1、1新课标高二数学同步测试（21 第三章 3.1）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答 案的代号填在题后的括号内（每小题 5 分，共 50 分） 1在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中， M 为 AC 与 BD 的交点，若= ， = ， = .则下列向量中与 相等的向量是BAa1bcB1（ ）A Bc2 cba2C Dba112在下列条件中，使 M 与 A、B、C 一定共面的是 （ ）A B OO2 OCBAOM2135C D0 03已知平行六面体 中，AB=4，AD=3， ， ，ABC 09D，则 等于（ ） 06BDA85 B C D5085524与
2、向量 平行的一个向量的坐标是（ ）(1,32)aA （ ，1，1） B （1，3，2） 来源:学|科|网 Z|X|X|KC （ ， ，1） D （ ，3，2 ）25已知 A（1，2，6） ，B（1，2，6）O 为坐标原点，则向量 的夹角是（ ,OAB与）A0 B C D326已知空间四边形 ABCD 中， ，点 M 在 OA 上，且 OM=2MA，N 为 BC 中cbBaA点，则 =（ ）MNA Bcba213 c213C D ba7 设 A、B、C、D 是空间不共面的四点，且满足 ，则000ADB，ACBCD 是（ ）图2A钝角三角形 B锐角三角形 C直角三角形 D不确定8空间四边形 OAB
3、C 中，OB=OC，AOB= AOC=600，则 cos = （ ）BC，OAA B C D0212219已知 A（1，1，1） 、B（2，2，2） 、C（3，2，4） ，则 ABC 的面积为（ ）A B C D362610 已知 ，则 的最小值为（ ）),2(),1,(tbta|baA B C D555351二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题 6 分，共 24 分） 11若 ， ，则 为邻边的平行四边形的面积为 )1,32(a)3,2(bba,12已知空间四边形 OABC，其对角线为 OB、AC，M、N 分别是对边 OA、BC 的中点，点 G 在线段 MN 上，且 ，现用基组 表示向
4、量 OG，有 =xGNMCBOA,，则 x、y、z 的值分别为 OCzByA13已知点 A(1，2，11) 、B(4，2，3)，C(6，1，4)，则ABC 的形状是 14已知向量 ， ，若 成 1200的角，则 k= )0,3(a)3,(kbba,三、解 答 题 ： 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤(共 76分 )15（12 分）如图，已知正方体 的棱长为 a， M 为 的中点，点 N 在ABCDBD上，且 ，试求 MN 的长AC|N来源:Zxxk.Com来源:学科网16 （12 分）如图在空 间直角坐标系中 BC=2，原点 O 是 BC 的中点，点
5、A 的坐标是，点 D 在平面 yOz 上，且 BDC=90， DCB=30.来源:Zxxk.Com)0,213(（1）求向量 的坐标；O（2）设向量 和 的夹角为 ，求 cos 的值ABCO NMD CBA CBA Dz yx图317 （12 分）若四面体对应棱的中点间的距离都相等，证明这个四面体的对棱两两垂直18 （12 分）四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是一个平行四边形， =2，1， 4，AB=4，2，0， =1，2，1.ADA（1）求证： PA底面 ABCD；（2）求四棱锥 PABCD 的体积；19 （14 分）如图所示，直三棱柱 ABCA1B1C1中， CA=CB=1， BC
6、A=90，棱 AA1=2， M、 N分别是 A1B1、 A1A 的中点.（1）求 的长；（2）求 cos的值；来源:学&科&N1,网（3）求证： A1B C1M.20 （14 分）如图，已知平行六面体 ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 是菱形且 C1CB= C1CD= BCD=60.（1）证明： C1C BD；（2）假定 CD=2， CC1= ，记面 C1BD 为 ，面 CBD 为 ，求二面角23 BD 的平面角的余弦值；（3）当 的值为多少时，能使 A1C平面 C1BD？请给出1证明.45参考答案一、1A；解析： = + （ ）= + +)(2111 BCABMc21ba21ab评述
7、：用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是c基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力.2A；解析：空间的四点 P、A、B、C 共面只需满足 且,OCzByAxOP既可只有选项 A1zyx3B；解析：只需将 ，运用向量的内即运算即可， D 2|A4C；解析：向量的共线和平行使一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式即bab/,05C；解析： ，计算结果为1|cos6B；解析：显然 OACBOMN32)(27B；解析：过点 A 的棱两两垂直，通过设棱长应用余弦 定理可得三角形为锐角三角形8D；解析：建立一组基向量 ，再来处理 的值, B9D；解析：应用
8、向量的运算，显然 ，ACBACA,sin|,cos从而得 CBAS,sin|2110C ；二、11 ；解析： ，得 ，可得结果5672|,cosba753,sinba612 ；OCBA3161解析： OCBAAOMNMG31612)(2 )(32113直角三角形；解析：利用两点间距离公式得： 222|ACBA14 ；解析： ，得 39 1913|,cos 2kba 39k三、15解：以 D 为原点，建立如图空间直角坐标系因为正方体棱长为 a，所以 B（a，a，0） ，A（a，0，a） ， （0，a，a） ， （0，0，a） CD由于 M 为 的中点，取 中点 O，所以 M（ ， ， ） ，O（
9、 ， ，a） 因为BA2a2，所以 N 为 的四等分，从而 N 为 的中点，故 N（ ， ，a） |3|AN OC43根据空间两点距离公式，可得 22236|()()()4aa16解：（1）过 D 作 DEBC，垂足为 E，在 RtBDC 中,由BDC=90,DCB=30，BC=2，得 BD=1，CD = ，DE= CDsin30= .OE=OBBE=OBBDcos60=132.21D 点坐标为（0， ） ，即向量 ODTX的坐标为0， .23,1 23,1（2）依题意： ，0,01,0OCBOA所以 .,2,23,B设向量 和 的夹角为 ，则ADBC7cos = .2222 0)3(1)3(
10、0| BCAD 1517 证：如图设 ，则 分别为 ，321,rSCBrSA SNMHGSFE, 12r， ， ， ， ，由条件)(213r)(21r3)(3EH=GH=MN 得： 231231232 )()()( rrr展开得 3121rr ， ， ，0)(231r1230 （ ）即 SABC123r同理可证 SBAC，SCAB18 （1）证明： =22+4=0 ，AP AB .ABP又 =4+4+0=0，APAD.DAAB、AD 是底面 ABCD 上的两条相交直线，AP底面 ABCD.（2）解：设 与 的夹角为 ，则Bcos = 1053461428| ADV= | | |sin | |=
11、31P1649（3）解：|（ ） |=|43248|=48 它是四棱锥 PABCD 体积的 3 倍.B猜测：|（ ） |在几何上可表示以 AB、AD、AP 为棱的平行六面体的体积AD（或以 AB、 AD、AP 为棱的直四棱柱的体积） .8评述：本题考查了空间向量的坐标表示、空间向量的数量积、空间向量垂直的充要条件、空间向量的夹角公式和直线与平 面垂直的判定定理、棱锥的体积公式等.主要考查考生的运算能力，综合运用所学知识解决问题的能力及空间想象能力.19如图，建立空间直角坐标系 Oxyz.（1）依题意得 B（0，1，0） 、N（1，0，1）| |= .N3)()()(222（2）依题意得 A1（
12、1，0，2） 、B（0，1，0） 、C（0，0，0） 、B 1（0，1，2） =1，1，2， =0，1，2， ， =3，| |= ，| |=C1AA61CB5cos= .1B30|1（3）证明：依题意，得 C1（0，0，2） 、M（ ，2） ， =1，1，2 ，1,BA= ，0. = +0=0， ，A 1BC 1M.MC12,BA11评述：本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识.考查空间两向量垂直的充要条件.20 （1）证明：设 = ， = ， = ，则| |=| |， = ，CaDb1CcabDba =（ ） = =| | |cos60| | |cos60=0，BD1bc acC 1CB
13、D .（2）解：连 AC、BD，设 ACBD= O，连 OC1，则C 1OC 为二面角 BD 的平面角. （ + ） ， （ + ）21)(BOab21abc （ + ） （ + ） C1 c= （ 2+2 + 2） 4ab1ac2b= （4+22 2cos60+4） 2 cos60 2 cos60= .13132则| |= ，| |= ，cosC 1OC=CO31 |1OC（3）解：设 =x，CD=2 ， 则 CC1= .1Dx2图9BD 平面 AA1C1C，BDA 1C只须求满足： =0 即可.D设 = ， = ， = ，A1abc = + + ， = ，Cc1a =（ + + ） （ ）= 2+ 2= 6，D1bcabcx4令 6 =0，得 x=1 或 x= （舍去）.24x3评述：本题蕴涵着转化思想，即用向量这个工具来研究空间垂直关系的判定、 二面角的求解以及待定值的探求等问题.
