1、因式分解的多种方法 -知识延伸,向竞赛过度 1. 提取公因式:这种方法比较常规、简单,必须掌握。常用的公式:完全平方公式、平方差公式例一: 032x解:x(2x-3)=0, x1=0,x2=3/2 这是一类利用因式分解的方程。总结:要发现一个规律:当一个方程有一个解 x=a 时,该式分解后必有一个(x-a)因式,这对我们后面的学习有帮助。2. 公式法常用的公式:完全平方公式、平方差公式。注意:使用公式法前,部分题目先提取公因式。例二: 分解因式42x分析:此题较为简单,可以看出 4=2 2,适用平方差公式 a 2 -b 2 =(a+b)(a-b) 2 解:原式=(x+2)(x-2)3. 十字相
2、乘法是 做 竞 赛 题 的 基 本 方 法 , 做 平 时 的 题 目 掌 握 了 这 个 也 会 很 轻 松 。 注 意 : 它 不 难 。这 种 方 法 的 关 键 是 把 二 次 项 系 数 a 分 解 成 两 个 因 数 a1,a2 的 积 a1a2, 把 常 数 项 c 分 解 成 两 个 因 数 c1,c2的 积 c1c2, 并 使 a1c2+a2c1 正 好 是 一 次 项 b, 那 么 可 以 直 接 写 成 结 果例 三 : 把 分 解 因 式 . 37x分 析 : 先 分 解 二 次 项 系 数 , 分 别 写 在 十 字 交 叉 线 的 左 上 角 和 左 下 角 , 再
3、 分 解 常 数 项 , 分 别 写 在 十 字 交 叉 线 的 右上 角 和 右 下 角 , 然 后 交 叉 相 乘 , 求 代 数 和 , 使 其 等 于 一 次 项 系 数 . 分 解 二 次 项 系 数 (只 取 正 因 数 ): 2 12 21; 分 解 常 数 项 : 3=13=31=(-3)(-1)=(-1)(-3). 用 画 十 字 交 叉 线 方 法 表 示 下 列 四 种 情 况 : 经 过 观 察 , 第 四 种 情 况 是 正 确 的 , 这 是 因 为 交 叉 相 乘 后 , 两 项 代 数 和 恰 等 于 一 次 项 系 数 7.解 原 式 =(x-3)(2x-1)
4、.总 结 : 对 于 二 次 三 项 式 ax2+bx+c(a0), 如 果 二 次 项 系 数 a 可 以 分 解 成 两 个 因 数 之 积 , 即 a=a1a2, 常 数项 c 可 以 分 解 成 两 个 因 数 之 积 , 即 c=c1c2, 把 a1, a2, c1, c2, 排 列 如 下 : a1 c1 a2 c2 a1c2+a2c1 按 斜 线 交 叉 相 乘 , 再 相 加 , 得 到 a1c2+a2c1, 若 它 正 好 等 于 二 次 三 项 式 ax2+bx+c 的 一 次 项 系 数 b, 即a1c2+a2c1=b, 那 么 二 次 三 项 式 就 可 以 分 解 为
5、 两 个 因 式 a1x+c1 与 a2x+c2 之 积 , 即 ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2). 这 种 方 法 要 多 实 验 , 多 做 , 多 练 。 它 可 以 包 括 前 两 者 方 法 。4. 分组分解法也 是 比 较 常 规 的 方 法 。 一 般 是 把 式 子 里 的 各 个 部 分 分 开 分 解 , 再 合 起 来 , 需 要 可 持 续 性 !例 四 : 224yx可 以 看 出 , 前 面 三 项 可 以 组 成 平 方 , 结 合 后 面 的 负 平 方 , 可 以 用 平 方 差 公 式解 : 原 式 =( x+2) 2-y2=(x+2+y)
6、(x+2-y)总 结 : 分 组 分 解 法 需 要 前 面 的 方 法 作 基 础 , 可 见 前 面 方 法 的 重 要 性 。5. 换元法整 体 代 入 , 免 去 繁 琐 的 麻 烦 , 亦 是 建 立 的 之 前 的 基 础 上例 五 : 分解因式1)(2)(yx考虑到 x+y 是以整体出现,展开是十分繁琐的,用 a 代替 x+y那么原式=a2-2a+1 =(a-1)2,回代原式=(x+y-1)26. 主元法这种方法要难一些,多练即可。即把一个字母作为主要的未知数,另一个作为常数例六:因 式 分 解 2422 )1(8)1(16yxyx分 析 : 本 题 尚 且 属 于 简 单 例
7、用 , 只 是 稍 加 难 度 , 以 y 为 主 元 会 使 原 式 极 其 烦 琐 , 而 以 x 为 主 元 的 话 ,原 式 的 难 度 就 大 大 降 低 了 。 原 式 = .主 元 法yxyxyx168)(2)1(24 22)1(88yx=(x2y2-2x2y+x2+8y)(x2+2)-【 十 字 相 乘 法 】可 见 , 十 字 相 乘 十 分 重 要 。7. 双十字相乘法难 度 较 之 前 的 方 法 要 提 升 许 多 。 是 用 来 分 解 形 如 的 二 次 六 项 式 feydxcbyax22在 草 稿 纸 上 , 如 果 mq np b, pk qj e, mk n
8、j d, 即 第 1,2 列 和 第 2,3 列 都 满jkfpqcmna,足 十 字 相 乘 规 则 。 则 原 式 ( mx py j) ( nx qy k)要 诀 : 把 缺 少 的 一 项 当 作 系 数 为 0, 0 乘 任 何 数 得 0, 例 七 : ab a b 2 分解因式2解 : 原 式 01a2 ab b2 a b 2 ( 0a b 1) ( a b 2) ( b 1) ( a b 2)8. 待定系数法将 式 子 看 成 方 程 , 将 方 程 的 解 代 入 , 这 时 就 要 用 到 “1”中 提 到 的 知 识 点 了当一个方程有一个解 x=a 时,该式分解后必有一
9、个(x-a)因式例 八 : 2x该 题 可 以 用 十 字 相 乘 来 做 , 这 里 介 绍 一 种 待 定 系 数 法我 们 可 以 把 它 当 方 程 做 , x2+x-2=0一 眼 看 出 , 该 方 程 有 一 根 为 x=1, 那 么 必 有 一 因式为(x-1)结合多项式展开原理,另一因式的常数必为 2(因为乘-1 要为-2 )一次项系数必为 1(因为与 1 相乘要为 1) ,所以另一因式为(x+2) ,分解为(x-1)(x+2)9. 列竖式让人拍案叫绝的方法。原理和小学的除法差不多。要建立在待定系数法的方程法上,不足的项要用 0 补除的时候,一定要让第一项抵消例九: 分解因式2
10、53x提示:x=-1 可以使该式=0,有因式(x+1)那么该式分解为(x+1)(3x2+2x-2)因式分解有 9 种方法,这么多?其实是不止的,还有很多很多。不过了解这些,初中的因式分解是不会有问题了。考虑到每种方法只有一个例题,下面提供一些题目,供大家练习。22)()(ba 22)(4)(axaxy62x3y3222396cabcba(x2)(x3)(x2)(x 4)22 )3(4)(34)( baba29x15 x(y2) xy1 21x 324422yxyx21013224xx 35272 yxyx+8mn+ +4n15 +2x-8 24m23n24n2x+3x-10 . +x-6 +5x-3 2x2x 2x+4x-2 -2x-3 5ax+5bx+3ay+3by2x 2x123x baa24183182