正确故选：C【点评】本题考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础7 （5 分） （2015 北京）如图，函数 f（x）的图象为折线 ACB，则不等式 f（x）log 2（x+1）的解集是（ ）Ax|1x0 Bx| 1 x1 Cx| 1x1 Dx|1x2【分析】在已知坐标系内作出 y=log2（x+1）的图象，利用数形结合得到不等式的解集第 9 页（共 20 页）【解答】解：由已知 f（x）的图象，在此坐标系内作出 y=log2（x+1）的图象，如图满足不等式 f（x）log 2（x+1）的 x 范围是1x1；所以不
15、等式 f（x）log 2（x+1）的解集是x|1 x1；故选 C【点评】本题考查了数形结合求不等式的解集；用到了图象的平移8 （5 分） （2015 北京）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（ ）A消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米B以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升汽油D某城市机动车最高限速 80 千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【分析】根据汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，
16、以及图象，分别判断各个选项即可【解答】解：对于选项 A，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于 40 千米每小时时的燃油效率大于 5 千米每升，故乙车消耗 1 升汽油的行驶路程远大于 5 千米，故 A 错误；对于选项 B，以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最小，故 B 错误，对于选项 C，甲车以 80 千米 /小时的速度行驶 1 小时，里程为 80 千米，燃油效率为 10，故消耗 8 升汽油，故 C 错误，第 10 页（共 20 页）对于选项 D，因为在速度低于 80 千米/小时，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，故 D 正确【点评】本题考查了函数图象的识别，关键掌握题意，属于基础题二、填
17、空题（每小题 5 分，共 30 分）9 （5 分） （2015 北京）在（2+x） 5 的展开式中，x 3 的系数为 40 （用数字作答）【分析】写出二项式定理展开式的通项公式，利用 x 的指数为 3，求出 r，然后求解所求数值【解答】解：（2+x） 5 的展开式的通项公式为：T r+1= 25rxr，所求 x3 的系数为： =40故答案为：40【点评】本题考查二项式定理的应用，二项式系数的求法，考查计算能力10 （5 分） （2015 北京）已知双曲线 y2=1（a 0）的一条渐近线为 x+y=0，则 a= 【分析】运用双曲线的渐近线方程为 y= ，结合条件可得 = ，即可得到 a 的值【解答】解：双曲线 y2=1 的渐近线方程为 y= ，由题意可得 = ，解得 a= 故答案为： 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题11 （5 分） （2015 北京）在极坐标系中，点（2， ）到直线 （cos + sin）=6 的距离为 1 【分析】化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式距离公式即可得出【解答】解：点 P（2， ）化为 P 直线 （cos + sin）=6 化为 点 P 到直线的距离 d= =1
