1、2015 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）理科数学本试题包括选择题，填空题和解答题三部分，共 6 页，时间 120 分钟，满分 150 分.一.选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，贼每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的.1. 已知 21iiz（ 为虚数单位） ，则复数 z=（ ）A. B.1i C. 1i D. 1ii2. 设 A,B 是两个集合，则” AB”是“ AB”的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3. 执行如图 1 所示的程序框图，如果输入 3n，则输出的 S( )A. 67 B. 3 C.8
2、9 D. 44. 若变量 满足约束条件 则 的最小值为（ ,xy1,2xy3zxy）A.-7 B.-1 C.1 D.25. 设函数 ()ln1)l()fxx，则 ()f是（ ）A.奇函数，且在 0,上是增函数 B. 奇函数，且在 (0,1)上是减函数C. 偶函数，且在 ()上是增函数 D. 偶函数，且在 上是减函数6. 已知 的展开式中含 的项的系数为 30，则 （ ）5(ax32xaA B. C.6 D.-637. 在如图 2 所示的正方形中随机投掷 10000 个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布 N(0,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）A.2386 B.2718 C.341
3、3 D.47728. 已知点 A，B，C 在圆 上运动，且 ，若点 P 的坐标为（2,0） ，则21xyABC的最大值为（ ）|PA.6 B.7 C.8 D.99. 将函数 的图像向右平移 个单位后得到函数 的图像，若对满足()sin2fx(0)2()gx的 ，有 ，则 （ ）1|g1,x12min|3xA.52 B. 3 C. 4 D. 610. 某工件的三视图如图 3 所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新 工 件 的 体 积原 工 件 的 体 积） （ ）A. 89 B. 16 C.3
4、4(21)D.312()二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.11. 20(1)xd .12. 在一次马拉松比赛中，35 名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图 4 所示.若将运动员按成绩由好到差编为 35:号，再用系统抽样方法从中抽取 7 人，则其中成绩在区间139,151上的运动员人数是 .13. 设 F 是双曲线 的一个焦点，若 C 上存在点 P，使线段 PF 的中点恰为其虚轴的2:1xyCab一个端点，则 C 的离心率为_。14设 nS为等比数列 n的前 项和，若 1a，且 123,S成等差数列，则 na .15已知32,()xaf，若存在实数 b，使函数 (
5、)gxfb有两个零点，则 的取值范围 是 .三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16.（本小题满分 12 分）本小题设有，三个选做题，请考生任选两题作答，并将解答过程写在答题卡中相应题号的答题区域内。如果全做，则按所做的前两题计分。（） （本题满分 6 分）选修 4-1：几何证明选讲如图 5，在 中，相交于点 E 的两弦 AB，CD 的中点分别是 M，N，直线 MO 与直线 CD 的中O:点分别是 M，N，直线 MO 与直线 CD 相交于点 F，证明：（） ；180E（） F:（） （本题满分 6 分）选修 4-4：坐标系与参数方程已知直线 （
6、 为参数） ，以坐标原点为极点，35,2:1xtly轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为x C2cos（）将曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程；C（）设点 M 的直角坐标为 ，直线 与曲线 的交点为 ，求 的值。(5,3)lC,AB|M:（） （本题满分 6 分）选修 4-5：不等式选讲设 ，且 ，证明：0,ab1ab（） ；2（） 与 不可能同时成立。217.（本小题满分 12 分）设 的内角 的对边分别为 ，且 为钝角。ABC,tanbcAB（）证明： ;2（）求 的取值范围。sin18.（本小题满分 12 分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖。每次抽
7、奖都是从装有 4 个红球、6 个白球的甲箱和装有 5 个白球的乙箱中，各随机摸出 1 个球。在摸出的 2 个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有 1 个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖。（）求顾客抽奖 1 次能获奖的概率；（）若某顾客有 3 次抽奖机会，记该顾客在 3 次抽奖中获一等奖的次数为 ，求 的分X布列和数学期望。19.（本小题满分 13 分）如图 6，已知四棱台 的上、下底面分别是边长1ABCD为 3 和 6 的正方形， ，且 底面 ，点 分别在16ABC,PQ棱 上。1,DBC（）若 是 的中点，证明： ；P11（）若 平面 ，二面角 的余弦值为 ，求四面体 的体积。/Q1A
8、BPQDA37ADPQ20.（本小题满分 13 分）已知抛物线 的焦点 也是椭圆 的一个焦点， 与21:4CxyF2:1(0)yxCab1C的公共弦的长为 。26（）求 的方程；2（）过点 的直线 与 相交于 两点，与 相交于 两点，且 与 同向。Fl1C,AB2C,DACBD（）若 ，求直线 的斜率；|ADl（）设 在点 处的切线与 轴的交点为 ，证明：直线 绕点 旋转时，1xMlF总是钝角三角形。MF21.（本小题满分 13 分）已知 ，函数 。记 为 的从小到大的第 个0a()sin(0,)axfenx()f *()nN极值点。证明：（）数列 是等比数列；()nfx（）若 ，则对一切 恒
9、成立。21ae*,|()|nNxf2015 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）理科数学参考答案一.选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，贼每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的.1.D 2.C 3.B 4.A 5. A6.D 7.C 8.B 9.D 10.A二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.11. 0 12.4 13. 14. 13n15. (,)(1,)三、解答题：16.（ ）证明：（）如图 所示，因为 分别是弦 的中点，a,MN,ABCD所以 ，即,OCD，因此9090E，又四边形的内角和等于18N，故 。36MO（）由（）
10、知， 四点共圆，故由割线定理即得,EFENMO:（）解：（） 等价于2cos2cos将 代入即得曲线 的直角坐标方程为2,xyxC20（）将 代入，得 。设这个方程的两个实根分别为，35,21xty253180tt则由参数 的几何意义即知，t 12|MABt:（）证明：由 ，得1,0ababab（）由基本不等式及 ，有 ，即122ab（）假设 与 同时成立，则由 及 得 ；2a2b201a同理， ，从而 ，这与 矛盾。故 与 不01ab2b可能同时成立。17.解：（）由 及正弦定理，得 ，所以 ，即tanbAsinsicoAabBsincoAsii()2B又 为钝角，因此 ，故 ，即,22（）
11、由（）知， ，所以()()0CAA(0,)4于是 sinsin(2)coA2sii19(n)48因为 ，所以 ，因此04A20siA2219(in)48由此可知 的取值范围是sinAC29(,8解：（）记事件 从甲箱中摸出的 1 个球是红球，1从乙甲箱中摸出的 1 个球是红球，2顾客抽奖 1 次获一等奖，1B顾客抽奖 1 次获二等奖，2顾客抽奖 1 次能获奖C由题意， 与 相互独立， 与 互斥， 与 互斥，且1A22A11B212,BC因为 ，所以1245()()00P1121()5APA22 12()()BP112()212)()PAA2(55故所求概率为 121217()()0PCBPB（
12、）顾客抽奖 3 次可视为 3 次独立重复试验，由（）知，顾客抽奖 1 次获一等奖的概率为，所以15(,)5X于是，033146()()25PC，8X，21342()()5PXC0故 的分布列为 X0 1 2 3P64125851的数学期望为 3()EX19.解法一：由题设知， 两两垂直，以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，1,ABDA1,BADx轴， 轴，建立如图 b 所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标为yz，其中 。11(0,)(3,6)(0,)(,36)(,0)Qm,06Qm（）若 是 的中点，则 ，P99322P又 ，1(,)AB于是 ，810Q:所以 ，即1PAB（）由题设知，
13、是平1(6,),(,36)DmD面 内的两个不共线向量。Q设 是平面 的一个法向量，1(,)nxyzPQ则 即10,D:6()0,3.xyz取 ，得 。又平面 的一个法向量是 ，所以y1(,)nmAD2(0,1)n22 222133cos,|(6)(6)45m:而二面角 的余弦值为 ，因此 ，PQDA37237(6)45m解得 ，或 （舍去） ，此时4m8,0Q设 ，而 ，由此得点 ，1(0)1(3)(0,63,)P所以 6,32,PQ因为 平面 ，且平面 的一个法向量是 ，/1AB1AB3(,1)n所以 ，即 ，亦即 ，从而30n:0230,4P于是，将四面体 视为以 为底面的三棱锥 ，则其高DPQADQ4h故四面体 的体积A1164232ADQVSh:解法二：（）如图 C，取 的中点 ，连结 。1R,PB因为 是梯形 的两腰， 是 的中点，所以 ，,A1A1D/PRAD于是由 知， ，所以 四点共面/DB/C,R由题设知， ，所以 平面 ，因此1,B1AA因为 ，所以 ，因此113tantan6ABRAB1ABR
