1、12015 年数学精编模拟题(理科)一、选择题:1. 复数 等于2i1A. B. C. D. i1i1i1i2. 已知全集 , , ,则 等于U,345,25A,35UAA B C D2, 2,353.已知 ,则 的值为1sinco()3sinA. B. C. D. 89989494已知命题 :若 是非零向量, 是非零实数,则 与 方向相反;命题 : 则下列命paaq|a题为真命题的是A. B. C. D. qpq()pq()p5.从编号为 0,1,2,79 的 80件产品中,采用系统抽样的方法抽取容量为 5的一个样本,若编号为 42的产品在样本中,则该样本中产品的最小编号为A.8 B.10
2、C. 12 D. 166. 图 1 是某几何体的三视图(单位:cm) ,正视图是等腰梯形,俯视图中的曲线是两个同心的半圆,侧视图是直角梯形则该几何体的体积等于A. 28 cm3 B. 14cm3 C. 7cm3 D. 56cm3 7.函数 ,则下列结论正确的是 图 15,(0)()1.xfA.函数 在其定义域内为增函数且是奇函数 B. 函数 在其定义域内为增函数且是偶函数f ()fxC. 函数 在其定义域内为减函数且是奇函数 D. 函数 在其定义域内为将函数且是偶函数()x8.设非空集合 M同时满足下列两个条件: 1,23,1n;若 a,则 a, (2,)nN.则下列结论正确的是 A. 若 n
3、为奇数,则集合 的个数为1; B. 若 n为奇数,则集合 M的个数为12n.C. 若 为偶数,则集合 M的个数为 2n; D. 若 为偶数,则集合 的个数为 ;二、填空题:9. 已知点 A 和向量 =(2,3) ,若 ,则点 B 的坐标为 . (1,5)a3Aa10.设随机变量 服从正态分布 ,若 ,则 . (29)N()()Pcc2OBCDA11. 函数 在 处取得最小值21()3xfe12. 已知方程 ( 是常数)表示曲线 C,给出下列命题:4ym曲线 C不可能为圆;曲线 C不可能为抛物线;若曲线 C为双曲线,则 或 ;若曲线 C为焦点在 x轴上的椭圆,则 .14 512m其中真命题的编号
4、为 . 13设实数 x,y 满足条件 ,若 的最小值为 0,则实数 的最小值与最大值的和等于 21xy|axya (二)选做题(14-15 题,考生只能从中选做一题)14 (极坐标与参数方程选讲选做题)已知两曲线的参数方程分别为 ( 为参数)和1,2.xtyt( 为参数) ,则它们的交点坐标为 sinco,12.xy15. (几何证明选做题)如图2,从圆 O外一点A 引圆的切线AD和割线ABC,已知,BC=2AB,圆心 O 到 AC 的距离为 ,则点 A 与圆 O 上的点的最3AD5短距离为 . 图 2三解答题:本大题共6小题,满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16. (本小题满
5、分 12 分)在ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 已知 ,,abc、 、 ,4abcsin2iAB(1)求ABC 的面积;(2)求 ta()变式 1:在ABC 中,内角 A、B 、C 的对边分别为 已知 , sin2iAB,abc、 、 221abc(1)求 ; (2)求 coscos()变式 2:在ABC 中,内角 A、B 、C 的对边分别为 已知向量,abc、 、 (sin,),mAB,且 , , (1,)n(,)4cpabmn/p|5(1)求ABC 的面积; (2)求 cos()AB17.(本小题满分12分)如图所示,某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的
6、污损,其中,频率分布直方图的分组区间分别为50,60) ,60,70),70 ,80),80,90),90 ,100),据此解答如下问3题(1)求全班人数及分数在80,100 之间的频率;(2)现从分数在80,100之间的试卷中任取 份分析学生失分情况,设抽取的试卷分数在 90,100的份数3为 X ,求 X 的分布列和数学望期18. (本小题满分 14 分)已知如图 1 所示的四边形 ABCD 中,DAAB,点 E 为AD 中点,AD=EC=2AB= BC=2,现将四边形沿 CE 翻折,2使得平面 CDE 与平面 ABCE 所成的二面角为 ( ) ,03连结 DA,DB,BE 得到如图 2
7、所示的四棱锥 D-ABCE(1)证明:平面 DAE平面 ABCE;(2)记四棱锥 D-ABCE 的体积为 ,当 取得最大值时,求 DB 与平面 ABCE 所成角的正弦值V变式 1:已知如图 1 所示的四边形 ABCD 中,DAAB,点 E 为 AD 中点,AD=EC=2AB= BC=2,现将四2边形沿 CE 翻折,使得平面 CDE平面 ABCE,连结DA,DB,BE 得到如图 2 所示的四棱锥 D-ABCE(1)证明:平面 BDE平面 BDC;(2)已知点 F 为侧棱 DC 上的点,若 ,15DFC求二面角 F-BE-D 的余弦值备选:已知侧棱与底面垂直的三棱柱 的底面为正三角形,1AB为边
8、的中点DAC(1)证明: 平面 ;1/B1DC(2)当 取何值时, ?AB(3)当 时,求平面A 1C与平面A 1CB所成锐二面角的余弦值. 119 (本小题满分 14 分)已知点 ,一动圆在 y 轴右侧与 y 轴相切,同2122(0),(,:()1FFxy,时与4相外切,设动圆的圆心轨迹为曲线 T2FA(1)求曲线 T 的方程;(2)设 C、D 是曲线 T 上位于 x 轴上方的两点,分别过 C、D 作曲线 T 的切线,两条切线交于点 P,且分别与 x 轴交于点 B、A,AC 与 BD 交于点 E,作 EFx 轴于点 F,试探究 P、E、F 三点是否共线?变式 1:已知点 ,一动圆在 y 轴右
9、侧与 y 轴相切,同时与 相外切,设222(0),(1,:(1)FFxy, 2FA动圆的圆心轨迹为曲线 C,曲线 E 是以 为焦点的椭圆2、(1)求曲线 C 的方程;(2)记曲线 C 与曲线 E 在第一象限内的交点为 P,且 ,求曲线 E 的标准方程;17|3F(3)定义:连结椭圆上任意两点所成的线段叫做椭圆的弦过椭圆 E 的右焦点 作两条互相垂直的弦2FAB、GH ,设 AB、GH 的中点分别为 M、N,试探究直线 MN 是否过定点?若过定点,求出该定点的坐标,若不过定点,说明理由.20 (本小题满分 14 分)已知函数 ,其中 为实数且 1()|2|fxkxb,k0k(1)当 时,根据定义
10、证明函数 在 上单调递增; 0kyf(,)(2)若 为常数,函数 有三个不同的零点,求 的取值范围()yfxb20.备选 1:已知数列 的首项 ,前 项和为 ,且 .na14nnS13240()nSnN(1)求数列 的通项公式;(2)设函数 , 是函数 的导函数,令 ,试探究数列211()nnfxxa ()fx()fx(1)nbf是否存在最小值项?若存在,求出该项,若不存在,说明理由nb21(本小题满分 14 分)已知函数 ,数列 满足 , ,记32+()1xfnx121()nnxf()N13log()nnxy(1)求 的值;(2)求数列 的通项公式;1yny(3)证明:对 , nN121()
11、()2ny21备选:已知函数 ()l(),.xfxaaR(1)当 时,求函数 f (x)的最小值;5(2)当 时,讨论函数 f (x)的零点个数1a参考答案一、选择题:BCAC BBAD.解析:8.取 n=4 验证易得.二、填空题:9.(5,14);10. 2;11. ;12. ;13. ;14. ;15. 1ln32x72(1), 2313. 的最小值为 0,等价为 与约束区域有交点,|axy0ay作出不等式组对应的平面区域,如图易得: ,maxin1,14两曲线的普通方程分别为 , ,32(1)y2(2)yx由 得 或 (其中 不合舍去)由 得 ,230x1x3x1y即两曲线的交点为 .(
12、,)三、解答题:16.解:(1)解法 1:由 sinA=2sinB,根据正弦定理得 ,2ab又 ,2,ab4,2ab由余弦定理得 ,1647cos 8cB0,25sin18S ABC= 1sin45acB解法 2:由 sinA=2sinB,根据正弦定理得 ,2ab又 ,,b,b ,ABC 为等腰三角形,作底边 AC 的高 BD,D 为垂足,则 D 也是 AC 的中点,4ac ,22()BDAc165S ABC= .15C(2) , ,cos04215sin1cos64A , , , ,15ini28BAbBC026 ,2157cos1in648B , ,sita15co4A15sin8ta7c
13、oB tantan()1tABB1537变式 1:(1) ,由 ,22abc221cos4bcbcaA(2) , , ,cosA025in116由 sinA=2sinB,得 ,且 ,AB, ,15sini28BAab02B ,7cos1i64sin2A=2sinAcosA= ,1528cos2A=2cos2A-1= ,78 = .cos()ABcossin2AB715178832变式 2:(1)由 得 sinA=2sinB,根据正弦定理得 ,- m 2ab又 得 -/np,abc( ) ,-|522()516由联立消去 解得 ,代入得 ,-ab4c2ab联立解得 ,4,2由余弦定理得 ,214
14、7cos 8cBa07 ,215sin1cos8BS ABC= i415a(2) , ,1cos0A215sincos64A , , , ,5ini28BbBC02 ,217cos1i64 = .)AB( csosinAB1584617.解:(1)由茎叶图知分数在 的人数为 4, 人数为 8, 人数为 10,50,6)0,7)70,)故总人数为 ,4320.1分数在80,100的人数为: ,81频率为 ;5326(2)分数在 的人数为 6,分数在 的人数为 4,80,9)90,X 的可能取值为:0,1,2,3 , ,3610()CPX21630()CPX, ,46310(2) 4310() 的
15、分布列为:X0 1 2 3()P60数学期望 .1163205E备选 1:解:(1)记 表示事件:“取出的 2 件产品中无次品” ,0A表示事件:“取出的 2 件产品中恰有 1 件是次品” 则 互斥,且 ,故:01, 018-4 分01()PA01()PA21()C()pp2=0.91即 2.9pp -6 分3(2) 的可能取值为 0,1,2-7 分若该批产品共 100 件,则由(1)知其中次品有 件,-8 分10.3故 ,-9 分2701C6()3P,-10 分70214()-11 分3021C9()P所以 的分布列为-12 分18.解:(1)证明:在图 1 中连结 BE,AB=AE=1,D
16、AAB,EAB 为等腰直角三角形,BE= ,又 BC= ,CE=2,BCE 是等腰直角三角形,2BCBE, AEC=AEB+BEC=90,CEAD,在图2中,CEDE,CEAE ,DEAE=E,EC平面ADE,又EC 平面ABCD ,平面DAE 平面 ABCE.(2)由(1)知DEA 为平面 CDE 与平面 ABCE所成的二面角的平面角,即DEA= ,在平面ADE内过点 D作DOAE 于O,平面DAE 平面ABCE,且平面DAE平面 ABCE=AE,DO平面ABCE,连结BO,在OBD 为DB与平面ABCE所成的角,在Rt DOE中,DO=sin , ,13()22ABCESAE梯 形 , ,
17、且 在 上单调递增,13sini2V03sinx(0,当 时, 取得最大值,这时ADE 为等边三角形,O为AE的中点,DO= ,20 1 2P6343909由(1)易知ABAD,DB= , .236sin42ODB变式 1:解:(1)证明:在图 1 中连结 BE,AB=AE=1 ,DA AB,EAB 为等腰直角三角形,BE= ,又 BC= ,CE=2,BCE 是等腰直角三角形,2BCBE, AEC=AEB+BEC=90,CEAD,在图 2 中,平面 CDE平面 ABCE,平面 CDE平面 ABCE=CE,DE平面 ABCE,BC 平面 ABCE,DE BC,又 DEBE=E,BC平面 BDE,
18、又 BC 平面 BCD,平面 BDE平面 BDC.(2)由(1)知,图 2 中 AE, EC,DE 两两互相垂直,故以点 E 为坐标原点,AE 所在的直线为 x 轴建立空间直角坐标系如右图示,则 A(1, 0,0),B(1,1,0),C(0,2,0) ,D(0,0,1), , ,又 得 ,(,)DC(0)EB15DFC24(,)5 ,设平面 BEF 的一个法向量为 ,45EFmabc由 令 得 ,即 ,,0,20.abmc 12,(2,1)由(1)知 为平面 BDE 的一个法向量,设所求的二面角的大小为 ,(1,)BC 则 .cos|m2|4123即二面角 F-BE-D 的余弦值为 .3备选:
19、解:(1)证明:取A 1C1的中点D 1,连结AD 1,D 1B1, ,四边形ADC 1D1为平行四边形1/DAD 1/DC1 AD 1 平面 ,DC 1 平面 ,B1BAD 1/平面 BDC1 同理 B1D1/平面 BDC1 又 AD1B 1D1=D1,平面 AB1D1/平面 BDC1AB 1 平面 AB1D1, 平面 ./AC(2)解法 1:设 AB=1,AA 1= ,以点 D 为坐标原点,AC 所x在的直线为 x 轴,DB 所在的直线为 y 轴建立空间直角坐标系如10图示,则 , ,(0)D, , 13(,0)(,)(0)22ACB, , , , ,13(,)2Bx1(,)x , ,1(,)A13(,)2BCx若 ,则 ,解得 , 1B10 2042x即当 时, .12A1BC解法 2:设 AB=1,AA 1= ,若 ,则 ,x1A10BC ,1()0B()()即 ,1111ACB 1, ,解得 ,20cos120x2x即当 时, .1AB1BC(3)设 AB=1,由(2)知,当 时, ,1A12AB ,13(,0)CB12(,)C设平面 A1BC 的一个法向量为 ,,nabc由 ,令 ,得 ,130,0,2.nBCac 231,ab即 , 是平面 A1AC 的法向量,3(,2)n 3(0,)2DB