1、19第三章 流体运动学31 已知流体质点的运动，由拉格朗日变数表示为 x =aekt，y =be-kt，z =c，式中 k 是不为零的常数。试求流体质点的迹线、速度和加速度。解：（1）由题给条件知，流体质点在 z=c 的平面上运动，消去时间 t 后，得xy=ab上式表示流体质点的迹线是一双曲线族：对于某一给定的（a，b）,则为一确定的双曲线。（2） 0kt ktxyzuaeubeuttt即（3） 22ykt ktzx za32 已知流体运动，由欧拉变数表示为 ux =kx，u y =ky，u z =0，式中 k 是不为零的常数。试求流场的加速度。解： 2dxxyzua kt，2ykd0zzat
2、33 已知 ux =yzt，u y =zxt，u z =0，试求 t =1 时流体质点在（1，2，1）处的加速度。解： 2()3m/sxxxzayzttyyyxz0zzzxyzuuat34 已知平面不可压缩液体的流速分量为 ux =1y ，u y =t。试求（1）t =0 时，过（0，0）点的迹线方程；（2）t =1 时，过（0，0）点的流线方程。解：（1）迹线的微分方程式为 ddddyxyxytttut=， ， ， ，积分上式得： ，当 t=0 时，y=0，C 1=0，所以12ty(1)，积分上式得： 2d()d()x tutyt=-=- 236Ctx当 t=0 时，x=0，C 2=0，所以
3、 (2)63t消去（1） 、 （2）两式中的 t，得 有理化后得3(2)6yx， 04923x（2）流线的微分方程式为 ，积分上式得dd(1)d1即xyytyu20Cytx)2(当 t=1 时，x=y=0，C=0 ，所以可得： （为非恒定流）)(12t35 已知 ux xt，u y yt，u z 0，试求 t 2 时，通过点 A（1，1）的流线，并与例 33 相比较。解：由例 33 可得： ()当 t=2，x=1 ，y =1，C=3。因此，通过点 A（1， 1）的流线为32上式不同于例 33，即当 t=0 时通过 A 点的流线为 xy1，说明不同时刻的流线不同。36 试求例 36 流体运动的流
4、线方程和流体质点通过点 A（1，0）流线的形状。解：例 36 流体运动如题 3-6 图所示 ，2yxku2yxku流线方程： 22d()d()xykk-+=22()0kx()yxy积分，得 ，12C22)(圆心（0，0） ，半径 。2R当 x=1，y=0，代入上式得 C2=1。 （ ）=1，2yx为一圆，因是恒定流，不同时间为同一圆。37 已知 ， ， =0，式中 是不为零的常数。试求：2yxktu2yxktuyzuk（1）流线方程， （2）t =1 时，通过点 A（1，0）流线的形状， （3）将求得的流线方程与习题 36 求得的流线方程相比较，它们有什么异同。解： =0，为平面（二维）流动。
5、z（1）流线方程 将 、 代入上式，得 dxyu=xyu22()ddxyxyktkt-+=22()dkt-+=()0t，2()(d0ktxyxy+221txyxy+积分得 ，流线方程一般形式： 。21C=2()tC=（2）t=1 ， x=1， y=0，代入上式，得 C2=1；流线为 =1，流线的形状为一圆。2（3）因是非恒定流，不同时间为不同的圆，如 t=2， x=1， y=0， C2=2，题 3-6 图2122()xy+=38 试证明下列不可压缩均质流体运动中，哪些满足连续性方程，哪些不满足连续性方程。 （1）u x ky，u ykx，u z0；（2）u xkx，u y ky，u z0；（3
6、）ux ，2yuy ，u z0；（4）u xay，u yu z0；（5）u x4，u y uz0；（6）ux1，uy 2 ；（7） ux 4x ，u y 0；（8）u x 4xy，u y 0。解：平面流动中，不可压缩均质流体的连续性方程为 xy（1）000；（2）kk =0；（3） ；（4）000；)(2)(2yx（5）000， （6）000；（7）400， （8）4y00。（1）(6)的流体运动满足连续性方程；（7） 、 （8）的流体运动不满足连续性方程，实际上流动是不能实现的。39 已知水平圆管过流断面上的流速分布为 ， umax 为管轴处最大2max01()ru=-流速，r 0 为圆管半
7、径，r 为点流速 u 距管轴的径距。试求断面平均速度 v。解： 02max2011drArvudr00 22max max0max2 .5 4 rruur310 已知水平圆管过流断面上的流速分布为 ，u max 为管轴处最大流710ax)(ry速， 为圆管半径，y 为点流速 ux 距管壁的距离。试求断面平均流速 v。0r解： 017ma0d2()drxAyQuy087157a0170rr=-2max0496ur。2max0axax49.86vuAp=311 设一有压管流经圆管进入圆锥形的收敛管嘴，如图所示。已知圆管直径 dA 0.2m，流量 Q 0.014m 3/s；d B 0.1m。试求经过
8、圆管内点 A 和收敛管嘴内点 B 的过流断面的平均流速 vA、v B。注：经过点 B 的过流断面面积，可近似地视为球缺或球冠表面积，为 （不包括底面2Rh 面积） 。 22解： = =AvQ2240.14m/s.5/sAd经过点 B 的过流断面面积，可近似地视为球缺面积AB ，式中 h（0.050.05cos45 0）m =0.015m ， 0.05m。R因此 0.14/s2.97/s25Bv312 送风管的断面面积为 50 cm50cm，通过 a、b、c、d 四个送风口向室内输送空气，如图所示。已知送风口断面面积均为 40 cm40cm，气体平均速度均为 5m/s，试求通过送风管过流断面 1
9、1、22、33 的流量和流速。解：Q= =5vA30.4m/s0.8/s，18Q12.4m/s9.6/05QvA， 332./s1.6/2.，30.83.8/s3./05v313 蒸汽管道如图所示。已知蒸汽干管前段的直径 d0 50mm ，流速 v0 25m/s，蒸汽密度 0 2.62kg/m 3；后段的直径 d145mm，蒸汽密度 1 2.24kg/m 3。接出的支管直径 d2 40mm ，蒸汽密度 2 2.30kg/m 3；试求分叉后的两管末端的断面平均流速 1、 2为多大，才能保证该两管的质量流量相等。解： （1）01vAvA（2）12联立解（1） 、 （2）两式，可得 0 211.65
10、0.m/s8.05/s4v2 22././3A314 空气以标准状态（温度 t0 =15，密度 0 =1.225 kg/m3，压强 p0 =1.013105Pa）进入压气机，流量 Qv 为 20m3/min；流出时温度 t 为 60，绝对压强 p 为 800103Pa；如果压气机出口处流速 限制为 20m/s。试求压气机的出口管径 d。解：由状态方程 ，计算压气机出口处的气体密度 ，即0pPTr=23330 5(2731)801.5kg/m8.7kg/6.Tpr+= =由连续性方程求出口管径 d，因 ，204vQdpr=。04.20.6837vdrp315 在直径为 d 的圆形风管断面上，用下
11、法选定五个点来测量局部风速。设想用与管轴同心，但不同半径的圆周，将全部断面分为中间是圆，其他是圆环的五个面积相等的部分，如图所示。测点即位于等分此部分面积的圆周上。这样测得的各点流速，分别代表相应断面的平均流速。试计算各测点到管轴的距离，以直径的倍数表示；若各点流速分别为u1、u 2、u 3、u 4、u 5，空气密度为 ，试求质量流量 Q 。解：根据题意先将总圆面积五等分，再将每一等分面积用同心圆划分为相等的两部分。这样，由内到外的同心圆所包围的面积，分别为总圆面积的1/10、3/10、5/10、7/10、9/10 ，相应的半径即为测点到管轴的距离。因此，22104rd10.158rd, 22
12、33.274，2235104rd350.rd，4747.418，225910rd590.rd（）等分面积 A= ，质量流量 为24mQ=222221345( )000mQdududumQ21345)316 试求下列流动中的线变率、角变率。 （1）u x ， ；（2）2yyxux2y， uy 2x 。解：(1) ， ， ， ，2()y2,0()yzx2()xy 0yz0zx(2) ， ， ， rad/s， ，x0yz1(xy yzzx317 已知水平圆管过流断面上的流速分布为 ， 为管轴处最大流2max0(-)rumau24速， 为圆管半径，r 为点流速 ux 距管轴的距离，r 2=y2+z2，
13、u y=0，u z=0。试求角变率 zx、0角转速 z，该流动是否为有势流。解：max20(1)1()22xzzx rz2max0max20(1)rzuzr2max0()1()yxz uury2max0max20()1yuryr因为 ，所以不是有势流。0318 已知 uxx 2yy 2，u yx 2y 2x，试求此流场中在 x1、y2 点处的线变率、角变率和角转速。解：线变率: ，xyyu角变率: 211()()2xxy xy角转速: yxzuy在 x=1、y=2 点处： -1-14s4s.5rad/s3.5rad/sxyxz； ； ；319 试判别习题 38（1）（6）所列流动中，哪些是无涡
14、(有势) 流，哪些是有涡流。解：平面流动中，无涡流的流速场必须满足 或 ，()02yxzuyxu否则为有涡流。根据习题 38 的计算结果得（1） = ， ；yxkxk有 涡 流，无涡流； ；除原点以外是无涡流；（4）0 a，(2） 0 22()()kyxk（ ） 有涡流；（5）00，无涡流；（6）00，无涡流。320 已知水平圆管过流断面上的流速分布为 20()4xgJur， 、g、J、 均为常数，u y =uz=0。试求该流动的涡线方程。220()4gJryz解： ， ，1)0yzxu1()24xzy gJz，涡线微分方程为 所以可得 ()24yz Jd,xyz或4dzgJd0yz上式说明涡
15、线是与管轴同轴的同心圆。2zyC321 若在例 37 流场中的一个平面内，作一圆形封闭曲线，如图所示。试求沿圆周线的速度环量，是否为有势流。解：例 37 流场为均匀直线流 25cosdcosdLLuurA为有势流。2200(9)0or322 试以速度环量来判明例 36 中的流动，除原点（r0）外是有势流。解：沿图中阴影线部分周线的速度环量 为2121kur所以，所论区域是有势流动。这一结论可适用于任何不包括圆心的周线 AFGCDHEBA。但是，若取绕O 点（包括圆心）的闭合圆周作为周线，则为常数。22kru所以，任何包括 O 点的圆周的速度环量均不等于零，而且当半径 r 自 到 0，速度环量均等于同一常数 2 。由此可知，仅在 O 点有漩涡存在，在工程流k体力学中称这点为奇点。这一结论和例 36 是一致的。323 已知 ux 7y，u y 9x，试求绕圆 x2y 21 的速度环量。解： (d)(7d)A因为 x2y 21，圆的半径 r1，所以 xrcos cos，yrsinsin 。代入上式得 200sincocsin222=7d9od200112cs2200d9cosd20117-sinin244 (0)()6题 3-22 图O
