1、13 实数与向量的积一、基础知识：（一） 、实数与向量的积实数与向量的积：实数 与向量 的积是一个向量，记作 ，它的长度与方向规aa定如下：（） ；（）当 时， 的方向与 的方向相同；当|a0时， 的方向与 的方向相反；当 时， 。0实数与向量积的运算律：（）结合律： ；（）分配律：a)(； 。 （以上a)( ba)( ,R3向量共线定理：如果有一个实数 ，使 ，那么 与 是共线向量；反之，)0(b如果 与 是共线向量，那么有且仅有一个实数 ，使 。b)0( a（二） 、平面向量的基本定理定理：如果 、 是同一平面内两个不共线向量，那么对这一平面内任一向量 ，有且1e2只有一对实数 、 ，使
2、成立，这时我们称不共线向量 、 为这一平21ea1e2面内所有向量的一组基底。二、基本题型：1已知 ，则在以下各命题中，正确的命题共有 个。,R ， 时， 与 的方向一0aa0aa定相同； ， 时， 与 是共线向量； ， 时， 与 的方向一定相同；0aa ， 时， 与 的方向一定相同； ， 时， 与 是共线向量； ， 时， 与 的方向一定相同；0aa ， 时， 与 的方向一定相反。2已知 、 是一对不共线的非零向量，若 ， ，且 、1e2 21e21eba共线，则 。b3已知向量 、 ，且 ， ， ，则一定共线的abbaAB2baC65baD27三点的序号是 （ ）A、B、D；A、B、C ；B
3、、C、D A、C、D 。4已知 、 是表示平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为一组基1e2底的序号是 。 （ ） 和 ； 和 ；2121213e164e 和 ； 和 。e5已知 的三个顶点 A、B、C 及平面内一点 P 满足 ，则 P 与AB ABC的关系正确的序号是 。 （）CP 在 的内部；P 在 的外部；P 在 所在直线上；P 是 的一个AB三等分点。6已知点 G 是 的重心，过 G 作 BC 的平行线与 AB、AC 分别交于 E、F，若AB，aBC则 。EF327在平行四边形 ABCD 中，E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点，或 ，其AFEC中 ，则 _。.
4、4/3R,解：设 BCb、 Aa则 12ba , 12AEba , ba代入条件得6243u8如图所示，以向量 ， ，为边作平行四边形 ， ，aOAbBOADBCM31，用 ， 表示 、 、 。CDN1bMN（ ， ， ）aM6532ba619设过 的重心 G 的直线与 、 分别交于 P、Q 两点，设 ，AOBOABOAhP，求证： 。kQ31kh证明：如图，设 ， ，tP)( BtkAhtG)1( ， ，从而)(31OBAG3tktkh31)(。)(1thk10如图，已知梯形 ABCD 中， ， 、 分别是 、 边上的中点，且ADBCEFADBC，ADBC3设 ， ，以 、 为基底表示 、 、 。aba（ ； ； ）b163211设 ， 是两个不共线的向量，已知 =2 + ， = +31e2 AB1ek2CB1e， =2 - ，2CD若 A、 B、D 三点共线，求 的值。k解： - =（ +3 ）-（2 - ）=4 - ，1e1e212eA、 B、D 三点共线，存在实数 ，使得 = 。ABD2 + = （4 - ） 。故 。 =-8。1ek21e24kk12设 、 不共线， 点在 上。求证： 且 ， 、OPOBP1。R7证明： 点在 上， 与 共线，从而 。PABPAB)(RtABP 。O)(Ott1(令 ， 。 且 ， 、 。t1t
