1、3.1 曲面及其相关概念1. 曲面及其参数表示曲面 的坐标形式的参数方程:. 曲面 的向量形式的参数方程:, . 简记为, .称 为曲面 的参数或曲纹坐标也称 是点 的参数或曲纹坐标. 例 1 (1) 圆柱面cos ， sin ，z = z,. 其中常数 为截圆的半径当 , 时, , , . 于是 是点 的曲纹坐标. (2) 球面cos cos ， cos sin ， sin ，. 这里, 称为经度， 称为纬度. 是球面的半径当 , 时, , , . 于是是点 的曲纹坐标. (3) 旋转面把 xz 平面上一条曲线：x = ，绕 z 轴旋转，得旋转面:x = ，y = ， 当 , 时, , ,
2、. 于是是点 的曲纹坐标. (4) 连续函数 的图象该曲面的参数方程为 . 和 是参数(曲纹坐标). 是点 的曲纹坐标. 坐标曲线曲线： , 即 . 曲线： , 即 . 一般地, 通过每一点 , 有唯一一条 曲线 和唯一一条 曲线 . 曲纹坐标网例 2 （1）圆柱面（例 1（1）: cos ， sin ，z = z. （2）球面（例 1（2）: cos cos ， cos sin ， sin . (3) 旋转面（例 1（3）: x = ，y = ， (4) 连续函数 的图象（例 1（4）2. 光滑曲面 曲面的切平面和法线在曲面 上的( , )点处, u-曲线的切向量 , v-曲线的切向量 定义
3、 曲面 的正则点(正常点) P0( , ): r ( , )和 r ( ,)不平行. 正则曲面: 处处是正则点的曲面. 例 在双叶双曲面的一叶 ( 、和 均为正的常数, , )上, 经过点 的 曲线的方程为 , 该曲线在 点的切向量;经过点 的 曲线的方程为 , 该曲线在 点的切向量. 由于在 上的任何点 处, 和 不平行, 故 上的点都是正则点, 从而 是正则曲面. 定理 3.1.1 曲面在正则点的邻域中总可以有形如 z = z(x, y)的参数表示曲面 上一点 P0处的切方向(方向): 上的经过 P 的曲线 在 P0的切方向. 曲面 ：r = r(u, v)上曲线 的(曲纹)坐标式参数方程
4、-: u = u(t)，v = v(t). 的向量式参数方程:r = r(u(t), v(t) = r(t). 其切方向(t) = r + r .也可写为dr = ru du + rv dv.定理 3.1.2 曲面上正则点处的所有切向量都在经过该点的坐标曲线的切向量 r 和 r所决定的平面上称此平面为曲面在这一点的切平面曲面上一点的一个切方向的表示: du:dv-表方向 dr = ru du + rv dv, 也表方向 -dr = -ru du - rv dv. 二者视为同一方向. 例如, du:dv = (-2):3 表方向 dr = -2ru + 3rv , 也表方向 -dr = 2r u
5、 - 3rv . 二者视为同一方向. 例 环面( 为常数, )上的 点即点. 该点处的切方向表示方向曲面 ：r = r(u, v)上在点 ( , )的切平面的方程：(m- r( , )，r ( , )，r ( , ) = 0，或写成坐标的形式：特例 对曲面 ：r =x，y，z(x, y)，有r = 1，0， ，r = 0，1， . 所以曲面在点( , )的切平面的方程为：. 法方向: 垂直于切平面的方向. 法线: 经过曲面上的一点并平行于法方向的直线. 法向量: n = r r . 单位法向量: n = 曲面的法线方程:m = r( , ) + r ( , ) r ( , ).若曲面的坐标形式
6、的参数方程为 , 则法线方程为特例 对曲面 ：r =x，y，z(x, y)，有.例 3 求圆柱面 r = ( 为常数)上任意点的切平面和法线的方程解 因为r = ，r =0,0,1所以，在任意点的切平面方程为，即.在任意点的法线方程为，即3.2 曲面上的双参数活动标架1. 曲面的双参数活动标架定义曲面 ：r = r(u, v)的第一基本量E(u, v) = r r ，F(u, v) = r r ，G(u, v) = r r .令, .根据 Lagrange 恒等式，有( r r ) ( r r ) = r r (r r ) = EGF 于是令由此得到曲面 上的正交右手系标架r(u ,v)； (
7、u ,v)，e (u ,v)，e (u ,v). 由于它依赖于两个参数 u 和 v, 故称之为曲面的双参数活动标架. 注 1 和 e 所张成的平面就是曲面 在一点处的切平面注 2 不要记 e2的上述繁琐的表达式 . 要计算 e2, 首先计算 e1和 e3 , 然后用直接计算 e2 .注 3 r 和 r 也可由 和 e 线性表示. 即r = ，r = + e . 例 1 给出正螺面 r = (b0 为常数)上的一个双参数活动标架解 因为r =cos v, sin v, 0，r = -u sin v, u cos v, b，于是E = r r = 1，F = r r = 0，G= r r = r
8、=cos v, sin v, 0，e = (r r )= b sin v , -b cos v , u,= -u sin v, u cos v , b.2. 外微分形式在平面上建立直角坐标系，点的坐标用(u, v)表示. du 和 dv 是坐标的微分用 表示坐标微分之间的外乘运算. 规定du dv = -dv du,du du =0,dv dv =0. 设 f(u, v)是定义在平面区域 D 上的函数，则 f(u, v)du dv 称为 D 上的以 du dv 为基底的二次外微分形式设 f(u, v)和 g(u, v)都是定义在平面区域 D 上的函数. 则 f(u, v)du + g(u,v)
9、dv 称为 D 上以 du 和 dv 为基底的一次外微分形式，也称为发甫（Pfaff）形式区域 D 上的函数 f(u, v)称为 0 次外微分形式. 对于两个一次外微分形式， , 和 的外乘规定为=.它是一个二次外微分形式. 设 都是一次外微分形式. 则（ 为常数），设 D 是平面上的一个区域，D 上的两个 Pfaff 形式，和分别对应 D 上的两个向量场 a = ,b = . 若它们在 D 上的每一点处都是线性无关的，则称这两个 Pfaff 形式线性无关 引理 3.2.1 设给定平面区域 D 上的两个 Pfaff 形式 和 . 若 ，则存在 D 上的函数 f(u, v)，使得. 引理 3.2
10、.2（Cartan 引理） 设给定平面区域 D 上的两个线性无关的 Pfaff 形式 和（即 ）. 若另有 D 上的两个 Pfaff 形式 和 , 使得, 则存在 D 上的函数 （i,j = 1,2），使得（i =1,2）,并且 （i,j = 1,2）外微分运算对于 0 次外微分形式 f(u, v)，定义df(u, v) = ；对于一次外微分形式 , 定义= =.对于二次外微分形式 ，定义= 注 外微分把外微分形式的次数提高一次引理 3.2.3(Poincar 引理) 设 为平面区域 D 上的任意次外微分形式. 则引理 3.2.4 设 f 和 g 都是 0 次外微分形式， 和 都是 Pfaff 形式. 则d(fg)=(df)g + f(dg)，d(f )=df + fd ，d( f)=(d )f - df，d( )=0证明作为练习留给读者3 双参活动标架的基本方程给定曲面 : r = r(u,v)上的一个双参数活动标架为r(u ,v)； (u ,v)，e (u ,v)，e (u ,v).设其中 和 (i,j=1,2,3)都是关于 du 和 dv 的 Pfaff 形式，其系数为(u,v)的函数
