1、2015 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标 1 卷）文一、选择题：每小题 5 分,共 60 分1、已知集合 ，则集合 中的元素个数为32,6,8102,4AxnNBAB（A） 5 （B）4 （C ）3 （D）22、已知点 ，向量 ，则向量 (0,1),(4,)A（A） （B） （C） （D）7)7(1,4)(1,4)3、已知复数 满足 ，则 （ ） z(iz（A） （B） （C ） （D）22i2i2i4、如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这 3 个数为一组勾股数，从中任取 3 个不同的数，则这 3 个数构成一组勾股数的概率为（ ）1,25（A） （B） （C） （
2、D ）1015101205、已知椭圆 E 的中心为坐标原点，离心率为 ，E 的右焦点与抛物线 的焦点重2:8Cyx合， 是 C 的准线与 E 的两个交点，则 ,BA（A） （B ） （C） （D）369126、 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“ 今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一） ，米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米约有（ ）（A） 斛 （B） 斛 （C） 斛 （
3、D） 斛423667、已知 是公差为 1 的等差数列， 为 的前 项和，若 ，则 （ ）nanSa84S10a（A） （B） （C） （D）29210128、函数 的部分图像如图所示，则 的单调递减区间为（ ）()cos)fx()fx（A） 13,4kkZ（B） （C） （D ）13(2,),4kkZ13(,),4kkZ,)9、执行右面的程序框图，如果输入的 ，则输出的 （ 0.1tn）（A） （B ） （C）7 （D）85610、已知函数 ，12,()log()1xf且 ，则 3fa6fa（A） （B） （C） （D）7453411、圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为 ）组成一个r几何
4、体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为 ，则 ( )1620r（A） （B）（C ） 4（D） 812、设函数 的图像与 的图像关于直线 对称，且()yfx2xayyx，则 ( )（A） （B） （C） （D）(2)41f1124二、填空题：本大题共 4 小题 ,每小题 5 分13、数列 中 为 的前 n 项和，若 ，则 .na112nnaS6nS14. 的图像在点 的处的切线过点 ，则 .3fx,f2,7a15. 若 x,y 满足约束条件 ,则 z=3x+y 的最大值为 021xy16.已知 是双曲线 的右焦点，P 是 C 左支上一点， ，当F2:8yCx0,6
5、A周长最小时，该三角形的面积为 AP三、解答题17. （本小题满分 12 分）已知 分别是 内角 的对边，,abcABC,.2sinisnBAC（I）若 ，求 （II）若 ，且 求 的面积.abco;B902,18. （本小题满分 12 分）如图四边形 ABCD 为菱形，G 为 AC 与 BD 交点，BEAD平（I）证明：平面 平面 ；AECBD（II）若 ， 三棱锥 的体积为 ，求该三棱锥的侧面积.120ABC,ECED6319. （本小题满分 12 分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量 y（单位：t）和年利润 z（单位：千元）的影响，对近
6、8 年的宣传费 和年销售量 数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的i 1,28i值.（I）根据散点图判断， 与 ，哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传yabxycdx费 x 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；（II）根据（I）的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程；（III）已知这种产品的年利润 z 与 x，y 的关系为，根据（II）的结果回答下列问题：0.2z（i）当年宣传费 =49 时，年销售量及年利润的预报值时多少？（ii）当年宣传费 为何值时，年利润的预报值最大？x20. （本小题满分 12 分）已知过点 且斜率为 k 的直线 l 与圆 C：1,0
7、A交于 M，N 两点.（I）求 k 的取值范围；（II）若 ，其2231xy 12OMN中 O 为坐标原点，求 .21. （本小题满分 12 分）设函数 .2lnxfea（I）讨论 的导函数 的零点的个数；（II）证明：当 时 .fxx 0a2lnfxa请考生在 22、23 、24 题中任选一题作答,如果多做, 则按所做的第一题计分,做答时请写清题号22. （本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图 AB 是 O 直径，AC 是 O 切线，BC 交 O 与点 E.AAA（I）若 D 为 AC 中点，证明： DE 是 O 切线；（II）若 ，求 的大小.3ACEAB23. （本小题满
8、分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，直线 ，圆 ，以坐标原点为极xOy1:2x222:11Cxy点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （I）求 的 极坐标方程.,（II）若直线 的极坐标方程为 ，设 的交点为 求 的面3CR423,MN2C积.24. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 . 12,0fxxa（I）当 时求不等式 的解集；af（II）若 的图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6，求 a 的取值范围.fx一、 D A C C B B B （8）D （9）C （10）A （11）B （12 ）C二、 填空题（13）6 （14）1 （15
9、）4 （16 ） 126三、 17、解：（I ）由题设及正弦定理可得 =2ac.2b又 a=b，可得 cosB= = 6 分22ac4（II）由（I）知 =2ac. 因为 B= ，由勾股定理得 .2bo9022ac=b故 ，的 c=a= . 所以ABC 的面积为 1. 12 分2ac=18、解：（I）因为四边形 ABCD 为菱形，所以 ACBD.因为 BE平面 ABCD,所以 ACBE,故 AC平面 BED.又 AC 平面 AEC,所以平面 AEC平面 BED. 5 分 （II）设 AB= ，在菱形 ABCD 中，又ABC= ，可得xo120AG=GC= ，GB=GD= . 因为 AEEC,所
10、以在 RtAEC 中，可的 EG= .322 32x由 BE 平面 ABCD,知EBG 为直角三角形，可得 BE= .2x由已知得，三棱锥 E-ACD 的体积 = ACGDBE=EACDV13364故 =2 9 分 x从而可得 AE=EC=ED= .所以 EAC 的面积为 3，EAD 的面积与 ECD 的面积均为 .6 5故三棱锥 E-ACD 的侧面积为 3+2 . 12 分519、解：（I）由散点图可以判断， y=c+d 适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 的回归xx方程式类型.（II）令 ，先建立 y 关于 w 的线性回归方程式.由于wx, ，281()108.d=6iiiiiy 5638
11、.10.6cd所以 y 关于 w 的线性回归方程为 ,因此 y 关于 的回归方程为y=.8wx10.68x（） （i）由（II ）知，当 =49 时，年销售量 y 的预报值 ，x10.6849=576.年利润 z 的预报值 9 分z=576.02496.3（ii）根据（II）的结果知，年利润 z 的预报值.=0.2(16+8)-13.xx所以当 ，即 =46.24 时， 取得最大值.3.z故年宣传费为 46.24 千元时，年利润的预报值最大. 12 分20、解：（I）由题设，可知直线 的方程为 .因为 与 C 交于两点，所以l1ykxl.231k解得 .473k所以 k 的取值范围为 . 5
12、分47(,)3（II）设 .将 代入方程 ，整理得12,MxyN1ykx22()(3)1xy. 所以 .2()4()70kk212247,kk.12Ocxy1212kxx248由题设可得 =12，解得 k=1，所以 的方程是 y=x+1.248kl故圆心 C 在 上，所以 . 12 分l2MN21、解：（I） 的定义域为 .fx20, (0)xafe当 0 时， 没有零点；af，当 时，因为 单调递增， 单调递减，所以 在 单调递增，又 ，2xeaxfx,0fa当 b 满足 0b 且 b 时， ，故当 0 时 存在唯一零点.6 分4a1()fbaf（II）由（I） ，可设 在 的唯一零点为 ，
13、当 时， 0；fx0,x0x， fx当 时， 0.0x，故 在 单调递减，在 单调递增，所以 时，f， 0x， 0x取得最小值，最小值为 .xf由于 ，所以 .02ae00212afxxna故当 时， . 12 分21fxn23、解：（I）因为 ，所以 的极坐标方程为 ，cos,iy1Ccos2的极坐标方程为 . 5 分 2C24s0（II）将 代入 ，得 ，解得4cin2340.故 ，即12,12MN由于 的半径为 1，所以 的面积为 . 10 分 CC1224、解：（I）当 时， 化为 .afx0x当 时，不等式化为 ，无解；x40当 时，不等式化为 ，解得 ；1 32 13 当 ，不等式化为- +2 0，解得 1 2.xx所以 的解集为 . 5 分 fx3 （II）由题设可得， 12,3,.xaf xa 所以函数 的图像与 轴围成的三角形的三个丁点分别为fx,ABC 的面积为 .21,021,13aABaCa 213a由题设得 6，故 2.所以 的取值范围为 . 10 分 a2，
