1、Chapter 1 Introduction of AP Calculus ExamAP 微积分考试介绍AP 是 Advanced Placement 的缩写，即大学预修课程。AP 课程及考试始于 1955 年。美国高中 AP 课程是由美国大学理事会（College Board）主持，在高中阶段开设的具有大学水平的课程，有 22 个门类、37 个学科，已在美国 15000 多所高中里普遍开设。它可以使高中学生提前接触大学课程，避免了高中和大学初级阶段课程的重复。目前，已有 40 多个国家的近 3600 所大学承认 AP 学分为其入学参考标准，其中包括哈佛、耶鲁、牛津、剑桥等世界名牌大学。清华大
2、学、北京大学、北京语言大学等也接受 AP 成绩。美国每年有 200 万高中毕业生，他们都要参加美国高考 SAT 和 AP 课程的考试。美国的初等教育是免费的，而高等教育是收费的。美国高中生会在 11 年级时完成 SAT 的考试，在 12 年级，即高中的最后一年，要做两件大事。其一，依据 SAT 的考试成绩，申请大学和奖学金；其二，选修和备考 AP 课程及考试。该项考试的目的在于，利用高中最后一年免费教育的时间，提前完成一些美国大学的学分课程及考试。否则，在大学阶段完成同样的课程和学分，要支付高昂的学费。也就是说，AP 课程及考试可以为高中生起到减免大学学分、降低大学教育成本、缩短大学教育时间的
3、目的。对中国学生而言，除了可获取美国大学学分、省时省钱外，还可以在国内提前解决好在美国上大一课程适应难的问题。申请美国名牌大学时需要向学校招生办提供：申请论文（个人陈述） 、年级排名、在校总平均成绩，入学考试（SAT）成绩、AP/ALEVEL 成绩、推荐信、工作实践经验等信息。从美国大学录取顾问委员会公布的影响大学录取因素比较分析可以了然入心。AP 成绩以 803的影响力居第一，对大学录取过程起决定性作用，因为它向学校充分展示学生的才智、专长及学生能力。所以学习 AP 课程，参加 AP 考试可以让学生在名校录取竞争中脱颖而出，占尽先机。AP 微积分课程包括微积分 AB（Calculus AB）
4、和微积分 BC（Calculus BC）两门课。微积分 AB 需要1 年的课程学习时间，其内容大约占了大学一年微积分课程内容的四分之一（本书未加“*”内容为 AB的全部考试内容） ，而微积分 BC 需要 1 年多的课程学习时间，其内容包括了大学一年微积分课程内容的二分之一（本书全部内容为 BC 的全部考试内容） 。开设 AP Calculus 课程的学校或者自学的读者，应该在高一高二进行合理安排，确定课程计划，以保证把学习微积分应具备的知识先行学习完毕。由于 AP 微积分是一门大学水平的课程，具有挑战性，因此准备学习此门课程的学生须有坚实的数学基础。一、考试报名AP 国内报名网站：http:/
5、；香港考务局报名网站：http:/www2.hkeaa.edu.hk；AP 考试每门课程考试费用 1000 元或 1400 港币左右；AP 考试每年 3 月上旬截止报名，5 月初考试。二、考试内容见考试说明（AP calculus course description 2010-2011） 。（下载地址：http:/www.collegeboard. com/student/testing/ap/about.html）三、考试概况1考试试卷题型分布（考试时间共 195 分钟，共 108 分）多项选择题Multiple-Choice section 总计 45 题/105 分钟A 部分：无计算器
6、 28 题/55 分钟B 部分：有计算器 17 题/50 分钟B 部分：有计算器 17 题/50 分钟每个选择题答对得 1 分，不答得 0分，答错不扣分，卷面得分乘以一个系数 1.2 为最后得分。如果所有题都对，则得 54 分，占总分的 50%。自由问答题Free-response section 总计 6 题/90 分钟A 部分：有计算器 2 题/30 分钟B 部分：无计算器 4 题/60 分钟每题 9 分，共 54 分，占总分的50%。22009 年 AP 成绩大概分数对应表和 5 分制给分比例AB Exam BC Exam考试实际分数 5 分制 考试实际分数 5 分制65-108 5 6
7、6-108 548-64 4 55-65 434-47 3 39-54 321-33 2 31-38 20-20 1 0-30 1Calculus AB SubscoresCalculus BCExaminationGrade N % At5 41.209 56.54 13.843 19.03 8.999 12.32 4.531 6.21 4.393 6.0Number ofStudents 72.9653 or Higher/% 64.041 87.8Mean Grade 4.14Standard Deviation 1.21Calculus BC SubscoresCalculus BCE
8、xaminationGrade N % At5 31.554 43.24 12.807 17.63 14.041 19.22 5.408 7.41 9.155 12.5Number ofStudents 72.9653 or Higher/% 58.402 80Mean Grade 3.72Standard Deviation 1.403考试成绩评定AP 考试的成绩评定实行 5 分制。得 5 分表示具有非常好的资格；得 4 分表示具有好的资格；得 3 分表示具有资格；得 2 分表示可能有资格；得 1 分表示不予推荐。一般得 3 分及以上的成绩为大多数大学接受，可以在以后进入大学时折抵大学的学分
9、。少数顶尖大学要求 4 分或 5 分才能折抵大学学分。如哈佛大学 2003 年做出新规定，大多数专业 5 分的 AP 成绩才能折抵哈佛大学的学分。4微积分考试允许使用的图形计算器在微积分 AB、微积分 BC 的考试中，允许使用图形计算器，但在使用要求上有少许的不同，内置以下功能的图形计算器被允许在微积分 AP 考试中使用：（1）能作函数图像；（2）能够求方程的根（在解数值方程时） ；（3）能够对一个函数的导数进行数值计算；（4）能够对定积分的值进行数值计算。CasioFX-6000 seriesFX-6200 seriesFX-6300 seriesFX-6500 seriesFX-7000
10、seriesFX-7300 seriesFX-7400 seriesFX-7500 seriesFX-7700 seriesFX-7800 seriesFX-8000 seriesFX-8500 seriesFX-8700 seriesFX-8800 seriesFX-9700 seriesFX-9750 seriesHewlett-PackardHP-9GHP-28 seriesHP-38GHP-39 seriesHP-40 seriesHP-48 seriesHP-49 seriesHP-50 seriesRadio ShackEC-4033EC-4034EC-4037SharpEL-52
11、00Texas InstrumentsTI-73TI-80TI-81TI-82TI-83/TI-83 PlusTI-83 Plus SilverTI-84 PlusTI-84 Plus SilverTI-85TI-86TI-89TI-89 TitaniumTI-NspireTI-Nspire CASOtherFX-9860 seriesCFX-9800 seriesCFX-9850 seriesCFX-9950 seriesCFX-9970 seriesFX 1.0 seriesAlgebra FX 2.0 seriesEL-9200 seriesEL-9300 seriesEL-9600 s
12、eriesEL-9900 seriesDatexx DS-883MicrontaSmart2四、备考资料1考试说明（AP calculus course description 2010-2011） 。考试说明被列为考生必读书，考生想要了解的关于考试的任何内容考试说明中几乎都有，不仅有考试大纲，还有自由问答题的样题和评分示范。所以在开始准备和临考前都要重点研究考试说明。考前也需要对照考纲进行复习，做到不遗漏。2AP 官网免费下载的所有自由问答题（参考 http:/） 。五、备考时间安排美国高中如果开 AP 微积分课程的话，一般是安排一年的学习时间。从每年暑假开始上，一直到第二年 5 月份。但是
13、由于中国的考生，很多人还面对高考或者 SAT 考试的压力，即使拿到了 OFFER 的读者也没这么多时间来学习。所以我们必须接受这样一个在有限的时间里完成学习 AP Calculus 和考试的挑战。如果说从每年 1 月份开始准备的话，对于数学底子还不错的中国高中生来说，时间上和能力上都是完全来得及的。下面给出一个建议的时间表：时间 周数 安排1.1-1.7 1 看考试说明，考试报名，下载打印官网上的资料，准备一个 AP考试用的计算器，学习一些基本的数学术语的英文表达1.8-2.28 7把本教材看一遍，要求是基本看懂、看通（如果自学感到很吃力的话，可以上辅导班，让老师帮助自己疏导“考试内容的框架”
14、 ）3.1-4.15 6 把本教材再看一遍，把教材所有的例题和习题都做一遍，熟练计算器的使用4.15-4.30 2 研究官方样题，做模拟题，总结考试规律和解题方法5.1-5.7 1 考前查漏补缺，准备考试用的物品，熟悉考场Chapter 2 Functions 函数【Vocabulary词汇梳理】Interval n. 区间引open/closed interval 开 /闭区间length of an interval 区间长度Variable n.变量引independent variable 自变量 intermediate variable 中间变量Function n.函数引doma
15、in and range 定义域与值域sign function 符号函数piecewise function 分段函数function property 函数性质even function 偶函数odd function 奇函数periodic function 周期函数monotone function 单调函数inverse function 反函数composite function 复合函数elementary function 初等函数power function 幂函数exponential function 指数函数logarithmic function 对数函数trigon
16、ometric function 三角函数inverse trigonometric function 反三角函数parametric function 含参函数polar function 极（坐标）函数vector function 向量函数transforming function 函数变换operation of function 函数运算引add、subtract 、multiply 、divide v.（加减乘除）Sum、difference、product 、quotient n.（和差积商）Trigonometric identity 三角恒等式引pythagorean ide
17、ntities 毕达哥拉斯等式 sin2xcos 2x1double-angle formula 两倍角公式 sin 2x2sin xcos xpower-reducing formula 降幂公式 cos2x cos1sum and difference formula（角）和差公式sin(xy)sin x cos ycos xsin yPolar equation 极坐标方程引vertex 顶点polar coordinate 极坐标【Topics知识精讲】2.1 Five Basic Elementary Functions 五种基本初等函数高中所学五种函数（幂函数、指数函数、对数函数、
18、三角函数、反三角函数）都是我们进一步学习高等数学的基础。AP 微积分将以这五种函数为基础展开极限、导数和积分等学习，进步一讨论函数的各种性质。五大函数的定义域和值域、图像和性质（单调性、奇偶性、周期性等）以及运算都是 AP 学习者需要牢固掌握的基础知识。我们知道描述一个函数有以下四种形式：Verbally （by a description in words 文字描述）Numerically（by a table of values 数值列表）Visually（by a graph 图像）Algebraically（by an explicit formula 解析式）AP 微积分考试中，fr
19、ee-response 部分总共 6 个题，试题中出现的函数将会以上面四种形式出现。在分析样题的时候，我们发现部分题都只给出函数的图像，不给出函数解析式，这时候让中国考生感觉比较吃力。因为中国的高考和中国的考生最喜欢和最习惯做的题几乎都是直接给出函数解析式的题，即Algebraically（by an explicit formula） ，然后再去求解一些问题。所以读者应当在平时的学习中，要不断地去习惯其他三种形式。本章为国内高中高一所学函数知识的总结，学完高一课程的读者只需把本章作为一个复习章节。若没学本章知识的读者务必认真学习本章知识，本章为后面所有章节的基础。2.1.1 Power Fu
20、nctions 幂函数1Power Functions 幂函数 yx ( is a constant)（1）When n(where n is a positive integer)When n is even， the function is also an even function(偶函数) ；When n is odd， the function is also an odd function(奇函数) ；（2）When (where n is a positive integer)1When n is even， the domain of the function is (0，)
21、；When n is odd， the domain of the function is (，)；The following figure are the graphs of the functions when 1， ，1，2.22Polynomial Functions 多项式函数多个幂函数进行加减乘运算即得到多项式函数，记为：f(x)a 0xna 1xn-1a 2xn-2a n-1xa n(n is a positive integer or zero)n1，linear function(一次函数)，f(x)kx b(k0)n2，quadratic function( 二次函数)，f
22、(x)ax 2bxc(a0)n3，cubic function(三次函数) ，f (x)ax 3bx 2cxd( a0)3Rational Functions 有理函数二个多项式函数进行除运算即得到 Rational function，记为：f(x) (Q(x)0)P(x) and Q(x) are polynomial functions2.1.2 Exponential Functions 指数函数ya x(a0 and a1)1Graphs函数Function yax(a1)定义域Domain ( ，)值域Range (0， )过定点Fixed point (0，1)单调性Monoton
23、e xR increasing interval函数Function y ax(0a1)定义域Domain ( ，)值域Range (0， )过定点Fixed point (0，1)单调性Monotone xR decreasing interval2Formulas for Operationamana m+n(am)na mn(ab)ma mbmnn2.1.3 Logarithmic Functions 对数函数ylog ax(a0 and a1)1Graphs函数Function ylog ax(a1)定义域Domain (0， )值域Range (，)过定点Fixed point (1
24、，0)单调性Monotone x (0，) increasing interval函数Function ylog ax(0a1)定义域Domain (0， )值域Range (，)过定点Fixed point (1，0)单调性Monotone x(0 ，) decreasing interval2Formulas for Operationloga(MN)log aM logaNloga log aMlog aNlogab (c0 and c 1) （换底公式）log logab(n0)manlb or e lnbb（对数恒等式）log2.1.4 Trigonometric Functions
25、 三角函数1Graphs函数Function ysin x定义域Domain (，)值域Range 1，1奇偶性Even or odd odd单调性Monotonex(2k ，2k )(kZ)increasing intervalx(2k ，2k )3(kZ )decreasing interval周期性Periodicity 2函数Function y cos x定义域Domain (，)值域Range 1，1奇偶性Even or odd even单调性 x(2 k ，2k )(k Z)Monotone increasing intervalx(2 k ，2k )(k Z)decreasin
26、g interval周期性Periodicity 2函数Function ytan x定义域Domain xRx (kZ)2)1(值域Range (，)奇偶性Even or odd odd单调性Monotonex( k ，k )(kZ)2increasing interval周期性Periodicity函数Function ycot x定义域Domain xR xk (kZ)值域Range (，)奇偶性Even or odd odd单调性Monotonex( k ，k )(kZ)decreasing interval周期性Periodicity函数Function ysec x cos1定义域Domain xRx (kZ)2(值域Range yR 1奇偶性Even or odd even单调性Monotonex(2 k ，2k )U(2k ，2k )(kZ) increasing intervalx (2k ，2k )U(2k ，2k 233)(kZ) decreasing interval
