1、第 1 页 共 9 页2018 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标 II 卷）文科数学 2018.7.1 本试卷 4 页，23 小题，满分 150 分考试用时 120 分钟一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （ ）i)32(A B C D2i32i32i31【解析】 ，故选 Di)(i2已知集合 ， ，则 （ ）7,515,4BAA B C D3 5,37,5432,12【解析】 ，故选 C,3函数 的图像大致为（ ）2)(xefA BO 11xyO 11xyC DO 11xyO 11xy3【解析】 ，即 为奇函
2、数，排除 A；由 排除 D；由)()(2xfxef)(f 01)(ef排除 C，故选 B)(161)4(24 feeef 第 2 页 共 9 页4已知向量 满足 ， ，则 （ ）ba,1ba)2(baA4 B3 C2 D04【解析】 ，故选 B312)(5从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务，则选中的 2 人都是女同学的概率为（ ）A B C D6.05.04.03.05【解析】记 2 名男同学为 和 3 名女同学为 ，从中任选 2 人：ba,A, ,ABbCaBAb，共 10 种情况选中的 2 人都是女同学为： ，共 3 种情况，则选中的 2 人都是女同BC, B,学的
3、概率为 ，故选 D3.06双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为（ ）)0,(12bayx 3A B C Dxyxy2xy236【解析】离心率 ，所以 ，渐近线方程为 ，故选 A3322abcae ab7在 中， ， ， ，则 （ ）ABC52cos1BC5ABA B C D43029527【解析】 ，cs2由余弦定理得 ，24cosAC故选 A8为计算 ，设计了右侧的1094132S程序框图，则在空白框中应填入（ ）A iBC 3iD 48【解析】依题意可知空白框中应填入 第 1 次循环： ；第 2 次循环：2i 3,1,iTN； ；第 50 次循环： ，结5,412,31iTN 10,4,
4、93i束循环得 ，所以选 B109S 0,TN1i输出 S是 否NiT结束开始 TN第 3 页 共 9 页9在正方体 中， 为棱 的中点，则异面直线 与 所成角的正切值为（ 1DCBAE1CAECD）A B C D22325279【解析】如图所示，因为 ，A/所以异面直线 与 所成角即 与 所成角，其大小等于 ，ECDEBEAB令正方体的棱长为 ，则 ， ，25所以 ，故选 C5tanAB10若 在 上是减函数，则 的最大值是（ ）xxfsinco)(,0aaA B C D424310【解析】因为 在区间 上是减函数，所以 的最大值是)cos(2sinco)( xxf 43,a，故选 C431
5、1已知 是椭圆 的两个焦点， 是 上的一点，若 ，且 ，则 的离心21,FPC21PF6012C率为（ ）A B C D3323311【解析】不妨令椭圆 的两个焦点在 轴上，如图所示因为 ，且 ，所以Cx21PF6012， 由 ，所以离心率 ，故选cPF2c31 acPF2)1(21 3aceDxyPF2F1 O12已知 是定义域为 的奇函数，满足 若 ，则)(xf ),()1()(ff2)(f（ ）5032)1ffA B C D5025012【解析】因为 ，所以 ，则 ， 的最小正)(xff )()1(xff )1()(xfxf (f周期为 又 ， ， ， ，所以4T2)102104，选2)
6、()5(9)()2()50(3()21( ffffffffD1ABCDA1C1 B1E第 4 页 共 9 页C二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13曲线 在点 处的切线方程为 xyln2)0,1(13【解析】 ，则曲线 在点 处的切线方程为 2|xyxyln2)0,1( 2xy14若 满足约束条件 ，则 的最大值为 yx,053xz14【解析】可行域为 及其内部，当直线 经过点 时， ABCzxy)4,5(B9maxz15已知 ，则 51)4tan(tan15【解析】因为 ，所以 51tan)4t(t 23tan16 已知圆锥的顶点为 ，母线 互相垂直， 与圆锥底面所成
7、角为 ，若 的面积为 ，则该SBA,SA0SAB8圆锥的体积为 16【解析】如图所示，因为 ，所以 821SAB 4S又 与圆锥底面所成角为 ，即 ，SA3030O则底面圆的半径 ， ，2O圆锥的体积为 81V三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分17（12 分）记 为等差数列 的前 项和，已知 ， nSna71a153S（1）求 的通项公式；xABCO3 5yASBO第 5 页 共 9 页（2）求 ，并求 的最小值nSn17【解析】（1）设等差数列 的
8、公差为 ，则nad由 ， 得 ，7a15313d2所以 ，即 的通项公式为 ；92)(n n 92na（2）由（1）知 ，nS8)72因为 ，16)4(2n所以 时， 的最小值为 n18（12 分）下图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额 （单位：亿元）的折线图y020402402202001801601401201008060投资额20002001200220032004200520062007200820092010201120122013201420152016 年份14 19 2535 37 42 42 4753 56122 129148171184209 220为
9、了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额，建立了 与时间变量 的两个线性回归模型，根据yt2000 年至 2016 年的数据（时间变量 的值依次为 ）建立模型： ；根据 2010t17,2 ty5.1340年至 2016 年的数据（时间变量 的值依次为 ）建立模型： , t.79（1）分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由18【解析】（1）将 代入模型： （亿元），19t 1.2695.1340y所以根据模型得该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 亿元；将 代入模型： （亿元），9t .26
10、95.7y所以根据模型得该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 亿元5.26（2）模型得到的预测值更可靠理由如下：答案一：从折现图可以看出，2010 年至 2016 年的数据对应的点并没有紧密地均分分布在回归直线第 6 页 共 9 页的上下，2009 年至 2010 年的环境基础设施投资额出现了明显的大幅度增加，这说明模型ty5.1340不能很好的反应环境基础设施投资额呈线性增长而 2010 年至 2016 年的数据对应的点紧密的分布在回归直线 的附近，这说明模型能更好地反应环境基础设施投资额呈线性增长，所以模型得到t.79的预测值更可靠答案二：从计算结果来看，相对于 2016 年
11、的环境基础设施投资额为 220 亿元，利用模型得到的该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 亿元的增幅明显偏低，而利用模型得到的该地区 20181.26年的环境基础设施投资额的预测值为 亿元的增幅明显更合理，所以模型得到的预测值更可靠5.19（12 分）如图，在三棱锥 中， ， ， 为 的中点ABCP24ACPBAO（1）证明： 平面 ；O（2）若点 在棱 上，且 ，求点 到平面 的距离MMBCM19【解析】（1）证明：连接 ， 为 的中点， ，PCAAPO，4,2B，即 ， ，2B21又 ，则 ，即 ，,3O22OBP， 平面 ；ACPAC（2）点 到平面 的距离为 ，Md，93
12、824913131 SSVABCOCMCP由余弦定理得 ，OCMcos22则 ，5694由（1）知 平面 ，得 ，PABCP则 ，3122OMSOM又 ，PCPV则 ，543198dSOM所以点 到平面 的距离为 20（12 分）ABCMOPABCMOP第 7 页 共 9 页设抛物线 的交点为 ，过 且斜率为 的直线 与 交于 两点， xyC4:2F)0(klCBA,8（1）求 的方程；l（2）求过点 且与 的准线相切的圆的方程BA,20【解析】（1）焦点 为 ，则直线 ，)0,1( )1(:xkyl联立方程组 ，得 ，xyk42 042(2xk令 ，则 ， ),(),(21BxA22112x
13、根据抛物线的定义得 ，8xA即 ，解得 （舍去 ），642kkk所以 的方程为 ；l1xy（2）设弦 的中点为 ，由（1）知 ，所以 的坐标为 ，ABM321xM)2,3(则弦 的垂直平分线为 ，令所求圆的圆心为 ，半径为 ，5xy )5,(mr根据垂径定理得 ，3412212mr由圆与准线相切得 ，解得 或 341m则所求圆的方程为： 或 16)()3(22yx 14)6()(22yx21（12 分）已知函数 )1(31)(2xaxf（1）若 ，求 的单调区间；a)f（2）证明： 只有一个零点(21【解析】（1） 时， ，则 ，3)1(31)(2xxf 36)(2xf由 得 ；06)(2xf
14、 ,3, 由 得 ，)(x所以 时， 的单调增区间为 ，减区间为 3a)(f ),2(,3, )32,3(（2）因为 恒成立，所以要证明 只有一个零点等价于证明方程 ，012x)xf ax1xFOABy1第 8 页 共 9 页即证明直线 与曲线 只有一个交点ay)1(3)2xxg0)1(32)()1(9)( 222222 xxg所以 在 上为单调递增的函数，所以直线 与曲线 只有一个交点，得证Raygy（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分22选修 44：坐标系与参数方程 （10 分）在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 为参数 ，直线
15、 的参数方程为xOyC( sin4co2yx)l为参数tytx( sin2co1)（1）求 和 的直角坐标方程；Cl（2）若曲线 截直线 所得线段的中点坐标为 ，求 的斜率l )2,1(l22【解析】（1）消去参数 ，得 的直角坐标方程为 ；C1642yx消去参数 ，得 的直角坐标方程为 ；tl 0cossincosin （ 的直角坐标方程也可写成： 或 ）l )2()1(taxyx（2）方法 1：将 的参数方程： 为参数 代入 得：l t sin2c164:2yC，即 ，16sin2cos42tt 08sinco2o32 tt由韦达定理得 ，1csio4依题意，曲线 截直线 所得线段的中点对
16、应 ，即 ，得 Cl 021tsic2tan因此 的斜率为 l2方法 2：令曲线 与直线 的交点为 ，l ),(),(21yxBA则由 得 ，其中 16421yx0642121212 x 4,2211yx所以 ，即 的斜率为 201221 xyl2第 9 页 共 9 页23选修 45：不等式选讲 （10 分）设函数 2)(xaxf（1）当 时，求不等式 的解集；a0)(f（2）若 ，求 的取值范围1)(f23【解析】（1） 时， ，215)(xxf时， ，解得 ；x 042)( xf 1x时， ，解得 ；22时， ，解得 ，615x3综上所述，当 时，不等式 的解集为 a)(f ,（2） ，即 ，2)(xxf 4a又 ，2所以 ，等价于 或 ，4a4a解得 的取值范围为 或 |6
