1、120032008工程与科学计算历届试题类型1. 直解法 例 1. 用列主元素 消去解下列线性方程组（结果保留 5 位小数）Gaus0.1.210.3.183067.9.8.79. xx例 2. 设线性方程组 ,其中 bA23145求 ，并分析线性方程组是否病态 ?)(Cond2.迭代法例 1. 设线性方程组 为bAx， 212130写出求解线性方程组的 Jacobi 迭代格式，并确定当 取何值时 Jacobi 迭代格式收敛.例 2. 写出求解线性方程组 的 Seidel 迭代格式，并判断所写格式的收敛性，其中bAx为 bAx52286331xx3.插值例 1. 已知 ,14,0（1 ）试用二
2、次插值多项式计算 的近似值（数据保留至小数点后第 5 位）5（2 ）估计所得结果的截断误差（数据保留至小数点后第 5 位）例 2. 由下列插值条件x1 2 4 6 7)(f4 1 0 1 1求 4 次 Newton 插值多项式, 并写出插值余项.4. RungeKutta 格式例 写出标准 方法解初值问题KutaRnge的计算格式1)0(,)(si2 yxx25. 代数精度例 1. 数值求积公式形如)1()0()1()0()()( 3210 fAffAfxSdxf 试确定其中参数 使其代数精度尽量高, 并确定代数精度.,4321A例 2. 验证数值求积公式20120 3()()()55fxdf
3、fAf是 Gauss 型求积公式.6 Romberg 方法例 对积分 ，用 Romberg 方法计算积分的近似值，误差不超过 并将结果102dx 510填入下表（结果保留至小数点后第五位）. kkT2 kS2 kC2 kR20 1 2 3 47证明 （1 ）设 为 上关于权函数 的 次正交多项式，以 的零点为节点建立)(x,ba)(xn)(x插值基函数 ，Lagrne)(xli证明： babaii nidxld,21,)()(2证明: 设 n 次正交多项式 的零点为 ，则以这 n 个零点为节点建立的()12,n插值基函数 是 n-1 次多项式， 是 2n-2 次多项式. 故Lagre,2,il
4、xn 2()ilx当 取 和 时 Gauss 型求积公式()fxil2()i1()nbkaxfdAfx等号成立, 即 1()()nbi kiiall3221()()nbi kiiaxldAlx则有 babaii nidll ,21,2（2 ）对线性方程组 ，若 是 阶非奇异阵， ， 是 的精确解，Axn0b*xbA是 的近似解。记xbxbr证明： Cod*证明：由于 是 的精确解，则 ，xbAAxb()rAxAx又 是 阶非奇异阵，则 n1xr，且 ，则 11xrbxbx故 *11ArrCondAbx（3 ）初值问题 有解 ，若 ， 是用0)(,yaxy bxaxy21)(nhyEuler 格
5、式解得的 在 处的近似值，证明： .)(n nay21)证明：记 ，且 ， Euler 格式为nfyxfbyxf ),(, 0(x则有)(1nnhy 121)nnhffyfnnn nbxahxhbaxy 212)1( 2110 )()(. nn ahxyx 2121)(（4 ）设 为非奇异阵，试证：线性方程组 的数值解可用 Seidel 迭代方法求CAA得.4证明：因为 为非奇异矩阵，故 与 是同解方程组，而 正定，则AbAxbAxTATSeidel 格式收敛，即用 Seidel 方法一定能求得 的解 .（5 ）试导出求解初值问题 bxayf,)(0的梯形格式，并证明用梯形格式解初值问题 所得
6、数值解为1)(0ynnhy2证明 将 在 上积分, 得),(yxf ,1nx.)()(11nxn dfy将右端的积分用梯形公式计算其近似值, 并用 分别代替 , 1,ny)(,1nxy得 ),(),(211 nnnfyfhy将 代入梯形公式xf),(得 , 则有 )(121nhnyy )(121nhnyy得 021hnnn 因为 , 得 .0yn（6 ）设 ，证明hxxhxCf 0102204 , ),(),2)()(1)( 204(102 xfffff 证明： 的二次 Lagrange 插值多项式及余项形式为xf ),(),()(!3 )()()()()( 20210 1202110210
7、xxxf xxfff 5其二阶导数为 ),(,)()(!3) )(!425 2)()()(2)() 2021210 2112 102201010 xxxf xffxxfxxfxf 注意到 ，有hxh0102,),(,0!3)(!4)20!5)(2()( 2021121 xfhff xxf 即),(),12)(2)(1)( 204(102 xfxffxfhxf （7 ）证明求积公式2053853()(1)(1)99fxdfff是稳定的.（8 ）设初值问题 中的 区域 D 上关于 满足 Lipschitz 条件，0(,)yfxabfy证明：格式 是收敛的.1121(3)4,()nnnhKfxy倒数第三题，求 A0、A1、A2 参数的那道题，前面积分限是 0 到 1，而后面求积公式的第一个求积节点居然小于 0！（1/2-根号 3/5） ，在积分限之外。
