1、第五节 椭圆A 组 基础题组1.已知方程 + =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则实数 k 的取值范围是( ) 22 221A. B.(1,+) C.(1,2) D.(12,2) (12,1)2.(2017 黑龙江齐齐哈尔一中期末)已知椭圆的焦点在 x 轴上,离心率为 ,直线 x+y-4=0 与 y 轴的35交点为椭圆的一个顶点,则椭圆的方程为( )A. + =1 B. + =1 C. + =1 D. + =122529 29 225 225216 2162253.矩形 ABCD 中,|AB|=4,|BC|=3,则以 A,B 为焦点,且过 C,D 两点的椭圆的短轴的长为( )A.2 B.2 C
2、.4 D.43 6 2 34.设椭圆 + =1 的焦点为 F1,F2,点 P 在椭圆上,若 PF1F2 是直角三角形,则PF 1F2 的面积为( )24 23A.3 B.3 或 C. D.6 或 332 325.已知椭圆 + =1(0b0),F1,F2 分别为椭圆的左, 右焦点,A 为椭圆的上顶点,直线 AF2 交椭圆2222于另一点 B.(1)若F 1AB=90,求椭圆的离心率;(2)若 =2 , = ,求椭圆的方程 .32B 组 提升题组11.已知椭圆 C: + =1 的左,右焦点分别为 F1,F2,椭圆 C 上的点 A 满足 AF2F1F2.若点 P 是椭圆24 23C 上的动点,则 的
3、最大值为( ) A. B. C. D.32 332 94 15412.如图, 已知椭圆 C 的中心为原点 O,F(-2 ,0)为 C 的左焦点,P 为 C 上一点, 满足|OP|=|OF|, 且5|PF|=4,则椭圆 C 的方程为( )A. + =1 B. + =1 C. + =1 D. + =122525 236216 230210 24522513.(2016 江苏,10,5 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,F 是椭圆 + =1(ab0)的右焦点, 直线 y=2222与椭圆交于 B,C 两点,且 BFC=90,则该椭圆的离心率是 . 214.设 F1,F2 分别是椭圆 C: + =
4、1(ab0)的左,右焦点,点 P 在椭圆 C 上,线段 PF1 的中点在 y 轴2222上,若 PF1F2=30,则椭圆 C 的离心率为 . 15.(2016 云南检测) 已知焦点在 y 轴上的椭圆 E 的中心是原点 O,离心率等于 ,以椭圆 E 的长轴32和短轴为对角线的四边形的周长为 4 .直线 l:y=kx+m 与 y 轴交于点 P,与椭圆 E 相交于 A、B5两个点.(1)求椭圆 E 的方程;(2)若 =3 ,求 m2 的取值范围.答案全解全析A 组 基础题组1.C 方程 + =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,所以 解得 故 k 的取22 221 20,210,212, 12,1,值范
5、围为(1,2).2.C 设椭圆的方程为 + =1(ab0),由题意知 解得 所以椭圆的方程为2222 =35,=4,2=2+2, =5,=4,=3,+ =1.2252163.D 依题意得|AC|=5,椭圆的焦距 2c=|AB|=4,长轴长 2a=|AC|+|BC|=8,所以短轴长 2b=2=2 =4 .22 164 34.C 由椭圆的方程知 a=2,b= ,c=1,当点 P 为短轴端点(0, )时,F 1PF2= ,PF1F2 是正三角形,3 3若PF 1F2 是直角三角形, 则直角顶点不可能是点 P,只能是焦点 F1(或 F2),此时|PF 1|= =2, = 2= .故选 C.12 32
6、325.D 由椭圆的方程可知 a=2,由椭圆的定义可知,|AF 2|+|BF2|+|AB|=4a=8,所以|AB|=8-(|AF2|+|BF2|)3,由椭圆的性质可知,过椭圆焦点的弦中,垂直于焦点所在坐标轴的弦最短,则=3.所以 b2=3,即 b= .22 36.答案 + =1245236解析 由题意设椭圆的标准方程为 + =1(ab0).由离心率 e= 可得 a2=5c2,所以 b2=4c2,故椭2222 55圆的方程为 + =1,将 P(-5,4)代入可得 c2=9,故椭圆的方程为 + =1.252242 2452367.答案 + =1216212解析 设椭圆 C 的方程为 + =1(ab
7、0).2222由题意知 解得 a2=16,b2=12.所以椭圆 C 的方程为 + =1.2162128.答案 120解析 由椭圆定义知,|PF 2|=2,|F1F2|=2 =2 .在PF 1F2 中,由余弦定理, 得 cosF1PF2=92 7= =- ,F 1PF2=120.|1|2+|2|2|12|22|1|路 |2| 129.解析 (1)设椭圆方程为 + =1(ab0),由题意知 c= , = ,所以 a=2,则 b=1,所求椭圆方程2222 3 32为 +y2=1.24(2)由 消去 y,得 5x2+8mx+4(m2-1)=0,则 =64m2-454(m2-1)0,整理, 得 m2b0
8、),焦距为 2c,右焦点为 F,连接 PF,如图所示. 因为 F(-22222,0)为 C 的左焦点,所以 c=2 .由|OP|=|OF|=|OF| 知,FPF=90,即 FPPF.在 RtPFF中,5 5由勾股定理,得|PF|= = =8.由椭圆定义 ,得|PF|+|PF|=2a=4+8=12,|2|2 (45)242所以 a=6,a2=36,于是 b2=a2-c2=36-(2 )2=16,所以椭圆的方程为 + =1.523621613.答案 63解析 由已知条件易得 B ,C ,F(c,0),( 32,2) ( 32,2) = , = ,(+32,2) ( 32,2)由BFC=90,可得
9、=0,所以 + =0,( 32)(+32) (2)2c2- a2+ b2=0,34 14即 4c2-3a2+(a2-c2)=0,亦即 3c2=2a2,所以 = ,则 e= = .2223 6314.答案 33解析 如图,设 PF1 的中点为 M,连接 PF2.因为 O 为 F1F2 的中点,所以 OM 为 PF1F2 的中位线.所以 OMPF2,所以PF 2F1=MOF1=90.因为PF 1F2=30,所以|PF 1|=2|PF2|.由勾股定理得|F 1F2|= = |PF2|,|1|2|2|2 3由椭圆定义得 2a=|PF1|+|PF2|=3|PF2|a= ,2c=|F1F2|= |PF2|
10、c= ,3|2|2 3 3|2|2则 e= = = . 3|2|2 23|2| 3315.解析 (1)根据已知设椭圆 E 的方程为 + =1(ab0),2222由已知得 = , 32c= a,b2=a2-c2= .32 24以椭圆 E 的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为 4 ,54 =2 a=4 ,a=2,b=1.2+2 5 5椭圆 E 的方程为 x2+ =1.24(2)根据已知得 P(0,m),设 A(x1,kx1+m),B(x2,kx2+m),由 得,(k 2+4)x2+2mkx+m2-4=0.=+,42+24=0由已知得 =4m2k2-4(k2+4)(m2-4)0,即 k2-m2+40,由一元二次方程的根与系数的关系知,x 1+x2= ,x1x2= .22+4 242+4由 =3 得 x1=-3x2,3(x 1+x2)2+4x1x2=12 -12 =0.22 22 + =0,即 m2k2+m2-k2-4=0.1222(2+4)24(24)2+4当 m2=1 时,m 2k2+m2-k2-4=0 不成立,k 2= .4221由题意知 k0,m0,结合 m2k2+m2-k2-4=0,知 k2-m2+4=m2k20, -m2+40,即 0.4221 (42)2211m 24.m 2 的取值范围为(1,4).
