1、彩票混沌与分形的研究方法（1）.2.4.1、研究混沌的方法混沌现象产生于系统的非线性，但非线性现象不一定是混沌。就是说非线性是产生混沌的必要条件，但不是充要条件。所以分析研究混沌要充分应用计算机这个现代工具，把计算机实验与科学实验结合起来，甚至同理想实验结合起来，定性和定量相结合，既要应用非线性系统一般的研究方法，又要应用混沌系统特有的、迁移的研究方法。在混沌领域常用的方法有: 观测法、频闪法、代替数据法、数值解法、求不动点法、时间序列的吸引子重构法、分形维数法、测度熵法、功率谱法、庞加莱（Poincare截面法、李雅普诺夫指数（Lyapanov expoment）分析法等。在实际应用中，为了
2、获得更精确的结果，一般采用定性和定量相结合的庞加莱截面法、李雅普诺夫指数法和、功率谱法，为了平滑噪声常用平均法。然而，在彩票混沌的研究分析中，常用迭代的方法、求不动点的方法、差分法、平均法、李雅普诺夫指数法、彩票指数和克隆法、分数维法和一般的假设法、类比法、归纳法、演绎法、逻辑推理法、坐标法、数理统计法、数学模型法等。.十八世纪到十九世纪末，在“晴空无云” 的大地上屹立着以牛顿力学为核心的经典理论大厦，人们受传统观念的束缚，固执于旧的理论，固执于旧的世界观，固执于旧的方法论，认为物理世界己经“太平”了，所有的现象己被认识，所有的规律己被发现，大到天体小到原子都在同一个公式之中，过去、现在和将来
3、一样，都可以通过解方程得到答案。这种传统的观念集中表现在以下三个方面：3、在方法论上，出现了分析累加还原法。认为宇宙中最高层次和整体的运动规律，可以统一并还原到宇宙间任何部分或低层次的运动和相互作用之中。相反，认识了部分或低层次的运动规律，通过加和便可认识整体或高层次的运动规律。这种传统的方法论，又称为分析累加还原法。这种传统的方法论，作为方法论的还原，作为科学认识和研究的方法，是积极的，必要的，也与人的认识规律相符合：第一、任何整体都是由其具体的部分构成，认识部分是认识整体的必要前提，如果离开了部分对整体的把握自然成为贫乏的抽象。当然对部分的认识绝不能代替整体的认识，因此另一种整体认识论便成
4、为方法还原论的补充，正是这个特点决定了方法还原论与整体认识论的互补并用；第二、方法还原论体现了人们由易到难、由表及里、由现象到本质的整体认识方法。可见，方法还原论实际上强调了一种分析和研究问题的方法，备受科学家们的青睐，是自牛顿 300 多年来科学研究的主体方法。生物学是一门复杂的生命科学，生物学家为了研究生物的整体属性，一般从生物的部分属性研究入手，可以选取不同的部分作为研究对象，也可以从不同的角度，为达到某特定的研究目标，使用不同的数字模型。比如，示踪元素在机体内随时间衰变，可以用最简单的指数函数来描述；细胞、微生物乃至大的种群的生长过程，可以用对数函数来描述；鸟类、鱼类等的定向、定位行为
5、，可以用极坐标系统来描述；生物细胞中各种酶的动力学特性，可以用常微分方程来描述；生物体内各种液体的流动及生物热传递和能量传递的过程，可以用偏微分方程来描述；人的内脏、大脑非线性的动力学特性，可以用混沌和分形模型来描述，。这样，在生物领域，就出现了类比模型、数值计算模型、控制论模型、抽象广算法模型、物理模型、几何模型、混沌模型等，这些多种模型的出现，正是人揭示事物运动机制和规律的产物，是人认识世界、能动地适应世界的结晶，也是人的思维过程中机械的、统计的、反馈的、模糊的、演化的五大决定论形式的具体体现。20 世纪第一次科学革命_相对论的创立者爱因斯坦，还用一种现实世界根本不存在的“理想实验” ，可
6、以说“理想实验”是他创造的，也是用得最多、最成功的。例如，宇宙是有限的？还是无限的？爱因斯坦认为，宇宙既是有限的，又是无限的。他说，你可以做一个实验：一个蚂蚁在一个球体上爬行，对球体而言是有限的，但蚂蚁在有限的球体上的爬行是无限的，因为蚂蚁永远找不到尽头（爱因斯坦的创造性思维详见本章第四节） 。当今，我们在研究彩票时，不仅可以对不同的现象建立多个模型，还可以对同一种现象建立多个模型。现象不同，模型可以不同；同一现象，可以存在多个模型；研究方法不同，模型不同，研究的角度不同，模型也不同。例如，热传导现象，从微观看来热传导过程是由分子的随机运动引起的，可以用统计方法进行研究，建立随机性数学模型，但
7、从宏观来看热传导过程是从高温流向低温，可以用微积分的方法，建立抛物型的偏微分方程。当然对于彩票这种复杂现象，虽然也遵循“同一现象，存在多个模型” ，但是首先要确认它是什么现象，再选用该现象所对应的方法和数学工具，建立多个模型。所以，我们必须在混沌、分形理论的指导下，由易到难，由特殊到一般，从不同的角度，用不同的方法，从不同的侧面建立各种彩票的动力学模型。例如，我们可以首先建立在“特殊情况下” （如，假设每期都摇出完全相同的 6 个中奖号码_事实上是不可能的，但从方法论的角度，这样极易从特殊引向一般。详见第四章）的彩票运动的线性模型，并在此基础上再建立“一般情况下”的彩票运动的非线性模型。同样，
8、我们可以根据涨落高度和彩票号码这两个不同的研究对象，建立相对应的彩票分形模型和关联模型；也可以从理论驱动和数据驱动这两个不同的角度，建立彩票的以理论驱动的彩票结构模型和以数据驱动的彩票非结构模型；为达到某特定的研究目标，还可以从非线性回归性、内随机性、历史性等彩票混沌的特定属性，从不同的侧面，各自不同的角度反映着短期、走势、相邻、遍历、有偏小循环、重号、连号、分形等不同的因果关系，建立彩票的趋势和景气模型、克隆模型、分形模型、非线性回归模型、重号模型、黑洞模型、彩票注优化模型、等，以适应彩票混沌运动复杂形态的要求。.总之，1948 年全球第一台数字计算机在美国诞生，掀起了自然科学和社会科学的一
9、场革命。这场革命主要表现在以下四点：第一、计算机高速、准确的运算，解决了过去难以计算、无法计算的问题。第二、大容量高速计算机的诞生，为科技工作者提供了新的研究手段和有力的实验工具。这些新的研究手段和实验工具，包括计算机虚拟方法、计算机绘图技术等。人们都知道，对于复杂系统，直接受控实验不大可能。如，假设释放到大气的 CO2 的容量为当前的 2 倍，会对全球 50 年后平均温度带来什么影响？又如，假设在短期内让国内股市上升500 个基点，以检验关于货币与股价波动理论和规律。对于这些实验，没有人做得到，也不会有任何国家的金融机构会做这样的风险实验。但是借助计算机的虚拟方法使得复杂系统这类实验和检验成
10、为可能。大量的计算机模拟试验，发现输入的微小变化将导致结果的巨大变化，即是说计算机发现了混沌现象中一个最重要属性对初始条件的敏感依赖性。美国数学家爱德华伯格 迈克尔斯塔伯德在数学爵士乐一书中，介绍了一个用计算机运算几个简单的数字游戏，却揭示出具有稠密性（density）的数字混沌。 “我们用计算机写下了重复进行平方然后减 2 的过程前八个完全正确的答案，从 0.5 开始，第一步1.75第二步1.0625第三步0.87109375第四步1.2411956787109375第五步0.45943328714929521083831787109375第六步1.788921054691932522080
11、098858545187613344751298275817871093375第七步1.20023853980296029103616942146559932822994385584519957749565277846747376913057583第八步0.559427757165770517872120586641774747679874667597665473626110642884334781346473847550332353419823470732944529826457618958240397529981910451892249605033786733263178549848545
12、1337390555858817011697668205774693778347391947361071373734375811181962490081787109375注意到第八个答案在小数点后有 256 位 注 25他还说：“我们的 Excel 实验与数字混沌在偶然间被发现的那个实验在本质上是一样的” 注 25运用计算机演示数学混沌的游戏充分说明，有了现代计算机，人们对于复杂现象不再采取“绕过红灯走绿灯”的办法，而是正视“红灯” ，勇敢地迎着“红灯”的方向走“红灯” 。正如苗东升、黄欣荣教授说，这叫“原汁原味”的研究复杂现象， “把复杂性当作复杂性来处理” ， “把非线性当作非线性来处理”
13、 ， “把远离平衡态当作远离平衡态来处理” ，“把混沌当作混沌来处理” ， “把分形当作分形来处理” ，这样不仅不会丧失发现混沌等复杂现象的机会，更可以提出一些新的概念、新的术语，开辟一些新的研究领域，产生一些新的学科，摸拟出复杂事物传统科学不敢想象的原始形态，描绘出复杂的现实世界更新更美的画圈。原载彩票大揭秘彩票的混沌与分形(2016 年 1 月知识产权出版社)彩票混沌与分形的研究方法（2）第三、计算机绘图技术的应用，给混沌的应用和发展增添了一双翱翔的翅膀计算机绘图技术使计算机在原有计算工具、实验工具的基础上，不仅对数据进行高速准确的计算，对实验进行修正、检查、评价和筛选，而且发展成为绘制图
14、形、摸拟自然界复杂的、不规则形状最有力的工具，给混沌的应用和发展增添了一双翱翔的翅膀。人们借助逼真的电脑摸拟和电视技术，通过屏幕可以清楚地观察到系统动态的演变和复杂的混沌效应，人们用计算机绘制技术绘制出一张张五形缤纷、精美绝伦的混沌、分形图像，使混沌科学又有了“混沌几何学”的美名。.第四、计算机带来了一批新的自然科学概念，开辟了若干崭新的研究领域2021 世纪，发生了相对论、量子力学、混沌理论、分形理论的四大理论革命，其中混沌理论和分形理论的诞生，除意识形态的革命外，应归功于计算机的功劳。计算机问世以后首先引起了数学的一场革命，出现了“数值化” “算法化”和“组合化”的趋势，产生了数学科学一个
15、独立的分支计算数学。20 世纪 70 年代又产生了分形几何学（Fractal Geometry） ，分形几何的出现，对过去许多“数学怪物”和大自然界的复杂形体都迎刃而解，更为有意义的是，分形理论迅速广泛的应用于自然科学和社会科学之中，因此“分形”被认为是 21 世纪数学科学的最重要发现之一。21 世纪是生物学的世纪，生物学之所以能在 20 世纪出现质的飞跃，应归功于以计算机为基石的混沌理论在生物学中的应用，归功于一批物理学家、化学家和数学家等非生物学研究者涌入了生命科学，他们用混沌理论的思想和方法，在计算机的帮助下提出了“分子病” “遗传码”等生物的新概念，发现了蛋白质的 旋和 折叠结构，揭示
16、了遗传螺 物质的基本物理结构DNA 螺旋体，提出了分子生物学的核心理论遗传信息波动的“中心法则”等，出现了生命和非生命现象都遵循着统一的物理和化学规律，奠定了分子生物学的理论基础。物理学运用了现代计算机技术更是如虎添翼，在高速、准确的计算上，广义相对论和引力理论的问题，原“手算”3 个月的推导，在计算上 3 分钟就解决了。前面谈到的法国天文学家德劳耐计算月球 4 万个公式共花 20 年，计算机只用 20 个小时，而且还发现了他计算上的 3 个错误（在当时完全甪手工和心血完成如此巨大的计算工程，是令人肃然起敬的！）不仅如此，计算机还揭示出保守的、不可积的力学系统中如何出现轨道弥散、遍历和随机性，
17、计算出埃农海勒模型的相轨迹，揭示出相轨迹随能量逐渐增大所出现的轨迹规则、随机的演变过程，提出了“能量面” “随机区” “稳定岛”等崭新的科学概念和术语；有了计算机才不再“绕过红灯走缘灯” ，而正是在“红灯区”发现了各种奇怪吸引子（又称混沌吸引子） 。计算机代数在分子动力学、量子电动力学、广义相对论、引力理论、人工智能、实验物理等微观、宇观和宏观上的作用，是任何其他手段所无法替代的。相反，凡是计算机代数渗透到的领域或学科，必产生出一些新的学科，如计算物理、实验数学、计算生物学、生物信息学、计算化学、。20 世纪 40 年代初以来，物理学和计算机这两大领域的相互促进和相互发展，己把我们带进了一个新
18、时代，新的物理学立足于实验、理论和计算三大支柱之上，正显示出人类认识自然、适应自然的巨大威力和无穷无尽的力量。彩票作为具有混沌色彩的复杂现象，长期以来处于“红灯区” ，仅当计算机在 20世纪降临，隐芠在“红灯区”里的彩票的混沌的秘密，才有了发现的机会。事实上，彩票混沌的无穷多层次相互嵌套的精细结构和多重分形、多个吸引子并在的特定属性，也只有计算机才能计算和形象的揭示出来。所以计算机的诞生，开辟了揭示彩票混沌秘密全新的道路。. 显然，数列与序列的特点是:（1） 、数列是序列的特例，而序列概念是数列概念的推广，网的概念又是序列概念的一般形式（2） 、从反映的空间来看，数列是实数空间，序列是度量空间
19、，而网是拓扑空间。由于序列更加突出了序的关系，现代科学更善于根据不同的需要研究“集合序列、矩阵序列、测度序列、线性算子序列”等序列及其收敛性问题。彩票现象作为一种复杂现象，作为现代交叉和边缘学科的研究对象，自然应该引进混沌时间序列的概念，建立彩票的混沌时间序列 S ，对彩票进行预测。这里的 ， N 不再是自然数，而是 N0，1，3，5，8，13，21，34，55，（详见后述） 。.彩票以开奖期或中奖期为单位统计期数，是以实数点序列取值的，所以彩票系统不是连续的而是离散的。事实上彩票的混沌时间序列 N0，1，3，5，8，13，21，34，55，就是一个离散的时间序列。因此，在离散时间上建立的彩票
20、混沌动力学模型，又称为彩票非线性离散动力学方程。对于同类型两组数据，当其均值相同时，一般用标准差来描述数据的分散程度。但对于不同类型两组数据，当其均值不同时，不能再用标准差来描述数据的分散程度，而应该用标准差系数来进行描述。所以，标准差系数主要用于比较不同级别数据的离散程度，标准差系数越大，说明数据的离散程度越大标准差系数越小，说明数据的离散程度越小。彩票的混沌运动，因蝴蝶效应的存在，其数据表现往往呈现不同的级别，所以要比较彩票混沌运动中不同级别数据的离散程度，一般用标准差系数。可以证明，对于预测期（n 期在倒数第 n-7 期时，红球的标准差系数最大。就是说彩票的混沌运动以每 7 期作一次非周
21、期小循环运动，那么只要掌握了彩票从第 n 期到第 n-7 期的不同离散状态，便可掌握近期彩票有偏游动的情况，所以彩票专家们十分青睐 7 期内的统计分析研究，把 7 期称为“威力无比的 7 期”是有道理的。.函数，指如果对于给定区间上的每一个 x 的值都有唯一的一个 y 的值与它对应，那么 y 就是 x 的函数，记为 yf（x。在历史上，函数严格的定义是 19 世纪数学三大发现（函数、群论、非欧几何之一。随着动力学的演化和发展，数学家们把函数定义中的定义域（区间与值域（实数推广到一般的集合，便得到了映像（mapping的定义。即集合 A 与 B，按照某种对应法则 f，对集合 A 的每个元素，在集
22、合 B 中都有唯一确定的元素与之对应。这样的对应叫做 A 到 B 的映射。由此可见:（1、映射是函数概念最一般化的推广。事实上，映射的定义域与值域都是有结构的，通常称为空间。当这些空间是函数空间时，这些空间中的每一个元素实际上是一个函数，换句话说这里空间中的每一点都是一个函数。把函数看成是空间中的一个点（向量，这是一个全新的理念，是近代数学的一个进步（2、研究映射，总是从某个空间到某个空间，有人把这种映射称为算子（operator或变换（transformation，也有人把从函数空间到函数空间的映射称为算子，虽然没有一个统一的说法，但算子一定是从一个空间到另一个空间的映射。如离散动力系统，有
23、人又称为映射动力系统。其一维的数学表达式为xn+1 L（x n其中 L 为算子，反映了映射的机制。彩票的逻辑斯蒂映射Cn+1=Cn（1-Cn）也是区间0，1 到区间0，1 的映射，也可以把这种映射关系写成Cn+1 L（C n称为算子。即L 为算子，反映了彩票的 Cn+1与 Cn映射的机制。.求不动点，在数学上是应用得更多的一种方法，因为各种求解方程的数学问题，都可以归结为寻求数学中“变换”下的不动点问题。如解方程 f（x）0, 是数学上一个重要的课题。可是不少物理和工程问题, 特别是非线性问题要得到解析解是非常困难的。如果令 g（x）f（x）x, 那么解方程就变成了求 g（x）的不动点问题。事
24、实证明, 通过这一简单的变换, 不仅有相当一大批函数, 求不动点比求根更容易, 而且建立起一种有别于四则运算、二进制、三进制等新的迭代运算模式。当我们从某奌 x0 出发, 建立一个列数 x0 、 f（x 0） 、f（f（x 0） ） 、, 就叫函数的迭代。当有 n 个 f 就叫 n 次迭代。如果这一系列数无限趋于某一个数, 这个数就是函数 f 的不动点。不动点有稳定的，也有不稳定的。如果将不动点按系统的本征方程的根进行分类: 有速度场为零的不动点有本征根为实数的鞍点和结点。根据这些分类，可以确定该点的稳定性。从解方程到求解不动点这小小的改变, 不仅打开了拓扑学的大门, 而且论证了数理经济学上长
25、期以来酝酿的“经济均衡理论”的基本问题。美国伯利克加州大学的德布鲁（G.Debreu）教授把不动奌理论与均衡经济的存在性联系起来, 论证了经济均衡的最优状态的存在, 荣获了 1983 年的诺贝尔奖。从此, “20 世纪是经济学真正大放异彩的时代”到来了。不动点理论成为 20 世纪 70 年代科学发展的另一项重大成就。同样，我们可以用不动点理论，建立彩票的非线性动力学方程（详见第 4 章。原载彩票大揭秘彩票的混沌与分形(2016 年 1 月知识产权出版社).彩票混沌与分形的研究方法（3）迭代法和有限差分方法，都是科学计算的重要内容，迭代运算模式是有别于十进制的另一种计算模式。有限差分方法放弃了微
26、分方程中独立变量连续取值的特征，关注的是独立变量离散取值后对应的函数值，在操作上一般分成两步走: 首先用差分代替微分方程中的微分，将连续变化的变量离散化，得到差分方程组的数学形式第二步求解差分方程组。有限差分方法关键是第一步，即如何把非数值问题演变成数值问题。如常微分方程 dydxx 2 + y2 ， y（00，它不是数值问题，因为输出不是数据而是连续函数 yy（x，但只要将连续问题离散化，使输出的数据是 y（x在求解区间 ，b 上的离散点 （ 1、 2、3、n上的近似值，就是“数值问题” ，便可以用数值方法求解。+ 彩票的开奖期是一个离散的时间 t0、1、2、3、，是一个有限的实数序列，彩票
27、的混沌时间序列也是离散的 N0、3、5、8、13、21、，彩票的混沌预测反应的是“相邻两期（第 n 期与第 n -1 期” 的动力因素，也是离散的。所以，彩票的逻辑斯蒂映像 Cn+1=Cn（1-Cn）是一个离散的有限差分方程，又因彩票的逻辑斯蒂映射实际是一个算子 xn+1 L（x n，其运算模式是迭代的。即记 t 1f（t则 t 2f（t 1f f（tf 2（tt3f（t 2f f（t 1f 3（ttnf （tf n（t称函数 f（x在 xt 处的 n 次选代。因此，彩票的逻辑斯蒂映射 Cn+1=Cn（1-Cn） ，又可写成算子形式 Cn+1 L（C n，既是一个迭代方程，又是一个有限差分方程
28、。.在一个具有多级层次结构的复杂系统中，复杂系统的组分层次到整体层次的涌现，实际不可能经过一次整合完成，需要经过多次逐级整合，逐级涌现。因此，彩票作为像俄罗斯套娃一样的相互嵌套的多层次复杂系统。如果从预测的角度，只要对任何一个层次进行整合，便可预测出该层次的涌现性。但是作为彩票中奖，涉及各层次的涌现性和整体涌现性，所以既不能只局限于每一个层次（如 50 至 70 期的统计，又不可能也办不到对彩票相互嵌套的每一个层次的涌现性都进行预测，因此我们必须充分发挥彩票自组织临界性、混沌边缘效应，抓住“景气”期，选准“阀门” ，方可达到满意的效果。有条件的更可借助于计算机，开发并涌现出具有彩票系统整合的多
29、层次组织效应的数据库。.彩票系统的有序结构正是通过无穷的涨落达到有序的。因此我们说, 涨落是彩票有序结构的源泉，彩票的非线性动力学模型正是通过涨落建立的。 （详见第 4 章.由此可见，无论是自然界，还是经济金融领域，神奇数列都表现出 1 至 7 的误差。追求零误差是不符合现实和辩证法的。因此，在彩票中对于彩票的混沌时间序列 3、 5、 8、 13、 21、 34、 ，也要从实际出发，灵活应用。如红球取 5、 7、 13、或5、 8、 12、 篮球取 7、 13、 18、 21、 34、 。而不都是 3、 5、 8、 13、 21、。.今天, 大陆上天气动力学的混沌特性己经被人们所接受了。混沌理
30、论指出, 天气是一个充满迭代反馈的混沌系统, 天气的长期行为敏感地依赖于初始条件而不可预测, 天气预测只能是短期的。理论上的最佳值是两周左右, 实际上 3 天内最准确, 最多预报 57 天。彩票也是一种混沌现象，存在蝴蝶效应（详见第 4 章，只能像天气预报一样作短期而非长期的预测, 彩票的短期值因彩票涨落强度的不同而不同，涨落强度大, 可预测时间要长些；涨落强度小, 可预测时间要短些。如, 双色球的篮球的涨落强度比红球大, 如果红球的短期时间的上限为迭代 710 次, 那么篮球可预测的迭代上限次数为 913 次。事实上, 对篮球的预测比红球更容易。 .对于非线性动力系统，一般把注意力集中在研究
31、系统的运动轨迹上，所以多建立不显含时间 t 的自治动力学方程。如生物学中的虫口模型，社会学中的人口模型，生态学中的逻辑斯蒂映射。对于彩票这个非线性动力系统，为了揭示彩票随着不断开奖表现出的运动形态和轨迹，自然建立的是不显含时间的自治动力学方程，而不是非自治动力学方程。彩票的逻辑斯蒂映射 Cn+1= Cn（ 1-Cn） ，就是一个不显含时间的自治动力学方程。原载彩票大揭秘彩票的混沌与分形(2016 年 1 月知识产权出版社)彩票混沌与分形的研究方法（4）. 20 世纪 70 年代以前，对于非线性现象，一般都是绕过红灯（非线性走绿灯（线性，而今混沌理论、分形理论、耗散结构理论、突变论、协同学理论等
32、非线性理论的诞生，采用的是“正视红灯、面对红灯、研究红灯” 的方法，揭示红灯之谜，掌握红灯的演化规律而主动的驾于红灯。20 世纪 70 年代以来，科学家们根据非线性研究“横断各个专业，渗透各个领域” 的特点，己经积累出“几何方法” 、 “不动点的方法” 、 “庞加莱映射法” 、 “中心流形的方法” 、 “李雅普诺夫的稳定性方法” 以及“平均法” 、 “迭代法”等近似方法，用“新三论” （耗散结构论、突变论、混沌理论代替了“老三论” （系统论、控制论、信息论，把非线性理论推向了一个崭新的高度，掀起了以混沌理论为首的 20 世纪第三次科学革命。几何方法是研究非线系统常用的方法。这种方法在 20 世
33、纪初就己广泛使用，前面己经介绍了庞加莱对三体运动的研究，首先建立的是保守系统动力学轨迹在状态空间中的拓扑结构，他在相空间提出的“同宿栅栏” ，形象地描绘出稳定流形与不稳定流形的图像，是第一个用数学-几何的语言描述出的具有现代意义上的混沌现象。不动点和不动点理论的发展，解决了数学、物理、经济学、生态学等领域非线性的问题。陈汝栋教授在不动点理论及应用一书中生动地描述了这一过程:“18951900 年法国数学家 H.Poinare，把庞加莱三体问题中周期群的存在问题，归结为满足某种条件的平面连续变换不动点的存在问题，首先提出了不动点的概念。1910 年，L.E.J.Brouwer 证明了有限空间中多
34、面体连续映射至少有一个不动点，从而开启了不动点理论研究的先河。特别是波兰数学家 Banach 在 1922 年使用 Picard 迭代方法证实了 Banach 压缩映象原理之后，由于其结果的优美性成功地解决了像隐函数存在定理、微分方程初值问题解的存在性等一系列重大应用问题，使得不动点理论成为数学宝库中一朵奇葩，特别是近几十年随着计算机的发展，人们使用各种各样的迭代方法去逼近非线性映射的不动点并应用其解决某些实际问题。例如，在数学、物理学及工程上的许多问题都可以转化为非扩张映射的不动点问题，使得这门学科的理论及应用研究都取得了重要进展，并日臻完善，形成了非线性泛函分析理论的重要组成部分。 ”注
35、34不动点理论和庞加莱映射中广泛、频繁地出现的吸引子、平庸吸引子、混沌吸引子等数学抽象形式的术语，这些术语横断自然科学和社会科学，渗透到数学、物理、化学、生物、生态、经济、金融、生命科学等各个领域，是研究各学科、各领域非线性现象最形象而有效的方法，只要研究了吸引子的属性，便可揭示出该吸引子所反映出的非线性系统运动状态的属性。同样，引进李雅普诺夫指数的概念，可判断各学科、各领域非线性现象状态的类型，可判断属混沌现象还是非混沌现象引进“流”的概念，可定量地刻画出各学科、各领域非线系统轨迹的运行规律。总之，非线性动力系统的研究方法，最大的特点是“横跨各学科，渗透各领域” ，有力地推动了非线性理论的发
36、展，又大大丰富了非线性研究的方法。彩票作为一个不可积的、耗散的、非线性系统，不能再用过去传统可积的、保守的、线性的方法，而应该用非线性动力系统的研究方法，在涨落中建立非线性的自治动力学方程，用迭代的方法进行运算，用求不动点的方法进行求解，用平均法平滑噪声，用分形几何和平庸吸引子、混沌吸引子、李雅普诺夫指数、流、分数维等抽象的方法进行描述和分析，揭示彩票混沌之谜，研究彩票混沌运动的规律。显然，如果还用线性的和外随机的方法，去研究复杂的、非线性的彩票现象，既浪费了人力、物力和财力，又会像过去科学史上追求“永动机”一样，走向无底的深渊。. 4、数学模型的建立，一般有三个途径：（1、通过科学实验，建立
37、经验模型或半经验模型；（2、通过科学假设和数学演绎，建立纯理论的数学模型；（3、通过大胆的假设引入基本物理常数或者数学因子，建立数学模型。如量子论 Eh 中的普朗克常数 h，爱因斯坦质能关系 Emc 2中的光速常数 C，麦克斯威电磁理论中的数学因子_位移电流 都不是实验的结果，而是卓越的创造性思维的结果，是采用了高超抽象的数学方法的结果。位移电流并非现实中真实存在的电流，而是麦克斯威为了平衡数学方程，采用大胆的假设，引进数学因子以逼近真实世界的方法。这种引进数学因子，平衡数学方程或更加逼近真实世界的方法，在物理、生物、生态、人文、经济、金融等学科中广泛应用，这种有效的方法激励、启发着我们，在建
38、立彩票混沌运动的数学方程时，是否也可走类似的道路? ! 事实上，彩票的逻辑斯蒂映射的建立，就是注意引进了涨落密度因子 C 和涨落高度增长率因子（- 的结果。 详见第四章HM 0 2、科学理论的诞生，一般源于科学实验，如法拉第定律，源于观察、归纳、演绎等科学方性，如牛顿三定律，源于科学假设与科学方法的结合，如卢瑟福原子模型是通过类比的方法把太阳系宏观的结构，大胆假设迁移到微观的结果，源于抽象的数学方法，如麦克斯威电磁理论、突变论，。一句话，科学理论的诞生多源于科学实验，又不都直接源于科学实验。相反，通过卓越的创造性思维和高超的抽象数学方法，科学理论在时间和空间上更具有创造性、全局性和普适性。但是
39、，无论科学理论源于何方，最终都必须通过时间和空间实践的检验。彩票逻辑斯蒂映射 Cn+1=Cn（1-Cn）也不是在科学实验中建立的，它源于耗散系统的涨落，源于科学的研究方法，源于计算机技术，源于站在巨人的肩上引入抽象的数学因子，源于具有 1000 多年历史的、古怪的逻辑斯蒂映射在现代科学中焕发出的青春。3、严密的思维逻辑和异乎寻常的创新精神相结合，正是爱因斯坦创立狭义相对论的学术风格，这种学术风格在过去、现在和将来都是人类探索、揭示一切自然现象的宝贵财富，在第三次科学革命的今天，更要学习、继承这种学术风格，探索复杂现象，揭示彩票之谜；要敢于抛弃传统观念、传统方法和传统的逻辑模式；要善于寻找事物之
40、间的联系，特别要注意寻找相互独立甚至对立的两种现象、两种事物之间的联系，要善于缩小它们的距离，搭起它们的桥梁；要敢于走前人没有走过的路，善于用思想实验（即理想实验在理想的时空寻找更深层次的、隐蔽的、忽明忽暗的自然规律。对于彩票这种复杂现象，要学习、借鉴爱因斯坦这种“严密的思维逻辑”，建立彩票的结构模型；学习、借鉴爱因斯坦这种“非凡的洞察能力”，寻找彩票运动的基因、基因组、载体、变异基因、黑洞和奇点等；学习、借鉴爱因斯坦这种“异乎寻常的创新精神”，建立、健全彩票的非结构模型，不断进行自适应预测，调整预测模型，使之不断逼近真实世界。.原载彩票大揭秘彩票的混沌与分形(2016 年 1 月知识产权出版
41、社)彩票混沌与分形的研究方法（5）. 2.4.1、研究混沌的方法混沌现象产生于系统的非线性，但非线性现象不一定是混沌。就是说非线性是产生混沌的必要条件，但不是充要条件。所以分析研究混沌要充分应用计算机这个现代工具，把计算机实验与科学实验结合起来，甚至同理想实验结合起来，定性和定量相结合，既要应用非线性系统一般的研究方法，又要应用混沌系统特有的、迁移的研究方法。在混沌领域常用的方法有: 观测法、频闪法、代替数据法、数值解法、求不动点法、时间序列的吸引子重构法、分形维数法、测度熵法、功率谱法、庞加莱（Poincare截面法、李雅普诺夫指数（Lyapanov expoment）分析法等。在实际应用中
42、，为了获得更精确的结果，一般采用定性和定量相结合的庞加莱截面法、李雅普诺夫指数法和、功率谱法，为了平滑噪声常用平均法。然而，在彩票混沌的研究分析中，常用迭代的方法、求不动点的方法、差分法、平均法、李雅普诺夫指数法、彩票指数和克隆法、分数维法和一般的假设法、类比法、归纳法、演绎法、逻辑推理法、坐标法、数理统计法、数学模型法等。关于不动点法和迭代法、差分法，在第一章已作过个介绍，彩票指数和克隆法、分数维法和假设法、模型法等将在第四、五章介绍和应用，数值解法就是把微分方程转化为差分方程来求解，这里再介绍一下功率谱法和李雅普诺夫指数分析法。李雅普诺夫指数，既是研究混沌运动稳定性的定量研究方法，也是判断
43、识别混沌的首推的混沌特征量。李雅普诺夫指数在混沌理论中一般用 表示。在一维系统Xn+1F（X n中，初始两点迭代后是相互分离还是靠拢，关键取决于导数 的值。当 0，则迭代的两点分开当 0，则迭代的两点靠拢。但是在不断的迭代过 程中， 的值时而大于零，时而小于零，并不稳定，使得轨线时而离，时而靠拢。于是为了从整体上看相邻两点的分离情况，必须对迭代次数取平均值，这个平均值正是李雅普诺夫指数 。即lim11 0ln （ 可见，李雅普诺夫指数 正表示系统在多次迭代中平均每次迭代所引起的指数分离中的指数。当 0，表示相邻的轨线上的点最终要合并在一起，这对应于稳定的不动点和周期运动当 0，表示相邻的轨线上的点最终要分离开来，这对应于轨线的局部不稳定，如果轨线还有整体的稳定因素，那么在此作用下将发生反复拉伸与折叠而形成混沌吸
