1、 1绝密启封并使用完毕前试题类型：A2016 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.本试卷分第卷(选择题 )和第卷(非选择题) 两部分.第卷 1 至 3 页，第卷 3 至 5 页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第卷一. 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1 ）设集合2|430Ax， |230Bx，则 AB（A）3(,)（B ）(,)（C）(1,)（D）(,)（2 ）设 1iixy，其中 x，y
2、 是实数，则 i=xy（A）1（B ） 2（C） 3（ D）2（3 ）已知等差数列 na前 9 项的和为 27， 108a，则 10（A）100（B）99（C ）98（D）97（4）某公司的班车在 7:00， 8:00，8:30 发车，学.科网小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率是（A） （B） （C ） （D）（5）已知方程=1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 n 的取值范围是（A）(1,3) （B）(1, ) （C）(0,3) （D ）(0, )3 3（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相
3、等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是（A）17（B）18（C）20 （D）28（7）函数 y=2x2e|x|在2,2的图像大致为2（A） （B ）（C） （D ）（8）若 10abc， ，则（A） c（B） cba（C） loglbac（D） loglabc（9）执行右面的程序图，如果输入的 01xyn， ， ，则输出 x，y 的值满足（A） 2yx（B） 3yx（C ） 4yx（D ） 5yx(10)以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A、B 两点，交 C 的标准线于 D、E 两点.已知|AB|= 42，|DE|=5，则 C 的焦点到准线的距离为(A)
4、2 (B)4 (C)6 (D)8(11)平面 a 过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点 A，a/平面 CB1D1， a平面 ABCD=m， a平面 ABA1B1=n，则 m、n 所成角的正弦值为(A) 32(B) (C) 3 (D)12.已知函数 ()sin)(0),24fx+x， 为 ()fx的零点， 4为 ()yfx图像的对称3轴，且 ()fx在 51836， 单调，则 的最大值为（A）11 （B）9 （C） 7 （D）5第 II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题
5、：本大题共 3 小题，每小题 5 分(13)设向量 a=(m，1) ，b=(1，2) ，且| a+b|2=|a|2+|b|2，则 m=.(14) 5(2)x的展开式中，x 3 的系数是.（用数字填写答案）（15）设等比数列 满足 a1+a3=10，a 2+a4=5，则 a1a2an 的最大值为。（16）某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料。生产一件产品 A 需要甲材料 1.5kg，乙材料 1kg，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg，乙材料 0.3kg，用 3 个工时，生产一件产品A 的利润为 2100 元，生产一件产品 B 的利润为 900 元。该
6、企业现有甲材料 150kg，乙材料 90kg，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为元。三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17） （本题满分为 12 分）ABC的内角 A，B ，C 的对边分别别为 a，b，c，已知 2cos(cos).CaB+bA（I）求 C；（II）若 7,c的面积为 32，求 AB的周长（18） （本题满分为 12 分）如图，在已 A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，面 ABEF 为正方形，AF=2FD， 90AFD，且二面角 D-AF-E 与二面角 C-BE-F 都是 604（I）证明平面 ABEFEF
7、DC；（II）求二面角 E-BC-A 的余弦值（19） （本小题满分 12 分）某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记 X表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数， n表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数.（I）求 X的分布
8、列；（II）若要求 ()0.5P，确定 的最小值；（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在 19n与 20之中选其一，应选用哪个？20. （本小题满分 12 分）设圆 2150xy的圆心为 A，直线 l 过点 B（1,0 ）且与 x 轴不重合，l 交圆 A 于 C，D 两点，过B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E.5（I）证明 EAB为定值，并写出点 E 的轨迹方程；（II）设点 E 的轨迹为曲线 C1，直线 l 交 C1 于 M,N 两点，学科 &网过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P,Q两点，求四边形 MPNQ 面积的取值范围 .（21） （本小题满分 12 分
9、）已知函数 有两个零点.()=(2)+(1)2(I)求 a 的取值范围；(II)设 x1，x 2 是 的两个零点，学科.网证明： +x22.() x1请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号（22） （本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图，OAB 是等腰三角形，AOB=120.以O 为圆心， OA 为半径作圆.12(I)证明：直线 AB 与 O 相切；(II)点 C,D 在O 上，且 A,B,C,D 四点共圆，证明：ABCD.（23） （本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程在直线坐标系 xoy 中，曲线 C1
10、的参数方程为 （t 为参数，a0） 。在以坐标原点为极点，x=，=1+， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：=4cos.（I）说明 C1 是哪种曲线，学.科.网并将 C1 的方程化为极坐标方程；（II）直线 C3 的极坐标方程为 =0，其中 0 满足 tan0=2，若曲线 C1 与 C2 的公共点都在 C3 上，求 a。（24） （本小题满分 10 分） ，选修 45：不等式选讲已知函数 f(x)= x +1-2x-3.（I）在答题卡第（24）题图中画出 y= f(x)的图像；（II）求不等式f (x) 1 的解集。672016 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案一、 选择题
11、：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）D（2）B（3）C（4）B（5）A （6）A（7）D（8）C（9）C（10） B（11）A （12）B二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分(13) 2 (14)10（15）64 （16） 2160 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17） （本小题满分为 12 分）解：（I）由已知及正弦定理得， 2cosCincsicosinCA，即 2cosCinsinA故 可得 1s2，所以 3（II）由已知， sinC2ab又 C3，所以 6由已知及余弦定理得， 2cos7ab
12、故 21ab，从而 5所以 CA的周长为 7（18） （本小题满分为 12 分）解：（I）由已知可得 FD， FA，所以 平面 FDC又 F平面 ，故平面 平面 （II）过 作 G，垂足为 ，由（I ）知 G平面 A以 为坐标原点， F的方向为 x轴正方向， F为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系 xyz8由（I）知 DF为二面角 FA的平面角，故 DF60，则 F2， DG3，可得1,40A， 3,40， 3,0， ,3由已知， /，所以 /平面 C又平面 C平面 F，故 /， /F由 /，可得 平面 D，所以 为二面角 C的平面角，F60从而可得 2,03所以 1,3， 4， C,43
13、A， 4,0A设 nxyz是平面 的法向量，则C0，即 04z，所以可取 3,n设 m是平面 CDA的法向量，则 C0mA，同理可取 0,34则 219cos,n故二面角 CA的余弦值为 219学科& 网（19） （本小题满分 12 分）解：（）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为 8，9，10，11 的概率分别为 0.2，0.4，0.2，0.2，从而 04.2.)16(XP； 167；924.0.20.)18( XP；9；.4.)2(；0821XP；.0)(.所以 的分布列为X16 17 18 19 20 21 22P04.16.24.02.084.（）由（）知
14、 )8(XP， 6)19(XP，故 n的最小值为 19.（）记 Y表示 2 台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）.当 19n时， 08.)52019(2.)502(6.0 E4.)530(.学科& 网当 2时， 04.)520(8.0)520(8. EY 8.可知当 19n时所需费用的期望值小于 n时所需费用的期望值，故应选 19n.20.（本小题满分 12 分）解：（）因为 |ACD， EB/，故 ADC，所以 |EB，故 | D.又圆 A的标准方程为 16)(2yx，从而 4|A，所以 4|EB.由题设得 )0,1(， ,， |B，由椭圆定义可得点 的轨迹方程为：342yx（ ）.
15、（）当 l与 x轴不垂直时，设 l的方程为 )0(1kxy， ),(1yxM， ),(2yN.10由 134)(2yxk得 01248)34(22 kxk.则 821k， 3421kx.所以 )1(| 2212MN.过点 )0,1(B且与 l垂直的直线 m： )(xky， A到 m的距离为 12k，所以134)12(4| 2kPQ.故四边形 MPNQ的面积34|212MNS.学科&网可得当 l与 x轴不垂直时，四边形 PN面积的取值范围为 )38,12.当 与 轴垂直时，其方程为 1x， |M， |Q，四边形 MPNQ的面积为 12.综上，四边形 PNQ面积的取值范围为 )38,2.（21） （本小题满分 12 分）解：（） ()1()1()x xfeaea（i）设 0a，则 2， f只有一个零点（ii）设 ，则当 (,)x时， ()0x；当 (,)时， ()0fx所以 ()fx在 ,1)上单调递减，在 (1,)上单调递增又 )fe， 2fa，取 b满足 且 ln2ab，则23()()()0ab，故 fx存在两个零点（iii ）设 0a，由 ()0fx得 1或 ln(2)xa若 2e，则 ln，故当 ,时， 0fx，因此 ()fx在 1,)上单调递增又当
