1、高二 A 数学椭圆练习题一 选择题1椭圆 y21 上一点 P 到一个焦点的距离为 2，则点 P 到另一个焦点的距离为( )x225A5 B6C7 D8解析：选 D. a5，| PF1|2.| PF2|2 a| PF1|2528.2.过椭圆 1( ab0)的左焦点 F1作 x 轴的垂线交椭圆于点 P， F2为右焦点，若x2a2 y2b2 F1PF260，则椭圆的离心率为 ( )A. B. 52 33C. D.12 13答案 B3.(2013重庆高二检测)已知直线 l 过点(3,-1),且椭圆 C: + =1,则直线 l 与椭圆 C 的公共点的个数为( C )A.1 B.1 或 2C.2 D.04
2、.若 AB 为过椭圆 + =1 的中心的弦 ,F1为椭圆的左焦点,则F 1AB 面积的最大值为( B )A.6 B.12 C.24 D.365.椭圆 + =1 上的点到直线 x+2y- =0 的最大距离为( C)A.3 B. C. D.26.已知椭圆 1 的两个焦点 F1， F2， M 是椭圆上一点，且| MF1| MF2|1，则x23 y24MF1F2是( )A钝角三角形 B直角三角形C锐角三角形 D等边三角形7.椭圆的两焦点为 F1(4,0)、 F2(4,0)，点 P 在椭圆上，若 PF1F2的面积最大为 12，则椭圆方程为_解析：当 PF1F2面积取最大时， S PF1F2 8b12，
3、b3.12又 c4， a2 b2 c225.椭圆的标准方程为 1.x225 y29答案： 1x225 y298 “m n0”是“方程 mx2 ny21 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的( )A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选 C.mx2 ny21 可化为 1，因为 m n0，所以 0 ，因此椭圆x21my21n 1m 1n焦点在 y 轴上，反之亦成立9.过椭圆 1( a b0)的左焦点 F1作 x 轴的垂线交椭圆于点 P， F2为右焦点，x2a2 y2b2若 F1PF260，则椭圆的离心率为( )A. B.22 33C. D.12 1310直线 y
4、x1 被椭圆 1 所截得的弦的中点坐标是( )x24 y22A. B.(23， 53) (43， 73)C. D.(23， 13) ( 132， 172)解析：选 C.把 y x1 代入椭圆方程，整理得 3x24 x20，所以弦的中点坐标( x0， y0)满足 x0 ， y0 x01 1 .x1 x22 23 23 13二、填空题11.已知椭圆 1 的离心率为 ，则 k 的值为_x2k 8 y29 12 54-或12. (2013绵阳高二检测)短轴长为 ,离心率 e= 的椭圆的两焦点为 F1,F2,过 F1作直线交椭圆于 A,B 两点,则ABF 2的周长为 .1213.已知椭圆的焦点是 F1(
5、1,0)， F2(1,0)， P 为椭圆上一点，且| F1F2|是| PF1|和| PF2|的等差中项，则椭圆的方程为_解析：由题设知| PF1| PF2|2| F1F2|4，2 a4,2 c2， b ，3椭圆的方程为 1.x24 y23答案： 1x24 y2314.若椭圆的短轴长为 6，焦点到长轴的一个端点的最近距离是 1，则椭圆的离心率为_解析：依题意，得 b3， a c1.又 a2 b2 c2，解得 a5， c4，椭圆的离心率为 e .ca 45答案：4515.已知椭圆的方程为 1( m0)如果直线 y x 与椭圆的一个交点 M 在 x 轴x216 y2m2 22上的射影恰为椭圆的右焦点
6、 F，则椭圆的离心率为_解析：焦点在 x 轴上，设交点为 P，则 P ，(16 m2，m24)又点 P 在 y x 上，22 ，解得 m2 ，m24 22 16 m2 2 e .ca 224 22答案：2216.椭圆 1 的两个焦点为 F1和 F2，点 P 在椭圆上，线段 PF1的中点在 y 轴上，那么x212 y23|PF1|是| PF2|的_ _倍7三、解 答题(9 题,10 题 14 分,11 题 18 分)17.(2013合肥高二检测)已知椭圆 C 的焦点 F1(-2 ,0)和 F2(2 ,0),长轴长为 6,设直线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点,且线段 AB 的 中点坐标是 P(
7、- , ),求直线 l 的方程.解：由已知条件得椭圆的焦点在 x 轴上,其中 c=2 ,a=3,从而 b=1,所以其标准方程是 +y2=1.设 A(x1,y1),B(x2,y2),线段 AB 的中点为 P(- , ),则 =- , = .又A,B 在椭圆上,两式相减得 - +9( - )=0,即(x 1+x2)(x1-x2)+9(y1+y2)(y1-y2)=0,- (x1-x2)+9 (y1-y2)=0, =1.所以 k=1,所以直线 l 的方程为 y=x+1.18.在圆 C：( x1) 2 y225 内有一点 A(1，0)， Q 为圆 C 上一点， AQ 的垂直平分线与C， Q 的连线交于点
8、 M，求点 M 的轨迹方程解 由题意知点 M 在线段 CQ 上，从而有| CQ| MQ| MC|.又点 M 在 AQ 的垂直平分线上，则| MA| MQ|，| MA| MC| CQ|5. A(1，0)， C(1，0)，点 M 的轨迹是以(1，0)，(1，0)为焦点的椭圆，且 2a5，故a ， c1， b2 a2 c2 1 .52 254 214故点 M 的轨迹方程为 1.x2254y221418.(2013安阳高二检测)已知椭圆的两焦点为 F1(- ,0),F2( ,0),离心率 e= .(1)求此椭圆的方程.(2)设直线 l:y=x+m,若 l 与此椭圆相交于 P,Q 两点,且|PQ|等于椭
9、圆的短轴长,求 m 的值.(1)设椭圆方程为 + =1(ab0),则 c= , = ,a=2,b 2=a2-c2=1.所求椭圆方程为 +y2=1.(2)由 消去 y,得 5x2+8mx+4(m2-1)=0,则 =64m 2-80(m2-1)0 得 m20，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x2 ， x1x2 .2kk2 4 3k2 4由 ，得 x1x2 y1y20.OA OB 而 y1y2( kx11)( kx21) k2x1x2 k(x1 x2)1，于是 x1x2 y1y2 1 .3k2 4 3k2k2 4 2k2k2 4 4k2 1k2 4由 0，得 k ，此时 .
10、4k2 1k2 4 12 OA OB 当 k 时， x1 x2 ， x1x2 .12 417 1217| | ，AB x2 x1 2 y2 y1 2 1 k2 x2 x1 2而( x2 x1)2( x2 x1)24 x1x2 4 ，42172 1217 4252172所以| | .AB 46517答案解析1.【解析】选 C.直线过定点(3,-1)且 + b0),则 c= , = ,a=2,b 2=a2-c2=1.所求椭圆方程为 +y2=1.(2)由 消去 y,得 5x2+8mx+4(m2-1)=0,则 =64m 2-80(m2-1)0 得 m25, (*)设 P(x1,y1),Q(x2,y2)
11、,则 x1+x2=- ,x1x2= ,y1-y2=x1-x2,|PQ|= =2.解得 m2= ,满足 (*),m= .11.【解析】以 AB 所在直线为 x 轴,AB 的垂直平分线为 y 轴,建立平面直角坐标系.则 A(-1,0),B(1,0).(1)由题意可知,C,D 两点在以 A,B 为焦点的一个椭圆上.平行四边形的周长为 8,2a=4,而 2c=2,b 2=a2-c2=3.故所求椭圆的标准方程为 + =1(y0),即为 C,D 两点的轨迹方程.(2)易知:当 C,D 为椭圆的短 轴端点时,农艺园的面积最大,其值为 2 km2.(3)求 l:y= (x+1)被椭圆 + =1 截得的线段长.设线段端点坐标分别为(x 1,y1),(x2,y2).由整理得 13x2+8x-32=0,由根与系数的关系,得 x1+x2=- ,x1x2=- ,弦长为 = ,
