1、专题：数列单调性问题的研究一、问题提出问题 1：若 （其中 为实常数） ， ，且数列 为单调递增数列，则实数 的取32nan*Nnna值范围为_.问题 2：数列 满足 （ 为实常数） ，其中 ，且数列 为单调递增数列，n52n*na则实数 的取值范围为_.问题 3：通项公式为 2na的数列 na，若满足 12345a，且 1n对 8恒成立，则实数 的取值范围是_.问题 4：数列 满足 （ ） ，最小项为第_项；最大项为第_项n201n *N问题 5：数列 满足 （ 为实常数， ） ，最大项为 ，最小项为 ，na7n*n8a9a则实数 的取值范围为_.问题 6：数列 的通项公式为 ，若对任意正整
2、数 ， 均成立，则实n kan2n43数 的取值范围是_ k二、思考探究探究 1：已知 为两个正数，且 ，设 ， ，当 且 时，ba, ba21baa12n*N，21nn 1n（1）证明：数列 为单调递减数列；数列 为单调递增数列n（2）证明： )(21nnbaba探究 2：数列a n满足：a 1 = 5，a n+1a n = ，数列 bn的前 n 项和为 Sn 满足：S n = 2(an+1 an) 152(1b n)（1）证明：数列a n+1a n是一个等差数列，并求出数列 an的通项公式；（2）求数列b n的通项公式，并求出数列a nbn的最大项解：（1）令 n = 1 得 a25 =
3、，解得 a2 = 12，由已知得2(a2 5) 15(an+1a n)2 = 2(an+1a n)15 (an+2a n+1)2 = 2(an+2a n+1)15 将得(a n+2a n)(an+22a n+1a n) = 2(an+2a n)，由于数列a n单调递增，所以 an+2a n0，于是an+22a n+1a n = 2，即(a n+2a n+1)( an+1a n) = 2，所以a n+1a n是首项为 7，公差为 2 的等差数列，于是an+1a n = 72(n1) = 2n5 ，所以an = (ana n-1)(a n-1a n-2)(a 2a 1)a 1= (2n3) (2n
4、1)75 = n(n4) （2）在 Sn = 2(1b n)中令 n = 1 得 b1 = 2(1b 1)，解得 b1 = ，23因为 Sn = 2(1b n)，S n+1 = 2(1b n+1)，相减得 bn+1 = 2b n+12b n，即 3bn+1 = 2bn，所以 bn是首项和公比均为 的等比数列，所以 bn = ( )n从而 anbn = n(n4)( )n设数列a nbn的最大项为 akbk，则有 k(k4)( )23 23 23 23k(k1)(k5)( )k+1，且 k(k 4)( )k(k1)(k3)( )k-1，23 23 23所以 k210，且 k22k 9 0，因为
5、k 是自然数，解得 k = 4所以数列a nbn的最大项为 a4b4 = 51281探究 3：已知数列a n的首项 a1a，S n 是数列a n的前 n 项和，且满足：S 3n 2anS ，2 n 2 n 1an0，n2，nN *（1）若数列a n是等差数列，求 a 的值；（2）确定 a 的取值集合 M，使 a M 时，数列a n是递增数列 解：（1）在 S 3n 2anS 中分别令 n2，n3，及 a1a 得2 n 2 n 1(aa 2)212a 2a 2，( aa 2a 3)227a 3(aa 2)2，因为 an0，所以 a2122a，a 332a 因为数列a n是等差数列，所以 a1a
6、32a 2，即 2(122a)a32a，解得 a3经检验 a3 时，a n3n，S n ，S n1 满足 S 3n 2anS 3n(n 1)2 3n(n 1)2 2n 2 n 1（2）由 S 3n 2anS ，得 S S 3n 2an，即(S nS n1 )(SnS n1 )3n 2an，2 n 2 n 1 2 n 2 n 1即(S nS n1 )an3n 2an，因为 an0，所以 SnS n1 3n 2， (n2)， 所以 Sn1 S n3(n1) 2，得 an1 a n6n3，(n2) 所以 an2 a n1 6n9，得 an2 a n6，(n 2)即数列 a2，a 4，a 6，及数列
7、a3，a 5，a 7，都是公差为 6 的等差数列， 因为 a2122a，a 332a所以 an a， n 1，3n 2a 6， n为 奇 数 且 n 3，3n 2a 6， n为 偶 数 ， )要使数列a n是递增数列，须有a1a 2，且当 n 为大于或等于 3 的奇数时，a na n1 ，且当 n 为偶数时，a na n1 ，即 a122a，3n2a63(n1)2a6(n 为大于或等于 3 的奇数) ，3n2a63(n1)2a6(n 为偶数) ，解得 a 94 154所以 M( ， )，当 a M 时，数列 an是递增数列 94 154 探究 4：首项为正数的数列 满足 ，若对一切 都有 ，则
8、n )(341*2Nnn *Nnna1的取值范围是_. 1a,0探究 5：（1）已 知 数 列 满 足 ， ， ， 若 数 列 单 调 递na121a*|2()nna21na减，数列 单调递增，则数列 的通项公式为 .2nann解： （ 说明：本答案也可以写成 ）()1321,3,n为 奇 数为 偶 数方法一：先采用列举法得 ， 然 后 从 数 字 的 变 化 上 找123454, 1,2,aaa规 律 ， 得 ， 再 利 用 累 加 法 即 可 ；1()nna方 法 二 ： 因 为 ， ， 所 以 两 式 相 加 ， 得 ，222121nn2121nna而 递 减 ， 所 以 ， 故 ； 同
9、 理 ， 由 递 增 ， 得21n10na2na； 又 ， 所 以 ， 以 下 同 上 . 21na211()n（ 2） 已知数列 满足 ， ， ，若数列 单调递减，数列12 *|)nN21nan单调递增，则数列 的通项公式为 . nana1,(2)723n探究 6：已知数列 的通项公式为：6(3)12,4nntd，设数列 nd满足 nab, 且ndnd中不存在这样的项 k, 使得“ 1k与 1k”同时成立（其中 2k, N）, 试求实数的取值范围k解：当 2时, 14(2)34()nnndtt38()nt,所以 若3t,即7t,则 1n,所以当 时, nd是递增数列,故由题意得12d,即 6
10、()36(2)tt,解得597744t 若,即794,则当 n时, nd是递增数列,故由题意得 23,即23()()tt,解得t 若1,mtNm,即5(,3)42mN,则当 n时, nd是递减数列 , 当 1n时, nd是递增数列,则由题意,得 1m,即 4(2)3()3mmtt,解得 4t综上所述取值范围是597或2(,2)N（可先借助数形结合观察充要条件，通过画图研究后得不能出现尖底形状）四、真题链接五、反馈检测1. 已知数列 的通项公式为 ， 若对于一切 的自然数，不等式na1na1n恒成立,则实数 的取值范围为_.32)(log2.21 ann a解： 1211nna n令 ，122n
11、nnbaa1232nnbaa 1 1()1 ， 恒成立； 数列 对 ， 上单调递增,N0nbnbN ；由题意可知min2347() 12ba min12log()()23ab 又 ； ； log1a0a52.（1）已知数列a n的通项公式为 annp，数列b n的通项公式为 bn2 n5 设 cn若在数列c n中，c 8c n(nN* ，n8) ，则实数 p 的取值范围是 (12，17)an，an bn，bn， an bn， )（2）已知数列 的通项公式为 ，数列 的通项公式为 . 设 ,panb52nbnnbac,若在数列 中，若 恒成立（ ） ，则在数列 中的最大项是第_项. nc2015
12、18p8,*Nn3. 已知数列 满足： ，其首项 ，若数列 为单调递增数列，则实数 的a3nnaa1取值范围是_.4. 已知数列 满足： ， ， na12(0)+ 12n+*N（1）若 ，求数列 的通项公式；0n（2）设 ，数列 的前 项和为 ，证明： 1nbbnnS1na解：（1）若 时， ， ，所以 ，且 a1212a210两边取对数，得 ，化为 ，lglgn+llg(lg2)nna+因为 ，数列 是以 为首项， 为公比的等比数列所以1l2lal2a+l1，所以 1lg()lgnn+1n（2）由 ，得 ， 当 时， ，2a21na2 21na+ ， ，由已知 ，所以 与 同号1()()n0
13、n1na因为 ，且 ，所以 恒成立，2a+02221()(1)30a+所以 ，所以 因为 ，所以 ，11nannb1()nnb所以 2321()()()nS+ 1()aa5. 设数列 的前 项和为 ，且 . nanS2113(,)nSnN（1）若 是等差数列，求 的通项公式；a（2）若 .1 当 时，试求 ；2a10S 若数列 为递增数列，且 ，试求满足条件的所有正整数 的值.n325kk解：（1）由等差数列求和公式 ，21 1()()ndana11nnS222111()() ()()d ddnan 2 分21(3),da，2 22113()()3ddnnan，解得 ， ； 4 分3,da,1
14、（说明：也可以设 ；或令 ，先求出首项 与公差 ）2nSb2,ad（2）由 ，113()n n得 ， 6 分22()S， 16nna02345679810()()()aaa. 8 分9810（说明：用 ，利用分组方法求和，类似给分.）21（3）设 ，由 ，得 与 ，ax2113()nnS1234S2349S， ，12343ax， ， 10 分294又 ， ，12(1)nnS 1263(2)nna， 相减得 ，63a， 数列 为递增数列，52xn，解得 ， 12 分1345a73x由 ，3267893213()()()k kkSaaa，21xk， 14 分23935kSx，解得 . 16 分71
15、(,)xk6. 已知数列 na满足 *11|,.nnapN（1）若 是递增数列，且 2,3成等差数列，求 p的值；（2）若 p，且 21n是递增数列， n是递减数列，求数列 na的通项公式解:(1) 因为数列 为递增数列,所以 ,则 ,分别令 a10a11nnpp可得 ,因为 成等差数列,所以 1,n2213p23p23,a或 ,2344 0当 时,数列 为常数数列不符合数列 是递增数列,所以 .0pnana13p(2)由题可得 ,因为 是递增数列且 121212,nnnn21na是递减数列,所以 且 ,两不等式相加可得 2a10a0a0,12nn2121nn又因为 ,所以 ,即 ,12na2
16、12nna同理可得 且 ,所以 ,23212nnaa3221nna212nn则当 时, ,m*N213243212,mmaa这 个等式相加可得213212421mmma .21222143m AA22143maA当 时, ,nm213243212, maaa这 个等式相加可得 211321242mmma 21221443mmmAA,当 时, 符合,故2123mmaA01a21243maA综上 .14,32nnA为 奇 数为 偶 数7. 已知数列 na中， n*N，对于任意 *n， 1na，若对于任意正整数 K，在数列中恰有 K个K出现，求 50 108. 若有穷数列 各项均不相等，将它的项从大
17、到小重新排序后项的序号构成的数列称为 的“序数na na列”如数列： 满足 ，则其序数列为 1,3,2若数列 的前 项和为 ， 的123， ， 231a1naS前 项积为 ，且 ，记 .nnTnSnnbk（1）若 ，数列 的项数为 3，求 的序数列；9k（2）若 ，有穷数列 与 项数均为 ，且它们有相同的序数列，已知 的通项公式Nnc(5) nc为 ，求 的值.3()5nnck解：（1）因为 ，分别令 ，1nST123n， ，得 ， ， ，1S23可求出： ，6aa， ，又 ，所以9nnb1235bb， ，所以 的序数列为 2，1，3. 6 分（2）因为 ，13()5nnc当 时，易得 ，当
18、时， ，21c1nc又因 ， ， ， ，135c3()44()53即 ，234ncL故数列 的序数列为 9 分nc2,1,由 得， 1STnnS时， 2n 11nnTS得， ，11nn所以 ，1nnS所以 是以 为公差的等差数列，且首项为 ，n 12S所以 ，从而 ，1nS1nS易求得 ，所以 ，从而 13 分2a2na2()nbkn所以要使数列 的序数列为 ，只需 ，nb,314,L54解得： ，又因为 ，所以 . 102kNkk所以当有穷数列 与 有相同的序数列时， 的值为 11. 16 分nc9已知数列 的首项为 1，其前 n 项和为 ，且 ，其中 nanS12nSaR（1）证明：数列
19、不是等差数列；（2）若数列 为等比数列，设 ，且不等式 对任意的n 1nnba21321|nbbbN恒成立，求实数 的取值范围b解：（1）由 ，则 ，12nSa12nSa两式相减得 ，又 ，即 ，()a 1S21a则 时， ， 2nn假设 是等差数列，则公差为 ，则 ，1a3又由 可得 矛盾，故数列 不是等差数列；2(1)nna3()2 na（2）由（1）得 若数列 为等比数列，则 ，2()nna， ， ， ， n 12()即 ，所以 ，则 ，又 ，即 ，a12n1nnb112(0)nnb， 1nb因此 为单调递减数列，则nb，2132112311| 2n nnnbbbb 由 为单调递减数列，
20、易知数列 为单调递增数列，nbn若 恒成立，只要 的最大项小于 b 即可，21321|nbbb12n而当 无限大时， 无限接近 ，且 ，故 nn2n 12b10. 己知数列 是公差不为零的等差数列，数列 是等比数列nan（1）若 （nN *） ，求证： 为等比数列；1cbc（2）设 （nN*） ，其中 是公差为 2 的整数项数列， ，若n nannb132，且当 时， 是递减数列，求数列 的通项公式；1234568ccc7ncna（2）由题意得： 对 恒成立且 对 恒成立，5 分n,341n7对)(tban nttt 2841)2(3)2(1 恒成立 7 分4,3217对 恒成立 )2()(1tntnnt241710t 9 分而4107t9,87tZt或 或 . 10 分2na2na2na11. 数列 、 由下列条件确定：nb(1,3) ， ；01a当 ， 与 满足如下条件：*,2Nkka当 时， ， ；1b1k21kba当 时， ， .02kaka1k（1）如果 ， ，试求 ， ， ， ；1519b2b3a（2）证明：数列 为等比数列；n（3）设 ( )是满足 的最大整数，证明： .2123n 12logabn解：（1） ， ， ，10ab215a12ab
