1、1平面向量讲义知识框架： 概念（向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量、反向量） 运算（加减、点乘） 定理（平面向量基本定理、向量共线基本定理、三点共线定理） 坐标运算 集合中的应用（三角形的五心）一、 向量有关概念1. 向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。例1. 已知A（1,2），B（4,2），则把向量 按向量 （1,3）平移后得到的向量是_ _ABa2. 零向量：长度为0的向量叫零向量，记作： ，注意零向量的方向是任意的（与任意向量相平行）；03. 单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单
2、位向量(与 共线的单位向量是 )；|AB4. 相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5. 平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量 、 叫做平行向量，记作： ，规定零向abab量和任何向量平行。提醒： 相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； 两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合； 平行向量无传递性！（因为有 )；0 三点 共线 共线；ABC、 、 A、6. 相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。 的相反向量是 。aa例2. 下列命题：（1）若 ，则 。（ 2）两个向
3、量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若 ，ab ABDC2则 是平行四边形。（4）若 是平行四边形，则 。（5）若 ，则 。（6）ABCDABCDABDC,abca若 ，则 。其中正确的是_/,abc/a二、 向量的表示方法1. 几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如 ，注意起点在前，终点在后；2. 符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如 ， ， 等；abc3. 坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与 轴、 轴方向相同的两个单位向量 ， 为基底，则平面xyij内的任一向量 可表示为 ，称 为向量 的坐标， 叫做向量 的坐标表a,xiyj,a,xya示。如果向量的起点在原点，
4、那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。三、 平面向量的基本定理如果 e1和 e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 、 ，12使 a= e1 e2。例3. 例题：（1）若 ，则 _(,)b(1,)(,2)cc（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是A. B. 120,e12(,)(5,7)eC. D. (35)(60) 134（3）已知 分别是 的边 上的中线,且 ,则 可用向量 表示为,ADBEACB,ADaBEbC,ab_（4）已知 中，点 在 边上，且 ， ，则 的值是_ 2 srCsr四、 实数与向量的积实数 与向量 的积是一个向量，记作
5、 ，它的长度和方向规定如下： ：aaa 当 0时， 的方向与 的方向相同 当 0；当P点在线段 P P 的延长线上时121；当P点在线段P P 的延长线上时 ；若点P分有向线段 所成的比为 ，则点P1 0分有向线段 所成的比为 。23. 线段的定比分点公式：设 、 ， 分有向线段 所成的比为 ，则1(,)xy2(,)xy(,)x12，特别地，当 1时，就得到线段P P 的中点公式 。在使用定比分点的坐标12xy 1212xy公式时，应明确 ， 、 的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应(,)xy1,)2(,)xy根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定
6、比 。例16. （1）若M（-3，-2），N（6，-1），且 ，则点P的坐标为_1MN3（2）已知 ，直线 与线段 交于 ，且 ，则 等于_(,0)3,2)AaB2yaxAB2AMBa十一、 平移公式如果点 按向量 平移至 ，则 ；曲线 按向量 平移(,)Pxy,hk(,)Pxhyk(,)0fxy,hk得曲线 .注意：（1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？（2）向量平移具有坐0fhk标不变性，可别忘了啊！6例17. （1）按向量 把 平移到 ，则按向量 把点 平移到点_a(2,3)(1,2)a(7,2)（2）函数 的图象按向量 平移后，所得函数的解析式是 ，则 _xysina 1co
7、sxya十二、 向量中一些常用的结论：1. 一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；2. ，特别地：|abab 当 同向或有 、 0|ab|ab 当 反向或有、 | 当 不共线 (这些和实数比较类似 ). 、 |3. 在 中，若 ，则其重心的坐标为 。ABC123,xyBCxy123123,xyG 为 的重心，特别地 为 的重心；1()3PGPGA0PABCPABC 为 的垂心；向量 所在直线过 的内心(是 的角平分线所在直线)；()(0|ABCB 的内心；| |PC4. 若P分有向线段 所成的比为 ，点 为平面内的任一点，则 ，特别地 为 的中12PM12MPP12点 ；M5.
8、 向量 中三终点 共线 存在实数 使得 且 . ABC、 、 AB、 、 、 ABC例18. 平面直角坐标系中， 为坐标原点，已知两点 , ,若点 满足 ,其O)13(A)B O BA21中 且 ,则点 的轨迹是_R21,121C平面向量习题汇总一、 选择题1. 已知向量a、b不共线，c a b R),d a b,如果c d，那么 （ ）k(/A 且c与d同向 B 且c与d反向1k 1kC 且c 与d同向 D 且c与d反向2. 设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a与b不共线，a c a=c,则b c的值一定等于（ ）A 以a，b为两边的三角形面积 B 以b，c为两边
9、的三角形面积C以a ，b为邻边的平行四边形的面积 D 以b，c 为邻边的平行四边形的面积73. 一质点受到平面上的三个力 123,F（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态已知 1F， 2成 06角，且1F， 2的大小分别为2和4，则 的大小为w （ ）A. 6 B. 2 C. 5 D. 27 w.w.w.k.s.5.u.4. 已知平面向量a= ，b= ， 则向量 （ ）,1x（ ） 2,x（ ） abA平行于 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 C.平行于 轴 D.平行于第二、四象限的角平分线 y5. 函数 的图象 按向量 平移到 , 的函数解析式为 当 为奇函数cos(2)6xFaF (),y
10、fx()yfx时，向量 可以等于（ ）a.(,)A.(,)B.(,2)6C.(,2)6D6. 如图1， D，E，F 分别是 ABC的边AB，BC，CA的中点，则 ( )A 0CB 0FC D E 7. 平面向量 与 的夹角为 ， ，则 （ ）ab06(2,)|1ab|2|ab 4 123238. 已知O，N，P在 所在平面内，且 ，且ABC,0OABCNAB，则点O ，N ，P依次是 的（ ）P（A）重心 外心 垂心 （B）重心 外心 内心 （C）外心 重心 垂心 （D）外心 重心 内心9. 设 、 、 是单位向量，且 0，则 的最小值为 ( )abcabacb（A） （B） （C） (D)2
11、21210. 在 中,M是BC的中点，AM=1,点P在AM 上且满足学 ,则 等于（ ）wC APM()PBC（A） （B） （C） (D) 49434349二、 填空题:1. 给定两个长度为1的平面向量 和 ，它们的夹角为 .如图所示，点C在以OAB120oFEDCBA图18O为圆心的圆弧 上变动.若 其中 ，则 的最大值是_.AB,OCxAyB,xyRxy2. 在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若 = + ,其中 , R ,则 ACEF_.3. 若平面向量 a， b满足 1， ba平行于 x轴， )1,2(b，则 a .4. 如图2，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起
12、，若 DBy，则 x_， y_ 5. 已知向量 ， ， ，若 ，则 = (3,1)a(,)b(,7)ck()acbk6. 在四边形ABCD中， = =（1，1），ABDC，则四边形ABCD的面积是 三、 解答题1. （1）已知| |=4，| |=3，（2 3 ）（2 + ）=61，求 与 的夹角 ；ababaab（2）设 =（2，5）， =（3，1）， =（6，3），在 上是否存在点M，使 ，若存在，OABOCCMBA求出点M的坐标，若不存在，请说明理由.2. 设 、 是两个不共线的非零向量（ ）abRt（1）记 那么当实数t为何值时，A、B、C 三点共线？),(31, babtBA（2）若
13、，那么实数 为何值时 的值最小？201| 夹 角 为与且 t|atb（3）若 , 为非零不共线的两个向量，那么实数 为何值时 的值最小？ab t|t3. 设平面内的向量 , , ，点 P 是直线 OM 上的一个动点，求当 取最)71(OA)15(B),2(OMPBA小值时， 的坐标及APB 的余弦值P4. 已知向量 向量 与向量 夹角为 ，且 .),1(mnm431n图26045EDBCA9（1）求向量 ；n（2）若向量 与向量 =（1，0）的夹角为 ，求|2 + |的值.q )2cos4,in2(, Ap向 量np高考题：1. （2013 安徽理9）在平面直角坐标系中， 是坐标原点，两定点
14、满足 则点集o,B2,OBA所表示的区域的面积是（ ）,1,|POABR（A） （B） （C） （D）22342432. （2012 天津理 10） 设两个向量 和 其中 为实数. 若 则2(,cos)a(,sin),2mb,2,ab的取值范围是（ ）mA. B. C. D.6,14,8(,11,63. （全国2 理5 ）在ABC中，已知D是AB边上一点，若 =2 ， = ,则 （ ）ADBCBA3(A) (B) (C) - (D) -3313124. （2010 全国卷1文）已知圆 O的半径为1，PA 、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么 PAB的最小值为（ ）(A) 42 (B) 32 (C) 42 (D) 325. 已知点G为三角形ABC的重心，过G作直线与AB,AC 两边分别交与M,N 两点 且向量 ，求,AMxBNyAC的值为 1xy10
